國中七年級數學數位輔助教材 比例式 參考資料：南一書局數學科第二冊 學習單評量補充教材

國小相關內容複習 1.1 斤地瓜粉 10 元， 3 斤地瓜粉是 元，所 以可以 1 ： 3 = 10 ： 表示，比值為 ；反過來說 1 元可以買 斤的地瓜粉。 2. 忠班有 40 人出席 36 人，孝班有 32 人出席 28 人，問 (1) 忠班的出席率 = % 。 (2) 孝班的出席率 = % 。 (3) 哪一般的出席率較高 。 甲

國小相關內容複習 3. 泉安游泳池全票與半票的價錢比為 3 ： 1 ， 若全票 1 張要花 150 元，則老師只買半票 3 張要 元 。 4. 泉安游泳池舉辦，夏令營男生與女生人數 比為 3 ： 2 ，若男生有 36 人，則女生有多 少人？ ；

旅美棒球投手王建民連續兩年以 19 勝 的高勝投率成為洋基隊當家先發投手， 其防禦率如何計算？ 比 圖片

美國 NBA 籃球休士頓火箭隊中鋒姚 明來自中國大陸，其籃球罰球的命 中率如何計算？ 比 圖片

比 中正國中舉辦園遊會，阿章想賣 平時媽媽煮的好吃的玉米濃湯， 怎樣才能煮好一大鍋，又能保持 原有的味道 ?

a 與 b （ b≠0 ）兩個數的比記作 a ： b ， 讀作 a 比 b ，其中 a 稱為比的前項， b 稱為比的後項； 它的比值為 ， 表示前項是後項的 倍。 比 與 比 值比 與 比 值

比 與 比 值比 與 比 值 其實比值就是前項 ÷ 後項。根據除 法法則，除數不得為 0 ，所以若後 項為 0 就違反除法法則了。 所以後項不可以為 0

比 與 比 值比 與 比 值 例：阿寶罰球，投了 15 球，進了 9 球，則 阿寶的命中數與投球數的比就是 9 ： 15 ， 讀作 9 比 15 ，其中 9 稱為比的前項， 15 稱為比的後項； 它的比值為 ， 表示只有命中所有投球數的 ， 即命中球數為投球數的 倍。

例題一：阿金調製的食鹽水溶液，他在 190 克 的水中加入 10 克的食鹽，請問食鹽重量與 食鹽水溶液重量的比是多少？其比值為何 ? 比 與 比 值比 與 比 值 答：食鹽水溶液重量 = =200 食鹽重量：食鹽水溶液重量 =10 ： 200 = 1 ： 20 比值為 = ( 即阿金食鹽佔總重量的 )

隨堂練習 (1) 阿永在 90 公克的水中加入 6 公克的食鹽，請問 阿永在所調製的食鹽水溶液中，食鹽重量與食 鹽水溶液重量的比是多少？ (2) 阿永與阿金所調製的食鹽水溶液，食鹽重量與 食鹽水溶液重量的比值何者較大？ 答 ： (1) 食鹽水溶液重量吋 = 90+6=96 食鹽重量：食鹽水溶液重量 =6 ： 96 = 1 ： 16 (2) ∴阿永的比值較大 ( 阿永的食鹽水較鹹 )

比 與 比 值比 與 比 值 例題二：求比值 (1) 120:15 答： (1) 120:15 的比值為 #

例題二：求比值 (1) 120:15 (2) 答： (2) 1: 的比值為 1÷ =1× = # 比 與 比 值比 與 比 值

例題二：求比值 (1) 120:15 (2) (3) 答： (3) 的比值為 # 比 與 比 值比 與 比 值

隨堂練習 求比值，並化為最簡分數 (1) 12:16 (2) (3) (-1.75):20 答： (1)12:16 的比值為 (2) 的比值為 (3) (-1.75):20 的比值為

例題三：姚明的身高為 7 呎 6 吋；阿金的身高為 1 公尺 80 公分。已知 1 呎 =12 吋， 1 吋 =2.54 公分，請問姚 明與阿金兩人的身高比約為多少？姚明的身高約 為阿金的多少倍？ # 比 與 比 值比 與 比 值 答： 7 呎 6 吋 = 7×12+6 吋 =90 吋 =90×2.54 公分 =228.6 公分 姚明 : 阿金 =228.6 : 180 比值為 =1.27 ， ∴ 姚明的身高大約為阿金的 1.27 倍

隨堂練習 路人甲的體重是 1397 磅，阿明的體重是 50 公斤，已知 1 公斤≒ 2.2 磅，問 (1) 路人甲與 阿明的體重比約為多少？ (2) 路人甲的體 重大約為阿明的多少倍？ 答： (1) 50 公斤 =50×2.2 磅 =110 磅 路人甲與阿明的體重比 =1397:110 =127:10 (2) 比值 = 路人甲的體重大約為阿明的 12.7 倍

注意 兩個不同類量不能比較大小 例如： 3 公里與 5 公斤 有時候不同類量之間會存在比率關係 例如： (1)100 公里： 2 小時的比值就是速率。 (2) 質量 10 ㎏：體積 4m 3 的比值就是密度 (3) 利用人口與土地面積就可計算出該土地 的人口密度。

例題四：某藥廠咳嗽糖漿有兩種不同的包裝，一種 是容量 250c.c. 賣 130 元，另一種是容量 300c.c. 賣 150 元， 請問哪一種較便宜？ 比 值比 值 答：容量 250c.c. 賣 130 元的糖漿，平均每 c.c. 單價為 ，記作 0.52 元 /c.c. 容量 300c.c. 賣 150 元的糖漿，平均每 c.c. 單價為 ，記作 0.5 元 /c.c. 0.52>0.5 ∴容量 300c.c. 賣 150 元的糖漿較便宜

隨堂練習 阿永在高速公路上開車 2 小時行駛 180 公 里，阿金開車 1 小時 30 分行駛 120 公里， 請問哪一輛車較快？ 答：阿永汽車速率 阿金汽車速率 ∴阿永汽車較快

實例 1 若 a ： b 與 c ： d 的比值 = ，則稱此兩個比相 等，記為 a ： b ＝ c ： d 。 比的相等 阿寶與阿明有相同的圓形蛋糕，阿寶切 成 4 塊吃掉 1 塊，阿明切成 8 塊吃掉 2 塊。 吃掉的 : 全部 =1:4 ，比值 為 ，即吃掉全部的 吃掉的 : 全部 =2:8 ，比值 為 ，即吃掉全部的 參考課本 83 頁

比的相等 若 a ： b 與 c ： d 的比值 = ，則稱此兩個比相 等，記為 a ： b ＝ c ： d 。 ∵ b 、 m≠0 ∴ a ： b ＝ ( a×m) ： (b×m) ∵ b 、 m≠0 ∴ a ： b ＝ (a÷m) ： (b÷m) 若 b 、 m≠0 ， 則 a ： b ＝ (a×m) ： (b×m) a ： b ＝ (a÷m) ： (b÷m) 比值相等時，比就相等 比相等時，比值就相等

例題五 比的相等 (1) (-6) ： 9 =[ (-6) × ] ： (9 × ) (2) 30 ： 12 = (30÷6) ： (12 ÷ ) 隨堂練習 (2) 8 ： 12=[ 8 × ] ： (12 × ) (1) 20 ： 24 = (20÷4) ： (24 ÷ ) 6 4

1.8 公分 右圖中苗栗站與台中站在地圖上 的直線距離是 1.8 公分，比例尺上 表示實際距離 40km 的兩 點在地圖上距離只有 1 公分，請問 這兩站實際距離為多少公里？ 同一個地圖中， 地圖上距離：實際距離不會改變 40km= 公分 1 ： =1.8 ：這兩站實際距離 x 1×x= ×1.8 x= ×1.8 公分 = 公分 =72km 比例式 例題六

隨堂練習 比例式 比例尺為為 1 ： 的地圖上，中 正國中與竹北國中兩地的距離是 2.5 公 分，問實際上兩國中的距離是多少公 里？ 設實際距離為 x 公里 x=2.5× x= 公分 =7.5 公里

最簡單整數比 a 與 b 均為整數，如果 a ： b 的比值 為最簡 分數，則稱 a ： b 是最簡單整數比 即 a 與 b 的最大公因數為 1 習慣上，考試時會要求同學以最簡單整數比 表示 ( 方便改考卷 )

最簡單整數比 例題七：化為最簡單整數比 (1) 63 ： 45 (1) 63 ： 45 = (63÷9) ： (45 ÷9) = 7 ： 5

最簡單整數比 隨堂練習：將下列各比化為最簡單整數比 (1) 91 ： 65 (1) 91 ： 65 = (91÷13) ： (65 ÷13) = 7 ： 5 (2) 4.2 ： 1.4 (2) 4.2 ： 1.4 = (4.2×10) ： (1.4 ×10) = 42 ： 14 =(42÷14) ： (14 ÷14) =3 ： 1 習慣先把分數或小數放大為整數再處理

當兩個比 a ： b 與 c ： d （ b≠0 ， d≠0 ）的比值相等， 即 我們稱這兩個比相等，寫成 a ： b ＝ c ： d 。 像這類等式通常叫做比例式，其中 a 和 d 叫做這 個比例式的外項， b 和 c 叫做這個比例式的內項。 比例式的意義

比例式的外項乘積等於內項乘積 比例式的意義 a × d = b × c

比例式 a × d = b × c b b d d 比例式的外項乘積等於內項乘積

例題八：求 x 值 (1) 7 ： 5=4 ： x 比例式 7x=5×4 14 x=14

例題八：求 x 值 (3) (2x-5) ： (5x+3)= 6 ： 5 比例式 6(5x+3)=5(2x-5) 30x+18=10x-25 30x-10x= x=-43

隨堂練習：求 x 值 (1) 5 ： 3= x ： 9 比例式 (1) x=15(2) x=18 (3) 4 ： (2x-1) = 3 ： (x+2)

隨堂練習：求 x 值 (1) 5 ： 3= x ： 9 (3) 4 ： (2x-1) = 3 ： (x+2) 比例式 (1) 5 ： 3= x ： 9 詳解 3 x = 45 x = 15 x = 18

隨堂練習：求 x 值 (1) 5 ： 3= x ： 9 (3) 4 ： (2x-1) = 3 ： (x+2) 比例式 詳解 (3) 4 ： (2x-1) = 3 ： (x+2) 3(2x-1) = 4(x+2) 6x-3 = 4x+8 2x = 11

例題九 比例式 58 0 高粱酒，表示 100c.c. 的高梁酒含有 58c.c. 的 酒精，請問 0.75 公升瓶裝的 58 0 高粱酒中含有多 少公升的酒精？ 設一瓶 0.75 公升瓶裝的 58 0 金門高粱酒 中含有 x 公升的酒精 x ： 0.75=58 ： x=0.75×58 x=0.435 公升

隨堂練習 比例式 阿花家裡上個月的收入與支出的比為 4 ： 3 ，已知上個月阿花家裡的支出是 元，則上個月阿花家裡收入多 少錢？ 設上個月阿花家裡收入 x 元 x ： 45000=4 ： 3 3x=4×45000 x=60000 元

例題十 比例式 已知純葡萄柚汁 5 杯的熱量相當於純西瓜汁 7 杯的熱量，請問 1 杯純葡萄柚汁與 1 杯純西瓜 汁的熱量比是多少？ 設一杯純葡萄柚汁的熱量是 a 卡，一杯純西 瓜汁的熱量是 b 卡， 5a=7b 純葡萄柚汁 5 杯的 熱量相當於純西瓜 汁 7 杯的熱量 a ： b=7 ： 5 5a b 7 5a=7b ： = ： 5a b 7

例題十 比例式 已知純葡萄柚汁 5 杯的熱量相當於純西瓜汁 7 杯的熱量，請問 1 杯純葡萄柚汁與 1 杯純西瓜 汁的熱量比是多少？ 設一杯純葡萄柚汁的熱量是 a 卡，一杯純西 瓜汁的熱量是 b 卡， 5a=7b 純葡萄柚汁 5 杯的 熱量相當於純西瓜 汁 7 杯的熱量

隨堂練習 比例式 阿花今年年齡的 5 倍恰好是數學老師 年齡的 2 倍，請問阿寶與數學老師的 年齡比是多少？ 設阿花今年 x 歲，數學老師今年 y 歲 5x=2y x ： y=2 ： 5

設 a 、 b 、 c 、 d 是任意四個不為零的數， 若 ad ＝ bc ，則： （ 1 ） a ： b ＝ c ： d （ 2 ） a ： c ＝ b ： d （ 3 ） b ： a ＝ d ： c 比例式的性質 腦力激盪 ad ＝ bc bc ＝ ad

比例式的性質 設 =k a=ckb=dk 設 a 、 b 、 c 、 d 是四個不為零的數，且 a ： b ＝ c ： d ，則： （ 1 ） 。 （ 2 ）存在一個不為零的數 k ，使得 a ＝ ck ， b ＝ dk 。

例題十一 已知 a ： b = 3 ： 5 ，求下列各比的比值 (1) 5a ： 2b (2) (a+b) ： (4a-b) ∵ a ： b=3 ： 5 ∴設 a=3k ， b=5k ， k≠0 比例式的性質 (1) 5a ： 2b 的比值為 (2) (a+b) ： (4a-5b) 的比值為

隨堂練習 比例式的性質 已知 a ： b = 7 ： 4 ，求下列各比的比值 (1) (a+b) ： 3b (2) (2a+b) ： (a-b) ∵ a ： b=7 ： 4 ∴設 a=7k ， b=4k ， k≠0 (1) (a+b) ： 3b 的比值為 (2) (2a+b) ： (a-b) 的比值為

問題與討論 1. 若 x=7 ， y=4 ，求 (x+5) ： y 的比值 2. 若 x=14 ， y=8 ，求 (x+5) ： y 的比值 3. 若 x ： y=7 ： 4 ， (x+5) ： y 的比值會是一 個固定的數嗎？ 設 x=7r ， y=4r ， ，比值會隨著 r 改變

例題十二 某次平時考考題敘述不夠清楚，老師決定送 每位學生 16 分，加分前阿永與阿金成績比為 8 ： 7 ，加分後兩人成績比為 10 ： 9 ，求加分 前阿永與阿金成績分別是多少分？ 設加分前阿永 8k 分，阿金 7k 分 ， k≠0 比例式的性質 (8k+16) ： (7k+16)=10 ： 9 9(8k+16) =10 (7k+16) 72k+144 =70k+160 2k =16 k =8 還沒結束 阿永 8k =64 分 阿金 7k =56 分

父子兩人現在的年齡比為 3 ： 1 ，且 5 年前父子 的年齡比為 4 ： 1 ，請問父子兩人現在各幾歲？ 設現在父親 3k 歲，子現在 k 歲 ， k≠0 比例式的性質 (3k-5) ： (k-5)=4 ： 1 4(k-5) =1 (3k-5) 4k-20 =3k-5 k =15 父 3k =45 歲 子 k =15 歲 隨堂練習

例題十三 阿永有壁報紙，長是 110 公分，長寬比是 11 ： 8 ，如果想將長寬比改為 55 ： 34 。請問 (1) 原來的寬是多少公分？ (2) 長不改變，寬應該裁掉多少公分？ (1) 設原來的寬為 x 公分 比例式的性質 110 ： x=11 ： 8 x=80 公分 (2) 設應該裁掉 k 公分 110 ： (80-k) =55 ： 34 55(80-k) =34×110 答 (1) 寬 80 公分 (2) 裁掉 12 公分 (80-k) =34×2 2 k=12

竹塹國中男生與女生比為 5 ： 3 ，若男生人數 再增加 250 人，則男生與女生比為 2 ： 1 ，請問 這所國中原來共有多少人？ 設原有男生 5k 人，女生 3k 人， k≠0 比例式的性質 (5k+250) ： 3k=2 ： 1 2×3k =5k+250 k =250 原有 5k+3k=8k =8× 250 =2000 人 隨堂練習

本單元重點 3. 比的相等 5. 最簡單整數比 4. 若 b 、 m≠0 ，則 a ： b ＝ (a×m) ： (b×m) a ： b ＝ (a÷m) ： (b÷m) 6. 比例式 7. 內項乘積 = 外項乘積 1. 比的定義 2. 比值的定義

9. 設 a 、 b 、 c 、 d 是四個不為零的數， 且 a ： b ＝ c ： d ，則： （ 1 ） 。 （ 2 ）存在一個 k ≠0 ，使得 a ＝ ck ， b ＝ dk 。 8. 設 a 、 b 、 c 、 d 是任意四個不為零的數， 若 ad ＝ bc 則：（ 1 ） a ： b ＝ c ： d （ 2 ） a ： c ＝ b ： d （ 3 ） b ： a ＝ d ： c 本單元重點

自我評量 1. 若 a ： b=12 ： 9 ，下列正確的打○，錯誤打 × ( ) ㄅ a=12 ， b=9 。 ( ) ㄆ a ： b=4 ： 3 。 ( ) ㄇ 。 ( ) ㄈ (a+1) ： (b+1)=13 ： 10 。 × × ○ ○

自我評量 1. 若 a ： b=12 ： 9 ，下列正確的打○，錯誤打 × ( ) ㄉ 。 ( ) ㄊ a ： b=12 的比值為 。 ( ) ㄋ a 是 b 的 倍。 ( ) ㄌ 當 a 是 1 單位時， b 就是 單位。 × ○ ○ ○

自我評量 2. 填空： ㄅ A 數是 B 數的 3 倍時， A ： B= ； B ： A= 。 ㄆ 求比值 a 2 公尺 5 公分： 82 公分的比值為 。 b 3 台斤： 2 公斤的比值為 。 ㄇ 若兩圓的半徑比為 3 ： 2 ， 則周長比為 。面積比為 。 3：13：1 1：31：3 3：23：29：49：4

自我評量 3. 求 x 值： ㄅ 12 ： x=9 ： 12 ， x= 。 ㄆ (2x+1) ： 7=(3x-1) ： 10 ， x= 。 16 17

自我評量 4. x ： y=8 ： 5 ，求下列各小題的比值： ㄅ 5x ： 8y ，比值 = 。 ㄆ (3x-2y) ： (x+2y) ，比值 = 。 1 詳解 設 x=8k ， y=5k ， k≠0 5x ： 8y 的比值 = 設 x=8k ， y=5k ， k≠0 (3x-2y) ： (x+2y) 的比值 =

自我評量 5. 班上有 35 個學生，其中近視的人數的 5 倍是 沒有近視的人數的 2 倍，請問近視的人有多 少人？答 。 詳解 10 人 設近視的人數有 x 人， 沒有近視的人數有 35-x 人 5x=2(35-x) 5x=70-2x 7x=70 x=10 ∴近視的人有 10 人

自我評量 6. 班上男生比女生多 10 人，其中男生人數：女 生人數 =5 ： 3 ，問全班有有多少人？ 答 。 詳解 40 人 設女生人數有 x 人， 男生人數有 x+10 人 (x+10) ： x=5 ： 3 5x=3(x+10) 5x=3x+30 2x=30 x=15 x+(x+10) =2x+10 =30+10 =40 ∴全班有 10 人