第四講：分數數概念與加減運算 分數代表什麼 ? ½ 是什麼意思呢 ?

分數的意義 分數是用來表示不滿一個單位量的數值，其中 涉及「等分」的概念與等分的「測量活動」。 目前課程多以將指定一個單位，切分成另外一 個小單位後，對小單位重新以大單位加以命名。 並以具體物介紹分數，情境上分為連續量與離 散量。 一張色紙平分成 10 等分，每一等分記為 ____ 張， 唸做 ____ 張 一盒裝有 10 顆雞蛋，一顆雞蛋是 ___ 盒，唸做 ___ 盒。

分數的教學活動 命名：具體物或圖示  分數數字 作數：具體物或圖示  小數數字 分數的命名從單位分數開始，隨後介紹 真分數，也些版本把帶分數延後到別的 單元，有些則緊跟在同一單元介紹。 討論看看，第一個被介紹的分數是哪個 數字？為什麼？第二個呢？為什麼？

分數的啟蒙活動 你會安排什麼樣的活動開始介紹分數？ 那個分數先開始？為什麼？ 在正式教育前，有哪些先前經驗與分數 有關？有哪些語詞與分數有關？

處理 1/2 的策略 1) 對折 2) 用視覺約估 3) 一對一的對應 4) 整數分割【 EX ： 3+3=6 】 5) 將每個整數均等分 1/2= ？ 6) 拋棄餘量

單位分數的教學重點 1) 部分 / 整體關係。 2) 確認等分。 3) 幾份中的一份。 4) 單位分數的數詞與數字。 ※以具體物的操作為主。 ※『整體』最好不要被破壞。 ※先用連續量，再用離散量。 ※是『部分』還是『切分點』？

單位量的問題【一】 代表多少？

單位量的問題【二】 分數的情境佈置上，關鍵之一是清楚的 指出單位量「 1 」是什麼？ 例如 這是一張蛋餅，即界定了 1 為 一個圓，是以「張」為單位。

分數的五種模式 1 、部分 - 整體模式： 2 、子集合 - 整體集合模式： 3 、數線模式： 4 、商模式： 3 個蘋果分給 6 個人 3÷6 ＝ 5 、比值模式：兩個集合（或度量）相比的結果 ex ： 2 杯葡萄酒對 3 杯七喜混成的雞尾酒為 2 ： 3 ＝ 0 ¼ 1

部分整體模式 怎麼介紹 3/4 ？ 1. 四份中的 3 份 2. 三個 1/4 ，是以 1/4 為單位所組成的。 由 2 ，可以容易的引入分數加減。 3. 假分數通常在同分母加減的活動中會產生。 4. 此時即同時處理 m/m 與 1 相等的概念。

離散量情境 - 一盒草莓裝有 12 顆 n/m 盒和 a 顆草莓的轉換 m=a, 分母與內容物個數相同時 1 顆草莓是多少盒？ 1/12 盒是多少顆？ 2 顆草莓是多少盒？ 2/12 盒是多少顆？ 具體物操作或圖解如何得出答案？

一盒草莓裝有 12 顆（續） a=km, 內容物為分母的整數倍，指定分母。 2 顆草莓是 6 分之幾盒？ 1/6 盒是多少顆？ 4 顆草莓是六分之幾盒？ 2/6 盒是多少顆？ a=km, 內容物為分母的整數倍，指定分子。 2 顆草莓是多少分之一盒 ? 2 顆 =1/( ) 盒 4 顆草莓是多少分之二盒？ 4 顆 =2/( ) 盒 分子為 1 者，較容易， why? 具體物操作或圖解，足夠嗎？ 怎樣才不會扯到分數乘法？

數線模式 數線為一標有 0 與 1 的射線，分數即數線 上一點，其大小表示與原點 0 的距離。 會有哪些類型的解題活動呢？ 介在 0-1 之間的分數較容易，＞ 1 的較難， why?

商模式 在整數除法時，無法整除時，會有餘數。 強迫分盡，就會產生商為分數的情況。 整除 vs. 除盡？ 3 個蘋果分給 6 個人， 3÷6 ＝ 9 個蘋果分給 6 個人， 9÷6 ＝ 商為＜ 1 vs. ＞ 1 的，難度有差異嗎？

等值分數 等值分數是透過擴分 ( 同乘一數 ) 或約分 ( 同除一數 ) 所產生的。 教學上從兩分數的大小比較開始，而非 直接介紹約分、擴分。 六個月餅裝一盒，那麼 1/3 盒和 2/6 盒那個比 較多？ 1/4 張蔥油餅和 2/8 張蔥油餅，那個比較大？

等值分數的順序與教具 m1/m2 和 n1/n2 誰比較大或 m1/m2=( )/n2 ，教 材順序的安排？ 常用的教具 分數板（圓形板） 離散量的圖示（ 1 單位的內容物個數為兩分數分 母的公因數倍） 數線 討論：設計一題異分母加（或減）的應用題 討論：如何讓不懂異分母加減為何要通分的 學生瞭解其道理？

比和比例 比 (ratio) 是一種數的有序對 (ordered pair) 用以表示相同量或不同量的比較關係。 a:b ; a÷b b≠0 以分數表示比值 比例 (proportion) 是兩個等值比的等式 a:b=c:d ，用以表示 a:b 和 c:d 這兩個比等價 等值分數的等式 1/2 ＝ 3/6 ，即是表示不同 分割活動所產生的分數具有等值關係

比和比例的情境 母子情境： a, b 為同類量，另一數量為全體，另一 為部分 一打襯衫有 12 件，其中四件是藍色的，想要有 8 件 藍色襯衫，需要買幾打？ 組合情境： a, b 為同類量，均為同一全體量的部份 一種親子遊戲， 3 個小孩需要 2 個大人的協助， 15 個小孩需要幾個大人協助？ 交換的情境： a, b 表兩種物件，因某種因素是二者 可互換 1 公尺的絲緞可換 5 公尺的棉布， …

速度的情境： 1 小時跑 50 公里的小汽車， 320 公里的路程，需要多少小時？ 密度情境 濃度情境 （上頁前三種為外延量，本頁為內涵量） 用同一個情境，選用不同數字或敘述方式， 設計出難易不同的比例問題，範例 a 個披薩平分給 b 個人，問 c 個披薩可以分給幾 個人吃？ 12 元可以買 8 顆糖， 9 元可以買多少顆糖？

解比例問題的策略 累加法： 2 個蘋果 15 元， 4 個蘋果 30 ， 6 個蘋果 … ， 8 個蘋果 60 元。 單價法： 12  8 ＝ 1.5, 9  1.5= 倍數法： 9  12 ＝ 3/4, 3/4  8 = 數量分解法： 甲公司手機月費為 4 個月 1000 元， 乙公司 9 個月 3000 元，那一家比較便宜？如果乙和 甲一樣，那 8 個月應該 2000 元，第 9 個月卻要 1000 元 … 公式化：內項乘積＝外項乘積

比例問題的延伸 百分率（ percent ）是一種特殊的比，及 分母（或後項）為 100 的比。使用情境包 括投票率、缺席率、答對百分率 … 百分率的文字題有三類：總量未知、部 分量未知、百分率未知 縮圖、擴大圖、比例尺 圖形的擴大、縮小通常以一維的比例關 係表示倍率

分數乘法 一罐牛奶 2 公升，用了 2/5 罐作優格，請 問用了多少公升的牛奶？ 一瓶牛奶 1/2 公升，用了 2/5 瓶作優格，請 問用了多少公升的牛奶？ 一桶牛奶 5 又 1/3 公升，用了 2/5 桶作優格， 請問用了多少公升的牛奶？

分數除法的教學 每個人吃 2/3 顆葡萄柚， 10 顆葡萄柚夠讓 幾個人吃？ 每個人吃 1/2 顆葡萄柚， 10 顆葡萄柚夠讓 幾個人吃？ 10  2 ＝ 20 why?

媽媽自製葡萄酒，每 2/3 公升裝 1 瓶， 5 公 升可以裝幾瓶，剩多少公升？ 砂糖每 0.3 公斤裝 1 袋， 7.6 公斤可以裝幾 袋？剩多少公斤？