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原函数存在定理 1、变速直线运动问题 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 4.2 微积分基本定理(79)
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2、积分上限函数 考察定积分 4.2 微积分基本定理(79)
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证 4.2 微积分基本定理(79)
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由积分中值定理得 4.2 微积分基本定理(79)
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补充 证 4.2 微积分基本定理(79)
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例1 求极限 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解 4.2 微积分基本定理(79)
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证 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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证 令 4.2 微积分基本定理(79)
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（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
定理 （原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 4.2 微积分基本定理(79)
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牛顿—莱布尼茨公式 定理 2（微积分基本定理） 证 4.2 微积分基本定理(79)
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令 令 牛顿—莱布尼茨公式 4.2 微积分基本定理(79)
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微积分基本定理表明： 求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意: 4.2 微积分基本定理(79)
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例4 求定积分 解 原式 例5 设 , 求 解 4.2 微积分基本定理(79)
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例6 求积分 解 由图形可知 4.2 微积分基本定理(79)
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例7 求积分 解 解 面积 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2.5 小结与思考题1-2 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学
小结与思考题1-2 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系． 4.2 微积分基本定理(79)
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思考题 4.2 微积分基本定理(79)
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思考题解答 4.2 微积分基本定理(79)
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课堂练习题 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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课堂练习题答案 4.2 微积分基本定理(79)
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定积分法 1、换元积分法 定理3 4.2 微积分基本定理(79)
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证 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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应用换元公式时应注意: （1） （2） 4.2 微积分基本定理(79)
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例9 计算定积分 解 令 例10 计算定积分 4.2 微积分基本定理(79)
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解 4.2 微积分基本定理(79)
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例11 计算定积分 解 原式 4.2 微积分基本定理(79)
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例12 计算定积分 解 令 原式 4.2 微积分基本定理(79)
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证 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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例13 计算定积分 解 原式 偶函数 奇函数 单位圆的面积 4.2 微积分基本定理(79)
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证 （1）设 4.2 微积分基本定理(79)
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（2）设 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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解 4.2 微积分基本定理(79)
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小结与思考题3 定积分的换元法: 几个特殊积分、定积分的几个等式. 4.2 微积分基本定理(79)
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思考题 解 令 4.2 微积分基本定理(79)
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思考题解答 计算中第二步是错误的. 正确解法是 4.2 微积分基本定理(79)
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课堂练习题 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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课堂练习题答案 4.2 微积分基本定理(79)
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2、分部积分法 定积分的分部积分公式 推导 4.2 微积分基本定理(79)
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例15 计算定积分 解 令 则 4.2 微积分基本定理(79)
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例16 计算定积分 解 4.2 微积分基本定理(79)
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例17 计算定积分 解 4.2 微积分基本定理(79)
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解 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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证 设 4.2 微积分基本定理(79)
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积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 4.2 微积分基本定理(79)
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于是 4.2 微积分基本定理(79)
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小结与思考题3 定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别） 4.2 微积分基本定理(79)
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思考题 4.2 微积分基本定理(79)
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思考题解答 4.2 微积分基本定理(79)
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课堂练习题 4.2 微积分基本定理(79)
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课堂练习题答案 4.2 微积分基本定理(79)
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*4.2.4 定积分的近似计算法 1、定积分近似计算的理由： (1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；
* 定积分的近似计算法 1、定积分近似计算的理由： (1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示； (2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的； (3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难． 4.2 微积分基本定理(79)
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2、解决办法： 建立定积分的近似计算方法． 3、研究思路： 4、常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法． 4.2 微积分基本定理(79)
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一、矩形法(平均值法) 则有 4.2 微积分基本定理(79)
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则有 （1）、（2）称为矩形法（平均值法）公式 4.2 微积分基本定理(79)
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二、梯形法 梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图 4.2 微积分基本定理(79)
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用矩形法和梯形法计算积分 的近似值 例19 解 相应的函数值为 列表: 4.2 微积分基本定理(79)
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利用矩形法公式（１），得 利用矩形法公式（２），得 4.2 微积分基本定理(79)
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利用梯形法公式（３），得 实际上是前面两值的平均值， 4.2 微积分基本定理(79)
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三、抛物线法 4.2 微积分基本定理(79)
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因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,
4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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于是所求面积为 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 . 例20
对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 . 例20 站号 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2 微积分基本定理(79)
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解 根据抛物线公式(4)，得 4.2 微积分基本定理(79)
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4.2.5 小结与思考题4 求定积分近似值的方法： 矩形法、梯形法、抛物线法 注意：对于以上三种方法当 取得越大时近似程度就越好．
小结与思考题4 求定积分近似值的方法： 矩形法、梯形法、抛物线法 注意：对于以上三种方法当 取得越大时近似程度就越好． 4.2 微积分基本定理(79)
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课堂练习题 4.2 微积分基本定理(79)
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课堂练习题答案 4.2 微积分基本定理(79)
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Newton, Isaac (1642-1727) England
Leibniz, Gottfried Wilhelm ( ) German 4.2 微积分基本定理(79)
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