广义相对论课堂 24 类光面和史瓦西黑洞

课程安排 复习内容：经典检验和 PPN 讨论内容：非标准坐标、弯曲空间 新内容：史瓦西黑洞 下次课： liser---- 课程：广义相对论

第一个活动 弯曲空间对比平直空间 坐标法 —— 线元

回顾 经典检验和 PPN

deflectiondelayprecession (1+γ)/2γ=-1 γ=β=0 γ=β=1 γ=-1 γ=β=0 γ=β=1 (2+2γ-β)/3γ=β=0

第二个活动 坐标网格 —— 矢量法 矢量分量 —— 非标正基

活动回顾 惯性斜交坐标系 矢量点积

观者 “ 测量 ” 到的能量和动量

第五点：类光面

第一点：史瓦西黑洞端倪 逃逸速度和逃逸角

第二点：史瓦西引力（加速度 ）

第三点：史瓦西半径处不存在 静止观者

第四点：史瓦西半径坐标奇点

第五点： EF 坐标

第六点：光锥结构图

引力塌缩 恒星 : 星际气体云引力塌缩, 热核燃烧, 铁核 两种结局 : 非热压强源 — 电子 / 中子质子 Fermi 压，排斥 性核力 －－有限，＝》重子数 A>Amax 引力太强，没有什么能够阻止，不断地塌缩下去, 穿过 引力半径 r=2M ，背后剩下一个引力 “ 黑洞 ” 引力波有能量－－质量，太强，塌缩成黑洞，真空 GM/rc^2=1 ，逃逸速度 v=√2GM/r=c 巧合，但是图像错 误－－在 “ no-escape ” 半径上和内发射的光子和粒子不是 先上升、再停止、然后落回，而是立即下落、压根就 不会向外运动

引力半径 r=2M 处的非奇点性 R=2M ， g_tt=0, g_rr->∞ dτ= √1-2GM/r dt= √1-2GM/r / √1-2GM/r_0 dτ_0 相对于 r=r_0 钟，在 r=2M 无限红移面 g_00=0 ， 在 r=2M 静止钟（实际上不存在，所以无限红移 面也被称为 static limit? 应该是视界） dτ ＝ 0 是光 信号的特征，径向向外的光静止在 r=2M ，与平 直时空中光锥面运动不同. 误解：不是横向发 光（会落入奇点 r=0 ，不等式说明同于粒子 ) 、 光不是圆周运动， Hartle 例题 9.2 无限红移面－－平直时空转动坐标系

续 潮汐力 / 时空曲率有限，不为零的曲率张量分量、曲率标量，对比奇点 r=0 无穷大 误解：同样质量的球对称黑洞和星体，在 r>2M ，引力同样强（在 GR 中），我们可以用火箭抵 抗引力，停在 r ＝ 2M 上方一点（如果自由运动，最近可在 2M- 逃逸、 3M 不稳定圆周和散射逃 逸、非闭合椭圆 4M 、稳定圆周 6M) 径向自由下落观者穿过 2M ，潮汐力平滑增长，不能直接判别出穿过 2M ，有限固有时到达 r=0 ； r=2M 处没有特殊的 local 性质，但是有一些非常特殊的 global 性质：事件视界，单向膜 平直时空转动系的例子说明无限红移面的存在依赖于坐标选择；而视界的存在不依赖坐标。 这不意味着在一个视界处时空拥有一个显著的局部 local 奇点。但他意味着不论观者喜欢使用 那个坐标，他们都同意这类面（穿过它不可能双向信号联系）的存在和位置。视界指的是空 间的 global 而不是 local 的性质，但这并没有使得视界有任何一点不实在。在施瓦希解，无限红 移面和视界重合，其他解分离，例如 Kerr 解。 对静止观者，在某个面上红移无限，仅仅这个并不必然阻止穿越这个面的通信。可以发生这 样的事情：发射者在无限红移面内部，相对于远处观者红移退减到有限值。同时，总的红移 不但依赖于发射者在引力场的位置，也依赖于发射者的速度。在某个方向， Doppler 红移可能 补偿部分或全部的引力红移。因此，一个 “ 无限红移面 ” 只是相对于一族特殊观者（有特定运动 ）。另一方面，一个视界是时空的一个绝对的性质，完全独立于观者的运动状态。 注意：示意图只是坐标图，不是真实的距离。

r=2M 处施瓦希坐标的行为 笔记。。。 t, r 交换 r=2M 区域，两维面，真的是一个光锥面 r=2M 距离其他时空区域 r 0=>dr^2>0=>r 变 化＝ > 度规变化，依赖于时间 r $r<2M$ 内，空间部分度规依赖于时间坐标 $r$ ，物体之间有一个 确定的空间距离的概念失去意义， 因为对 $dl$ 积分依赖于连接两个空间点的世界线，只有无穷小空 间距离仍然有效。见 Landau\&Lifshitz84 节 236 页第二段。 r=0 奇点为类空面，不是空间一点（平直时空中 r=0 为空间一点的 类时世界线）；奇点发生在一个给定的瞬时 (r=0) 、在所有空间（ 在所有 t,θ,φ 取值）；因此此内部区域依赖时间、动态几何演化到 一个奇点，并且走到终点。外部区域当然永远保持静态。

续－－换到最前面讲 出现问题的原因是施瓦希坐标是静止观者测量的，而 在视界上及内没有观者能够静止，（前面说道径向向 外光线也只能静止）都不可避免地演化到奇点. 两个主题：测试粒子运动、本质上单独地－物理特征 －用光锥研究因果结构，两者互相阐明 在施瓦希坐标下的因果结构 — 光锥 : 不等式 在 r<2M 光锥是横着的，只能向 r 减小的方向，当然这是 因为 r 是时间方向， t 是空间方向。 dt/dr 为通常的（坐标 ）速度

坐标变换去除 r=2M 坐标奇点 r 2M 都可用施瓦希坐标描述，但 穿越 r=2M 需要在该处没有奇点的坐标 多种，例如 Lemaitre 坐标，最简单的两种 ：径向自由下落光线、自由下落粒子 前一种： EF 坐标；后一种： rain frame 光锥 线元分析