导数 导数 一、主要内容 微分 第二章 习题课 二、典型例题
求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式 导 数 导 数 高阶导数 一、主要内容 微 分微 分 微 分微 分
1. 导数的定义 定义 右导数 : 左导数 : 函数 在点 处可导 左导数和又导数都 存在且左右相等.
2 、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式）
3 、求导法则 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 设 可导，则 (c 为常数 ) 如果函数 的反函数为则有
(3) 复合函数的求导法则 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围 : 设 而 ，则复合函数 的导数为： 多个函数相乘和幂指函数 的情形.
(5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. (6) 参变量函数的求导法则 若参数方程 确定 y 与 x 的函数关系, 则
4 、高阶导数 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, ( 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 ) 二阶导数 一般地，函数 的 阶导数的导数称为函数 的 n 阶导数,
5 、微分的定义 定义 6 、导数与微分的关系 7 、 微分的求法 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 定理 : 可微 可导，且
基本初等函数的微分公式
无论 x 是自变量还是中间变量，函数 的 微分形式总是 函数和、差、积、商的微分法则 8 、 微分的基本法则 微分形式的不变性 (C 为常数 )
解 二、典型例题 例1例1
解:解: 在 处连续, 且求 例 2. 设
例3.例3. 若 且 存在, 求 解:解: 原式 = 且 联想到凑导数的定义式
例 4 设 解法 2 当 时， 解法 1
例 4 设 解法 3 当 时， 是一个双侧极限，与 的一个邻域内的 函数值有关.
例 设 在 的某个邻域内有定义，则 在 处可导的一个充分条件是 ( )
例 5 设 解法 1 根据求导法则 无意义 解法 1 根据导数定义
例 6 设 在 处连续， 解
例 7 设 解 分析 : 不能用公式求导. 当 时， 导数不存在, 从而 当 时
例 8 设 解先去掉绝对值 当 时，
处不可导.
解:解:, 试确定常数 a, b 使 f (x) 处处可导, 并求 例 9. 设 当 时， 处可导，需要满足要使得函数 即
当 时， 即 是否为连续函数 ? 判别 :
例 10 设 ，其中函数 具有二阶连续的导数，且 1. 确定 的值使 为连续函数； 在 处的连续性. 2. 求 3. 讨论 解：
即：
(3) 由于 所以 连续.
例 11. 设函数 处 1. 连续； 2. 可导； 3. 导数连续. 问 k 满足什么条件， 在
例 12. 设函数 其中 是有界函数，则 在 处 (A) 极限不存在 (B) 可导 (C) 连续不可导 (D) 极限存在，但不连续
例 13. 设 时， 有定义，且存在, 问怎样 选择 可使下述函数在处有二阶导数 分析 : 这一类的问题，一定要按照下面的步骤做： 第二步利用一阶导数存在并连续 第一步利用 的连续性， 最后用二阶导数的存在性
解:解: 例 13. 设 时， 有定义，且存在, 问怎样 选择 可使下述函数在处有二阶导数 1) 在 连续, 则有 2) 在 可导, 则有
3) 在 可导, 则有
例 14. 设函数 对任意 都满足 且有 其中 为非零常数， 则 (A) 在 处可导， 且 (B) 在 处可导， 且 (C) 在 处可导， 且 (D) 在 处不可导
例 15. 已知函数 在 处可导， 且 求 例 16. 设函数 由方程 (2) 求 (1) 求曲线 在 处的切线方程 确定，
例 16. 设 其中 f 二阶可导. 求 解:解:
例 17 设函数 由方程 解 两边取对数 所确定，求
例 18 设 解
例 19 求下列函数的导函数
例 20 设 解 令 则
例 21 设 解
例 22. 设 其中 可微,
例 23 设 ( 课本 P106 Q6)
证明抛物线 与 x 轴相交所成的两个角 曲线 及 相交的角如何？ 若抛物线 与 x 轴相切，则系数 之间的关系如何？ 思考
作 业 P125. 5, 6(1), 10(1), 12(2) 作业提交时间： 2012 年 11 月 12 日上午 8:00am.