第三节 格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件
一. 格林公式 平面区域上的二重积分与区域 边界曲线上的曲线积分的关系。 设 D 为一平面域，如果 D 内任意闭曲线所包围的全体 点都属于 D ，则称 D 为单连通域. 否则称 D 为复连通域 DD 从直观上看，单连通域是不含有 “ 洞 ” 的区域． §3 格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件
定理 1 （格林定理） 设函数 P(x,y),Q(x,y) 在域 D 及其边界 L 上具有一阶连续 偏导数，则 L 取正向 格林公式 先假设区域 D 既是 X- 型又是 Y- 型证
同理 如果 D 不满足以上条件，那么可以用辅助曲 线把 D 分成有限个部分闭区域，使得每个部分闭区域 都满足上述条件。 再考虑一般情形,
例如 M N 两式相加，注意到沿辅助曲线的曲线积分相互抵消 注意 : 对于一般的复连通域 D( 非 “ 点洞 ”), 格林公式仍 然成立, 此时 L 为 D 的全部边界曲线且取正向。
利用格林公式，可得区域 D 的面积公式。 令 P= - y,Q= x 例 计算椭圆 x= acost,y= bsint 所围的面积.
例 计算, 其中 L 是矩形闭曲线 ( 如图 ). 由格林公式 3 2 例 计算 其中 L 是 A 到 O 的上半圆 ( 如图 ). O A a L L 为非闭曲线, 直接计算较繁. 作辅助线 OA, 在闭曲线 L+OA 上用格林公式
而 OA: y=0, x 从 0 到 a 所以
二. 平面上曲线积分与路径无关的条件 设 P(x,y),Q(x,y) 是定义在平面域 D 上的有界函数， 恒有 如果对于 D 内的任意两点 A,B 以及 D 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线, A B D 在 D 内与路径无关 L 的端点 A ， B 的坐标
定理 1 设函数 P(x,y),Q(x,y) 在单连域 D 内具有一阶连 续偏导数，则下面三个条件相互等价： (3) 在 D 内曲线积分 与路径无关. (1) 在 D 内恒成立； (2) 对于 D 内任一闭曲线 C ， 应用格林公式, 有 证 (1)→(2) 因为 D 是单连域, 所以闭曲线 C 所围成的区域 G 全部在 D 内,
于是对于闭曲线 C=AmB+BnA, (2)→(3) 在 D 内任取两条连接 A 、 B 的曲线 AmB 、 AnB A B D m n 即 (3) 成立
在 D 内任一闭曲线 C 上任取两点 A 、 B ，将 C 分成两段，即 C=AmB+BnA ， (3)→(1) 用反证法证明 (1) 假设 D 内有一点 M ，使
设 因为 连续 使 从而 设 C 为 的正向边界，则由格林公式知 矛盾, 则 (1) 得证. 三个条件循环推导了一遍，从而证明了它们相互等价
注意 :1. 常用 (1) 来判断曲线积分与路径无关 ; 2. 当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径 —— 平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径 ; 3. 如果 D 是复连通域，即使 ，曲 线积分也不一定与路径无关。 成立 例 计算 L 是通过 O(0,0),A(1,0) 和 B(1,2) 的圆周 O A B 因为 所以积分与路径无关, 取折线 OAB 作为积分路径.
例 计算 L 是不过原点且按逆时针方向的闭曲线 因为
分两种情况讨论 L C D 1. 设 L 内不含原点, 则由定理 1 得 2. 设 L 内包含原点 记 L 和 C 所围成的闭区域为 D, 在复连域 D 内应用格林 公式, 得 则选取适当小的正数 r, 作位于 L 内的圆周 C:
三．二元函数的全微分求积 1. 原函数 : 如果存在一个函数 u(x,y) ，使得 du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy 原函数 全微分式 例如 全微分式 原函数 2. 判别定理 定理 2 设函数 P(x,y),Q(x,y) 在单连通域 D 内具有一阶 连续偏导数，则 P(x,y) dx+ Q(x,y)dy 在 D 内为某一函数 全微分 在 D 内恒成立.
注 : 可以将定理 1,2 合并记忆为四命题等价. 3. 全微分求积 当 Pdx+Qdy 为全微分式时， 求其原函数 u(x,y) 的过程. 与路径无关，可选平行于坐 标轴的折线作为积分路径. 如图取 为积分路径, 得
例 验证全微分式并求其原函数. 取起点为 (0,0), 由公式 全微分式 在右半平面 (x ＞ 0) 取起点为 (1,0), 全微分式 注意 : 全体原函数为 u(x,y)+C.
思考题 x y A(2,3) B(4,1) m
x y m A(2,3) B(4,1)