極限與連續

函數極限的定義 當函數 f (x) 定義域中的 x 逐漸趨近於定數 a 時 ( x≠a ) 則對應的函數值 f (x) 也逐漸趨近於 α ， 即若 x→a (x≠a) ，則 f (x)→α 此時我們稱為 x 趨近 a 時， f (x) 的極限為 α ，記為

極限的運算性質

函數極限的求法 (f (x) 為多項式、有理式或根式 ) (1) 函數值不會出現分母為 0 的情形， 以 x ＝ a 直接代入 f(x) ， 。

(2) 以 x ＝ a 直接代入，函數值出現 的情形 通常要把使分子、分母產生 0 的公因式約去之後， 再把 x ＝ a 代入，便可求得極限。

(3) 以 x ＝ a 直接代入，函數值出現 的情形 此時因根號之故 無法將分子、分母產生 0 的公因式找出， 則以有理化方式處理，便可求得此公因式。

例題

左極限、右極限 (1) 當 x > a 且 x →a ( x 從 a 的右側趨近 a ) ， 我們稱為 f (x) 於 a 的右極限， 記作 。 (2) 當 x < a 且 x →a ( x 從 a 的左側趨近 a ) ， 我們稱為 f (x) 於 a 的左極限， 記作 。

極限存在  當左極限與右極限相等時 則極限存在

極限不存在  當左極限與右極限不相等時  當左極限或右極限不存在時 此時稱極限不存在

函數的連續性 函數 f (x) 若滿足下列三個條件， 則稱函數 f (x) 於點 x ＝ a 為連續： (1) f (a) 存在 (2) 存在 (3) 注意：如有任一項不滿足，則稱 不連續

圖形分類  Continue( 連續型 ) 圖形上每個所在點處極限均存在 圖形上每個所在點處極限均存在

Differential Function Smooth Function Smooth Curve Continuous Function

Continue Function with Corner

 Jump( 跳躍型 ) 跳躍處左右極限不相等 跳躍處左右極限不相等

Jump at x=1 Discontinuous Function

Step Function

 Removed( 跳空型 ) 跳空處左右極限存在且相等， 但該點值不同或不存在 跳空處左右極限存在且相等， 但該點值不同或不存在

Discontinous Function with Removed Point at x=1

Removed at a Point x=1 With a Corner at x=1 Discontinuos Function

導數與導函數

導數的定義 我們稱極限值 為 f (x) 在 x ＝ a 處的導數， 以 f '(a) 表示之，即 亦可說 f (x) 在 x ＝ a 處是可微分的

導數的定義 在 導數的定義中， 設 x － a ＝ h ，則 x ＝ a ＋ h ， 當 x→a 時，意指 h →0 ， 那麼 f (x) 在 x ＝ a 的導數我們也可以表示成：

(1) 為函數 f (x) 在區間 [a,b] 的平均變化率。 (2) 為函數 f (x) 於 a 的瞬時變化率。導數的意義

導數的物理意義 (1) 位移函數 f (t) 在 t ＝ a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時速度。 (2) 速度函數 v(t) 在 t ＝ a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時加速度。

導數的幾何意義 曲線 y ＝ f (x) 在 x ＝ a 的導數 f '(a) ， 即為此曲線在點 (a,f (a)) 的切線斜率。

如果定義域任一處，函數 f (x) 的導數 均存在， 此時 形成一個新的函數， 我們就稱 為 f (x) 的導函數。 亦可說 f (x) 是可微分的 求導函數的過程稱為微分。 函數 y ＝ f (x) 的導函數，有下列的表示方法： 導函數

對於 導數、導函數、微分、可微分這些名稱， 實際上是指同樣的概念， 只是名詞、動詞、形容詞的差別而已。 對於 導數、導函數、微分、可微分這些名稱， 實際上是指同樣的概念， 只是名詞、動詞、形容詞的差別而已。

可微分與連續的關係 (1) 可微分的函數必定是連續。 (2) 連續函數不一定可微分。 例如： 函數 f (x) ＝ │x│ 在 x ＝ 0 處雖然為連續， 但是在 x ＝ 0 處卻不可微分， 所以函數 f (x) ＝ │x│ 不是一個可微分函數。

可微分函數 可微分函數 (Differential Function) ， 亦可稱為平滑函數 (Smooth Function) ， 其圖形稱為平滑曲線 (Smooth Curve) 可微分函數 (Differential Function) ， 亦可稱為平滑函數 (Smooth Function) ， 其圖形稱為平滑曲線 (Smooth Curve)

Differential Function Smooth Function Smooth Curve Continuous Function

不可微分的函數  Jump( 跳躍型 ) Step function( 階梯函數 ) Step function( 階梯函數 )  Corner ( 尖角型 ) Continueos Removed

Jump at x=1 Discontinuous Function

Step Function

Discontinous Function with Removed Point at x=1

Continue Function with Corner

Removed at a Point x=1 With a Corner at x=1 Discontinuos Function

微分公式 (1) 公式 1 ：若 f (x) ＝ x n ，則 ( n 為自然數 ) 公式 2 ：若 f (x) ＝ k ，則 ( k 為常數 ) 公式 3 ：若 y ＝ kf (x) ，則 ( k 為常數 )

微分公式 (2) 公式 4 ：若 y ＝ f (x) ＋ g(x) ，則 y ＝ f '(x) ＋ g'(x) 公式 5 ：若 y ＝ f (x) － g(x) ，則 y ＝ f '(x) － g'(x) 公式 6 ：若 y ＝ f (x)g(x) ，則 y ＝ f '(x)g(x) ＋ f (x)g'(x) 公式 7 ：若 ，則

連鎖規則 (1) 設 y ＝ g(f (x)) ，且 f ‘ (x) 、 g ’ (f (x)) 均存在， 則 y ‘ ＝ g’(f (x))×f ‘(x) 即 (2) 設 n 為有理數， f (x) 為可微分函數， 若 y ＝ (f (x)) n ，則 y ' ＝ n(f (x)) n － 1 ×f '(x)

第一、二階導函數 (1) 對一般可微分的函數 f (x) 而言， 其導函數為 f '(x) ，或者記為 (2) 若函數 f '(x) 仍可微分， (f '(x)) ' 稱為 f (x) 的第二階導函數，其記號為

第三階與第 n 階導函數 (1) 若函數 f ''(x) 仍可微分， (f ''(x))' 稱為 f (x) 的第三階導函數，其記號為 (2) 依此類推， f (x) 的第 n 階導函數，其記號為