复合函数求导 法的应用 第四节
问题的提出 问题 1 ： 设曲线方程为解不出 x 或 y 的隐函数形式： 问题 2 设曲线方程为参变量方程形式： 问题 2 ： 设曲线方程为参变量方程形式： 易知： (0,1) 是该曲线上的一点，但此点处曲线有无切线？ 斜率 = ？ y =? ` 易知： ( π -2, 2) 是该曲线上的一点，但此点处曲线有无切线？ 斜率 = ？ y =? `
隐函数定义： 一. 隐函数及其求导法 例如：
隐函数求导法：
隐函数求导法：
隐函数的高阶导
隐函数的对数求导法： 方程两边取自然对数，然后再求导。
二. 参数方程所确定的函数及其求导法 1. 参数方程确定的函数定义： 例如：
参数方程求导法：
例6例6 解
所求切线方程为
例7例7 解
vxvx vyvy v(v2/g)v(v2/g)
x y o a –a–a 一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。 来看动点的慢动作. 9. 星形线 ( 圆内旋轮线 )
参数方程求导例 2 ： 例8例8
x y o a P .
参数方程所确定的函数的高阶导数 ：
参数方程所确定的函数的高阶导数 ( 续 )
参数方程所确定的函数的高阶导数 ( 续 )
微分及其应用 第五节
一. 微分的概念 这是有其实际意义的，例如：一个正方形面积的增量： 当Δy很复杂时，用其线性函数部分近似计算函数增量Δy是很 重要的。 ΔxΔx ΔxΔx ΔxΔx x S x
微分定义：注：函数只有在可微的条件下，才有微分dy。 微分定义：
可微分的充要条件
微分 3. 微分的几何意义 与弧微分 ： M Q P N α α x 0 +Δx dx dy ΔyΔy x0x0 T y=f (x) Y X 0 α dy dx ds M N Q Y X 0
微分 3. 微分的几何意义 与弧微分 ： α dy dx ds M N Q Y X 0 一.一. 二.二. 三.三.
基本初等函数的微分公式： 导数公式 微分公式
基本初等函数的微分公式： 导数公式 微分公式 导数公式 微分公式
二. 微分运算法则 1. 微分的四则运算：
二. 微分运算法则 1. 微分的四则运算：
一阶微分形式不变性：利用一阶微分形式不变性可以求各类函数的一阶导数：
一阶微分形式不变性：
一阶微分形式不变性：
三. 微分的几类简单应用 1. 求极限： 注 ：该法不足之处是：它仅能解决与 (x-x 0 ) 的等价无穷小，而对于与 (x-x 0 ) (k=2,3,……) 的等价性问题就无能为力了。 k
近似计算
相关变化 d θ A o P Q R dx θ a x y dy y R P Q dx dy θ
建立微分关系 ( 续 )另解：根据图形直观可得： o P R NQNQ M Y X y dy dx dA P R NQNQ M dy dx y
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