微分方程应用 1 马尔萨斯人口方程
2 英国人口学家马尔萨斯 ( Malthus ， ) 根 据百余年的人口统计资料，于 1798 年提出了人口指 数增长模型。他的基本假设是：单位时间内人口的 增长量与当时的人口总数成正比。若已知 时的 人口总数为 ，试根据马尔萨斯假设确定出时间 t 与 人口总数 x(t) 之间的函数关系。根据我国国家统计局 1990 年 10 月 30 日发表的公报， 1990 年 7 月 1 日我国人 口总数为 11.6 亿，过去 8 年的年人口平均增长率为 14.8‰ 。若今后的年增长率保持这个数字，试用马尔 萨斯方程预报 2000 年我国的人口总数。
3 解：记时间 t 时的人口总数为 x(t) 。设单位时间内人 口的增长量与当时人口总数之比为 r ， r 是与时间无 关的常数。根据马尔萨斯假设， 令 ，得到下述微分方程： ⑴ 这是一个可分离变量的微分方程，容易解出方程满 足初始条件的解为
4 ⑵ 利用⑵式，将 代入，可预报出 2000 年我国的人口总数为 思考题：当 时，。将 代入 方程⑵，可得 。当 t 取年做单位， 且取为正整数时，可写为。试 解释此预报公式的意义，并用此式预报 2000 年我 国 的人口总数（ ）。