第三章 导数与微分 §3.1 导数的概念 §3.2 求导基本公式与求导运算法则 §3.3 微分 §3.4 高阶导数和高阶微分 §3.5 边际与弹性.

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第三章 微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学 导数描述函数变化快慢 --- 变化率 --- 切线 斜率 --- 相对误差 微分 描述函数变化程度 --- 函数值的增量 --- 绝对误差 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Fermat.
微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学 导数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton.
第二章 导数与微分. 微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学 导数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton.
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第4章 数值积分与数值微分 4.1 数值积分概论 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复合求积公式 4.4 龙贝格求积公式
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第三章 导数与微分 §3.1 导数的概念 §3.2 求导基本公式与求导运算法则 §3.3 微分 §3.4 高阶导数和高阶微分 §3.5 边际与弹性

导数的概念:

三、导数的几何意义 曲线在点处切线方程为: 是曲线 在点处的切线斜率

四、单边(侧)导数

例. 求函数在处的导数. 解 所以, 函数 在 处不可导.

五、可导性与连续性的关系 若函数 在 处可导, 则必连续. 事实上, 因 在 处可导, 即 定理 2.1 所以, 函数 在 处连续.

问题:连续是否一定可导?

函数在其可导的点处一定连续 函数在其不连续的点处一定不可导 函数在其连续的点处不一定可导 结论

六、用定义求导数举例

同样单边导数定义式也可简化为:

2 、求导数举例 例 1. 求函数 ( 常数 ) 的导数. 解 常数的导数等于零 例 2. 求函数 的导数. 解 可得

只需知道结果

例 4. 设 求 解 特别地, 只需知道结果

例 5. 设求 解 正弦函数的导数等于余弦函数. 类似得, 余弦函数的导数等于负的正弦函数. 只需知道结果

注:分段函数分段点的导数必须用定义求

§3.2 求导基本公式与求导运算法则

常用公式:

二、反函数的求导法则

三、基本导数的公式

四、复合函数求导法则

例 9. 求 解

五、隐函数求导方法

六、对数求导法

引例. 一块正方形金属薄片受温度的影响, 其边长由 变到 问此薄片的 面积改变了多少 ? 面积的改变量: §3.3 微分

微分的定义:

证 ( 必要性 )

( 充分性 ) 设函数在点 处可导, 即 与 无关, 是较 高阶的无穷小. 所以函数在点处可微. 且 注意:

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 根据 可得基本初等函数的微分公式:

微分法则: 设都可微, 则 复合函数 的微分法则: 设而 所以 微分形式的不变性

(2) (1) 四、微分在近似计算中的应用 由微分定义知, 当 时,时, 因此, 当很小时, 有近似公式 : 即 (3) 在 (3) 式中令 当 很小时, (4)

即在生产 100 单位产品的基础上再多生产一 单位产品,成本会增加 2.96

类似可证, 当很小时, 有近似公式 :

§3.4 高阶导数和高阶微分 记作: 或 即

二阶导数的导数,叫做三阶导数,记作: 或 三阶导数的导数,叫做四阶导数,记作: 或 阶导数的导数,叫做阶导数, 记作: 或 函数有 阶导数, 也说函数 为 阶可导。 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。

由上面各阶导数可以得到

以上这个公式称为莱布尼兹( Leibniz )公式, 可用于求乘积的高阶导数

§3.5 边际与弹性

二、弹性函数 1 、弹性的概念

弹性的意义:

幂函数在任意点的弹性不变 称为不变弹性函数

2 、弹性的经济应用 1 、需求价格弹性

注意

2 、供给价格弹性

3 、收益价格弹性