第六章 力與運動 (II) 6-2 摩擦力 6-3 摩擦力的性質 6-2 摩擦力 6-3 摩擦力的性質 6-4 後曳力及終端速度 6-5 等速率圓周運動 6-4 後曳力及終端速度 6-5 等速率圓周運動

6-2 摩擦力  當物體沿表面滑動時，表面必對物體施以摩擦力，其方向與表面平行，且與 物體 運動方向相反。  若物體尚未運動，摩擦力為靜摩擦力 (static frictional force) f s ; 若物體在接觸面上 滑動，則為動摩擦力 (kinetic frictional force) f k 。 滑動摩擦的成因

6-2 摩擦力

6-3 摩擦力的性質  若物體尚未運動，則靜摩擦力 f s 與所施之力 F 在接觸面方向的分量相等且平行， 但方向相反。  f s 之大小有一最大值 f s, max ，其值為 f s, max = μ s N ，其中 μ s 稱為靜摩擦係數 (coefficient of static friction) ， N 為正向力的大小。  若力 F 在接觸面的分量大於 f s, max ，則物體必開始在面上滑動，摩擦力大小迅即降 低至 f k ： f k =  k N ，其中 μ k 稱為動摩擦係數 (coefficient of kinetic friction) 。 Forces on your text when it is at rest on your desk. Forces on your text when you push it slightly in the horizontal direction.

測試站 1 ： 地板上有一木塊。 (a) 地板對它的摩擦力大小若干？ (b) 設有一大小 5N 的力施於木塊上， 但木塊沒有移動，則摩擦力大小為若干？ (c) 若木塊的最大靜摩擦力 f s,max 為 10N ，則 當水平的外加力大至 8N 時，木塊會移動嗎？ (d) 若加到 12N 呢？ (e) 於 (c) 中之摩擦力 大小為若干？ (d) 中呢？

例 6-1 當緊急煞車時，車輪被「鎖定」 ( 防止滾動 ) ，整個車子於路面上滑行。輪胎與地面 摩擦所剝落的碎屑，以及路面柏油些許的融化，留下數道「煞車痕」，這正是滑行 過程中所留下的冷銲痕跡。在公路上最長的煞車痕是 1960 年在英格蘭的 M1 高速公路 上，由一部積架車所留下的，長度達 290m ！假設  k =0.6 且在煞車期間車子的加速度 維持一定，是求在輪子被鎖定前車子的速度？

例 6-1

例 6-2 圖中為一女人在水平的雪地上以等速拉動質量 m = 75kg 的雪橇 ( 含所載之物品 ) ，設 雪橇之滑刀與雪地之間的動摩擦係數  k = 0.10 ，而  角為 42 o 。 (a) 求繩中張力 T 之大小 為何？

例 6-2 等速運動 a = 0 x 軸方向： y 軸方向： 解聯立方程

(b) 如果她增加繩上的拉力，以致於 T 大於 91N ，則摩擦力 f k 的大小為大於、小於或等 於 (a) ？ 例 6-2 T↑ ， N↓=> f k ↓

測試站 2 ： 右圖中，大小為 10N 的水平力 F 1 ，作用於地板上的一個箱子，但箱子並沒有滑動。接 著，作用其上的垂直力 F 2 由零開始增加其大小。試問：在箱子開始滑動前，下面這 些量會增加、減少或仍然相同？ (a) 箱子的摩擦力大小。 (b) 地板施於箱子的正向力的 大小。 (c) 箱子的最大靜摩擦力。

例 6-3 圖中為一質量 m 的銅板靜置於傾斜的桌上，書與水平方向成  角。由實驗發現，當  逐漸增加到 13 o 時，銅板處於下滑的邊緣，意指只要稍微超過 13 o ，它就開始滑動。 試求銅板與書之間的靜摩擦係數  s 。

例 6-3 靜止 a = 0 x 軸方向： y 軸方向：

6-4 後曳力及終端速度  當一物體與流體之間有相對速度 v 時，恒受一後曳力 D 之作用，其方向與相 對運動相反 D = C  Av 2 /2 其中，  為空氣密度， A 為物體的有效面積， C 為後曳係數。

 物體在空氣落下時，後曳力 D 指向上並隨物體的速度逐漸增加，最後與重力 達到平衡，此時物體會以等速下落，稱為終端速率 v t 。 6-4 後曳力及終端速度 後曳力與重力平衡 ＝＞ a = 0

6-4 後曳力及終端速度

例 6-4 當貓剛掉下來時，因害怕而縮成一團，達到第一個終端速率為 97km/h ；然後將肢體 張開，其有效捷面積 A 恰好加倍。試問當牠達到另一個新的終端速率時，下降的速 度為何？

例 6-5 一雨滴半徑 R = 1.5mm ，由高度為 h = 1200m 之雲層中自由落下。設雨滴之後曳係數 C 為 0.60 ；落下過程中，均保持正球形。已知水的密度  w 為 1000kg/m 3 ，空氣密度為  a = 1.2kg/m 3 。 (a) 試求雨滴的終端速率。 (b) 若無空氣的後曳力，試求雨滴落地前之 末速度。 (a) (b)

測試站 3 ： 雨滴接近地面時，大雨滴的速率會大於、小於或等於小雨滴呢？設大、小雨滴均為 正球形，且有相同的後曳係數。

6-5 等速率圓周運動  若一質點以等速率 v 作半徑 R 之圓 周或圓弧運動，則稱為等速率圓周運 動。  其向心加速度 a 的大小為  一物體受向心力 (mv 2 /R) 的作用，方 可作等速率圓週運動。

6-5 等速率圓周運動  向心力藉由改變速度的方向來加速物體，而非改變速率的大小。

例 6-6 伊果是國際太空站的前蘇聯太空工程師，在地球上空高度 h = 520 km 之圓形軌道上 以等速率 v = 7.6 km/s 運行。設伊果的質量為 m = 79 kg 。 (a) 試求其加速度。 (b) 試求 地球施於伊果的力。 RERE h

例 年的一場馬戲表演中，綽號『頭殼壞去的狂人』的特技演員 Diavolo 表演單車翻 跟斗的絕技 ( 如圖所示 ) 。假設圓形半徑為 R = 2.7 m ，試問，他在圓形之最高點時， 速率至少要多少才不會中途掉下來。

例 6-7 不會落下的最基本條件： N = 0

測試站 4 ： 當你搭乘一等速率的摩天輪，通過 (a) 最高點 (b) 最低點時，你的加速度 a 及正向力 N ( 來自於你的座位 ) 的方向為何？

例 6-8 轉筒遊戲中，假設遊客的衣服與筒壁間的靜摩擦係數為  s = 0.40 ，圓桶半徑 R = 2.1m 。 (a) 當轉筒地板掉落時，遊客不會跟著掉落之圓筒與遊客最小速率 v 為何？ (b) 若遊客的質量為 49kg ，試求其所受的向心力為何？ y 軸方向： 徑向： (a) (b)

測試站 5 ： 上例中，若轉筒一開始即以不讓遊客掉落的最小速率轉動，隨後轉筒逐漸增加速率。 則 (a) f s 的大小 (b) N 的大小 (c)f s,max 的大小會增加、減小或相同？

例 6-9 圖為一輛參加國際汽車大獎賽 (Grand Prix) 的汽車，質量 m = 60 kg ，此汽車正處於半 徑 R = 100 m 的圓弧形軌道上行進。因為汽車的外型與安裝其上的側翼，使得經過汽 車的空氣會對汽車施以向下的負升力 F L 。若汽車輪胎與跑道間的淨摩擦係數是 0.75 ， 且假設作用於四個輪子上的力量是相等的。則 (a) 當汽車的速度為 28.6 m/s 時，汽車正 處於即將滑出跑道的邊緣，試問 F L 的量值為多少？

例 6-9 y 軸方向 徑 向

例 6-9 (b) 當汽車的速度為 90 m/s 時， F L 的量值為多少？ 當汽車的速度為 90 m/s 時，可以在天花板上行駛。

例 6-10 高速公路的彎道路面上，總是會加上邊坡 ( 使路面傾斜 ) 以防止車輛滑落高速公路。 當高速公路路面乾燥時，輪胎與路面的摩擦力可能足以避免車輛發生滑動，但是當 路面潮濕時摩擦力小至可以忽略，此時讓路面傾斜則是必要的。圖為一質量為 m 的 汽車以速度 v = 20m/s 通過彎道情形，彎道半徑為 R = 190m 。若忽略車子行進所產生 的負升力 F L 與其輪胎與路面的摩擦力，則路面必須傾斜多少角度  ，方能防止汽車發 生滑動情形。

例 6-10 y 軸方向 徑 向 

問： 2, 9, 11 習： 5, 21, 32, 47, 49

QUIZ 試分別繪出右圖中手 和物體的自由體圖， 並求 F 的大小。