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多极矩的相关思考 高飞 2010年11月8日
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一、多极矩中的对称破缺理解 以不对称偶极子为例： 分别计算其对应的偶极矩和四极矩的电势贡献
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可见当Q= - q时，即两点电荷完全相等，则此时为镜面对称，偶极矩项没有电势贡献。
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小结 1.在任一电荷体系中，若其中“任一”点电荷都有其关于原点镜面对称的点电荷，则偶极矩电势贡献 为0
1.在任一电荷体系中，若其中“任一”点电荷都有其关于原点镜面对称的点电荷，则偶极矩电势贡献 为0 2.在任一电荷体系中，若其中“任一”点电荷都有其关于原点球对称的点电荷，则四极矩的电势贡献 为0
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二、一个例题的思考 如左图，一个导体球放在匀强场中，求其在空间的电势。
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解的电势为 1、对解的“偶极子”项存在的理解 解释一、因为外场是匀强场，所以 对于
解释一、因为外场是匀强场，所以 对于 都为0，所以四极矩以及以上极矩都没有被感应（induce）出来，所以只有偶极矩项。 解释二、按前面关于对极矩对称破缺的理解，则可知这个感应导体球的电荷分布是球对称的（每个点电荷都有其球对称的等量异号点电荷），所以是没有四极矩项的。
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2.关于“偶极子项” 对于所有r均成立，不必需要像电偶极子那样 的近似条件的理解：
a.由上面的多极矩分析可知，在此例中，只有偶极矩项有电势贡献，而其他的电势贡献均为0，所以按照泰勒展开 这个对于任何r都是严格的，并没有用 的条件近似。
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b.像偶极子的解释 按照导体球上的电场线趋势可以推测电场线汇聚于球心处，因此可以将导体球上的感应电荷等效成一个在导体球中心的电偶极子P为使满足导体球壳上的电势为0，有如下等式：
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由 可得： 这个结果与事实相符，说明这个像电偶极子能反应这个导体球的感应电荷，且根据图示，可知电场线汇聚在球心处，即该像电偶极子的线度为趋向0。因此，空 间电势的偶极矩项 对于任何空间的r ，r>R都是严格成立的.
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三、对上一例题中的解释一的分析 第六张PPT：“对解的“偶极子”项存在的理解 解释一、因为外场是匀强场，所以对于
都为0，所以四极矩以及以上极矩都没 有被感应（induce）出来，所以只有 偶极矩项。” 思考：若外场满足 则 。于是按上 面的解释，应该得出：电势只有偶极矩和四极矩 项，没有八极矩及以上的项。
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用对称知识进行简单证明： 由 得： 解得：
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由上解得无穷远处的电势为： 坐标轴变换后：
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例题的通解是： 边界条件： 由电势无穷远处边界条件可知，L可取的值为0,1,2
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解得： 求得导体球上的电荷分布：
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利用第一部分“对称”的理解分析所得解： 分析导体球面上球对称两点的电荷密度： 根据对应可知 为导体球自身所带电荷分布， 为导体球偶极子项的电荷分布， 为导体球四极子项的电荷分布。
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由此可得： 若外场满足 则 。得出：电势只有偶极矩和四极矩项，没有八极矩及以上的项。
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