思維方法 課程網頁： 第八週： 真值表法Ⅲ：判斷論證的有效性

一、真值表法用於論證 真值表法可以用來檢驗一個論證是有效論證， 還是無效論證。 真值表法考慮前提和結論在邏輯上的「所有可 能情況」。 真值表法判斷論證有效或無效的標準依賴的是 「語意」上的有效推論關係：在前提為真的所 有可能情況中，結論不可能為假。

一、真值表法用於論證 ( 一 ) 論證有效性的檢驗步驟： 1. 將實質論證符號化。 2. 寫出符號化後的論證：前提與前提之間以豆號， 分隔，在最後一個前提和結論之間以 ∕ ∴分隔。 3. 分別畫出前提和結論的真值表。 4. 檢查在每一種可能情況中，有沒有發生「前提皆 真而結論為假」的情況。  有，這個論證是無效論證。  沒有，這個論證有效論證。

一、真值表法用於論證 例 1 ： A  B ∕ ∴ ~A  B 有效論證 例 2 ： ~(A ~B), ~(B ~A) ∕ ∴ A ↔ ~B

一、真值表法用於論證 例 3 ： p→q, q→r ∕ ∴ p→r 有效論證

一、真值表法用於論證 例 4 ： p→q, q→r ∕ ∴ p  r 無效論證

一、真值表法用於論證 ( 二 ) 真值表法的綜合概念： 如果一個論證有不一致的前提，那麼這個論證 （無論其結論為何）必然是有效論證。 例如： ~F M, ~(F  M) ∕ ∴ ~M 如果一個論證只有一個前提，而這個前提是矛盾 句，那麼這個論證（無論其結論為何）必然是有 效論證。 例如： A ~A ∕ ∴ ~B 如果一個論證的結論是套套邏輯，那麼這個論證 （無論其前提為何）必然是有效論證。 例如： B ∕ ∴ R  ~R

一、真值表法用於論證 如果一個論證的前提是套套邏輯，結論也是套套 邏輯，那麼這個論證必然是有效論證。 如果一個論證的前提是套套邏輯，結論不是套套 邏輯，那麼這個論證必然是無效論證。 如果一個論證的結論是矛盾句（邏輯上必然為 假），那麼在以下兩種情況，這個論證有效： 1. 前提裡至少有一個矛盾句。 2. 前提不一致。

一、真值表法用於論證 【練習題】：用真值表法判斷以下論證是有效論證 還是無效論證 例 1 ： ~A  ~M ∕ ∴ ~ (A  M) 無效 例 2 ： ~ (G M), M  ~G ∕ ∴ ~G 有效 例 3 ： A → (N  Q), ~ (N  ~A) ∕ ∴ A→Q 有效 例 4 ： ~ (K  S), S→ ~ (R  K) ∕ ∴ R  ~S 無效

有趣的推理：讀心術Ⅰ 從 1 到 63 選一個數字，我可以說出你想的數字是什麼！

二、日常推理的應用 例 1 ：如果積體電路板是用鑽石晶片做成的，那麼 電腦的運轉溫度會比較低。電腦的運轉溫度不 會比較低而且積體電路板是用鑽石晶片做成的。 因此，電腦的運轉溫度會比較低或者積體電路 板不是用鑽石晶片做成的。 請問：這是一個有效論證嗎？ 提示：把這個論證的前提和結論翻譯成邏輯語 句，而後用真值表分析它是不是有效論證。

二、日常推理的應用 M = 積體電路板是用鑽石晶片做成的 C = 電腦的運轉溫度會比較低 論證： M → C, ~C M ∕ ∴ C  ~M 有效論證

二、日常推理的應用 例 2 ：如果大學畢業生缺乏閱讀能力，那麼他們將 沒有辦法跟別人競爭。如果大學畢業生缺乏寫 作能力，那麼他們將沒有辦法跟別人競爭。因 此，如果大學畢業生缺乏閱讀能力，那麼他們 將缺乏寫作能力。 請問：這是一個有效論證嗎？ 提示：把這個論證的前提和結論翻譯成邏輯語 句，而後用真值表分析它是不是有效論證。

二、日常推理的應用 H= 大學畢業生具備閱讀能力 C= 大學畢業生將可以跟別人競爭 W= 大學畢業生具備寫作能力 論證： ~H → ~C, ~W → ~C ∕ ∴ ~H → ~W 無效論證

三、大定理 塔斯基 (A. Tarski) 與波頓 (Thomas Patton) 教授證明 出「演繹大定理」，簡稱「大定理」。 定義：一論證「 a 1, a 2, ……, a n ∕ ∴ ß 」是有效論證， 若且唯若它的相對應條件句「 (a 1 a 2 …… a n ) →ß 」是套套邏輯。 相對應條件句：以一個論證的「各前提之並言」 作為條件句的「前件」，以「結論」作為「後件 」而構成的條件句。 判斷方式：如果一個論證的相對應條件句是套套 邏輯，那麼它是有效論證。

三、大定理 例 1 ： A  B ∕ ∴ ~A  B 相對應條件句： (A  B)  ( ~A  B ) 根據大定理，原論證有效

三、大定理 例 2 ： L→M, M→N, N→L ∕ ∴ L  N 相對應條件句： (((L→M) (M→N)) (N→L)) → (L  N) 根據大定理，原論證無效

三、大定理 【練習題】：用大定理的方法來判斷以下論證是有 效論證還是無效論證 例 1 ： J→E, ~J ∕ ∴ ~E 無效 例 2 ： P  ~N ∕ ∴ N  P 有效 例 3 ： S→T, S→ ~T, ~T→S ∕ ∴ S  ~T 無效 例 4 ： O → ~T, ~T→B ∕ ∴ O→B 有效

期中考試說明 成績比重：佔學期成績 35% 。 考試範圍：第 1 週到第 8 週所有上課內容。 考題類型：是非題、選擇題、判斷論證的前提 與結論、日常語言翻譯邏輯語言、真值表法判 斷單一語句、真值表法判斷多個語句的關係、 真值表法判斷論證的有效性。 學校的「 iLMS 數位學習系統」或教師的課程網頁 可下載教學投影片。

有趣的推理：網球比賽 學校網球社要舉辦網球單打比賽，採單淘汰方式。 報名人數共五人，因為是奇數，所以把去年的冠 軍列為種子球員，第一回合不用出賽。在第二回 合會再抽出一位種子球員，不用出賽。 這樣算起來，若要打出冠軍，總共要安排四場賽 事。由於最近的宣傳奏效，在報名截止這天共有 37 個人報名。 請問：如果採上述的淘汰賽制，一共要安 排幾場賽事？