1  超静定次数的确定及力法基本概念 超静定次数的确定及力法基本概念  超静定梁、刚架和排架 超静定梁、刚架和排架  超静定桁架、组合结构和拱 超静定桁架、组合结构拱  对称结构的计算 对称结构的计算  支座移动和温度改变时的力法计算 支座移动和温度改变时的力法计算  超静定结构的位移计算和计算校核 超静定结构的位移计算计算校核

2 a) 静定结构 是无多余约束的几何不变体系。 b) 超静定结构 是有多余约束的几何不变体系。 由此可见：未知力的数目多于平衡方程的数目, 仅由 平衡方程不能求解出全部的未知反力和内力。 超静定次数确定 超静定次数 = 多余约束的个数 = 多余未知力的个数 撤 除 约 束 的 方 式： （ 1 ）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰 支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。 （ 2 ）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支 座，等于撤除两个约束。 （ 3 ）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。 把原结构变成静定结构 时所需撤除的约束个数 = 未知力的个数 — 平衡方程的个数 §7-1 超静定结构的组成和超静定次数

3 撤除约束时需要注意的几个问题： （ 1 ）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。 X3X3 X1X1 X2X2 X3X3 X1X1 X2X2 X3X3 X1X1 X1X1 X2X2 X3X3 （ 2 ）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （ 3 ）内外多余约束都要撤除。 外部一次，内部六次 共七次超静定 （ 4 ）不要把原结构撤成几何 可变或几何瞬变体系 1 撤除支杆 1 后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 、1、 2、2、 5

4 撤除一个约束的方式举例： X1X1 X2X2 X1X1 X2X2 X3X3 X1X1 X2X2 返回

5 撤除两个约束的方式举例： X4X4 X3X3 X1X1 X2X2 X1X1 X2X2 返回

6 撤除三个约束的方式举例： X1X1 X2X2 X3X3 X1X1 X1X1 X2X2 X3X3 每个无铰封闭框都有三次超静定 超静定次数 =3 × 封闭框数 =3×5=15 超静定次数 =3× 封闭框数－单铰数目 =3×5 － 5=10 返回

7 R B 当 Δ B =Δ 1 =0 =1 δ 11 Δ 1P ×X 1 〓 Δ 1 =δ 11 X 1 + Δ 1P =0 1 、超静定结构计算的总原则 : 欲求超静定结构先取一个基本 体系, 然后让基本体系在受力方面 和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量 —— 多余未知力； 基本体系 —— 静定结构； 基本方程 —— 位移条件 （变形协调条件）。 q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B RBRB 〓 X1X1 + > <<<< X1X1 >>> ==== §7-2 力法的基本概念

8 求 X 1 方向位移的虚拟单位弯矩图 P =1 l X 1 = － Δ 1P / δ 11 = 3ql /8 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 3ql/8 ql 2 /8 M图M图 =1 δ 11 Δ 1P ×X 1 Δ 1 =δ 11 X 1 + Δ 1P =0 〓 X1X1 + ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql 2 /2 MPMP l l ， EI X1X1 =1   dx EI MM P P 1 1   dx EI MM          EI qll l EI         lll ql 2 /8

9 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 例： ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ I1I1 I2I2 I2I2 8m 6m q q=20kN/m X1X1 基本体系 160 MPMP X 1 =1 6 6 解： P MXMM  11  kEI k  kEI 1 2 P EI     P k k X      6 EI    P X  11 0  M 图 (kN.m) 超静定结构由荷载产生的内力与 各杆刚度的相对比值有关, 与各杆刚 度的绝对值无关。 q=20kN/m I 2 =k I 1

M 图 (kN.m) m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m C D F SCD － ＋ － 8.9 ＋ F S 图 (kN) F NCA F NCD － － － F N 图 (kN)

11 1 、超静定结构计算的总原则 : 欲求超静定结构先取一个基本体系, 然后 让基本体系在受力方面和变形方面与原结 构完全一样。 力法的特点： 基本未知量 —— 多余未知力； 基本体系 —— 静定结构； 基本方程 —— 位移条件 （变形协调条件）。 位移法的特点： 基本未知量 —— 基本体系 —— 基本方程 —— §7-3 力法方程的典型形式

12 ↓↓↓↓↓↓↓↓ A B q X1X1 B 基本体系 X 2 X1X1 X2X2 Δ BH =Δ 1 Δ BV =Δ 2 =0 =0 ＝ ＝ ＋ ＋ Δ 1 =Δ 11 ＋ Δ 12 ＋ Δ 1P =0 Δ 2 =Δ 21 ＋ Δ 22 ＋ Δ 2P =0 =1 ×X 2 δ 21 Δ 1P δ 12 δ 22 Δ 2P δ 11 X 1 ＋ δ 12 X 2 ＋ Δ 1P ＝ 0 δ 21 X 1 ＋ δ 22 X 2 ＋ Δ 2P ＝ 0 δ 11 ×X 1 含义 : 基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知 力方向上的位移应等于原结构相应的位移，实质上是位移条件。 主系数 δ ii 表示基本体系由 X i =1 产生的 X i 方向上的位移 付系数 δ ik 表示基本体系由 X k =1 产生的 X i 方向上的位移 自由项 Δ iP 表示基本体系由荷载产生的 X i 方向上的位移 主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、付系 数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。

13 对于 n 次超静定结构有 n 个多余未知力 X 1 、 X 2 、 …… X n ，力法基 本体系与原结构等价的条件是 n 个位移条件， Δ 1 =0 、 Δ 2 =0 、 ……Δ n =0 ，将它们展开 δ 11 X 1 + δ 12 X 2 +……+ δ 1n X n + Δ 1P =0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 +……+ δ 2n X n + Δ 2P =0 δ n1 X 1 + δ n2 X 2 +……+ δ nn X n + Δ nP =0 ………………………………………… 或： (A) Δ i =∑δ ij X j + Δ iP =0 i ， j=1 ， 2 ， ……n 由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1 ）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2 ）按照位移条件，列出力法典型方程； 3 ）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（ A ）式求系数和自由项； 4 ）解方程，求多余未知力； 5 ）按 M=∑M i · X i +M P 叠加最后弯矩图。 计算刚架的位移 时，只考虑弯矩的影 响。但高层建筑的柱 要考虑轴力影响，短 而粗的杆要考虑剪力 影响。

14 §7-4 超静定刚架和排架 例题： 力法解图 示刚架 。 ↑↑↑↑↑↑↑ q=23kN/m 6m EI A B C D q=23kN/m ↑↑↑↑↑↑↑ X1X1 X1X1 基本体系 X2X2 X2X2 X1X1 X1X1 =1 6 6 M1M1 X2X2 X2X2 6 6 M2M2 q=23kN/m ↑↑↑↑↑↑↑ 414 MPMP 1 ）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2 ）按照位移条件，列出力法典型方程； δ 11 X 1 ＋ δ 12 X 2 ＋ Δ 1P ＝ 0 δ 21 X 1 ＋ δ 22 X 2 ＋ Δ 2P ＝ 0 3 ）画单位弯矩图、荷载弯矩图， 4 ）用（ A ）式求系数和自由项 5 ）解方程，求多余未知力 144X X 2 － 3726=0 108X X 2 =0 X 1 =36 ， X 2 = － ）按 M=∑M i ·X i +M P 叠加最后弯矩图 M kNm

15 3Fl/16 5Fl/32 M 3Fl/16 5Fl/32 M 3Fl/16 5Fl/32 M Δ 1 =δ 11 x 1 +Δ 1p = 0 X 1 =1 l δ 11 = EI F l/2 X1X1 2) F Δ 1 =δ 11 x 1 +Δ 1p = 0 0 1）1） X1X1 F 3) F X1X1 X 1 =1 F Fl/2 MPMP F Fl/4 MPMP F Fl/2 MPMP EI Fl P  EI Fl P  EI Fl P  Fl X P     Fl X P     F X P     δ 11 = 同一结构选不同的基本体系进行计算，则： 1 ）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同； 方程中的系数和自由项不同。 2 ）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此， 应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。

16 力法基本体系的合理选择 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 尽量使较多的付系数、自由项为零或便于计算。 1 、基本体系应含有较多的基本部分。 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m X1X1 X2X2 X 1 =1 1 X 2 =1 1 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m ql 2 /8 图示连续梁，各跨的刚 度为 EI, 跨度为 a. ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m

17 F ll/2 EI= 常数 F X1X1 X2X2 1 1 X 1 =1 1 F Fl/4

18 例题：用力法解图示刚架。 EI= 常数。 l/2 l F A B E D C F A B E D C X1X1 X 1 =1 F A B E D C Fl/2 MPMP l l 2l l EI l  lll      llllll EI          Fl ll l EI p  F X p     3 7 ×Fl/ M

19 ↓↓↓↓↓↓↓↓ F ll l X 1 =1 F MPMP

20 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MPMP X 1 = X 2 =1 1 1/2 2l/3 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ EI= 常数 l l q ql 2 /8  EI l  EI 3l 4 11  ql 2 /14 ql 2 /28 M

21 ↑↑↑↑↑↑↑↑ 12kN/m 2m 4m EI 2EI ↑↑↑↑↑↑↑↑ 12kN/m X1X1 基本体系 X1X1 = M1M1 MPMP 图乘 δ 11 =[—— —— + （ — - —— ） —–] ·2=—— 2EI 3 EI 2EI 3 3EI Δ 1P X 1 = - —— = (kN) δ M kN.m 6 EI          EI P   超静定排架计算

22 a EI 2 a EI 1 a l l EI 2 a — + a l l a EI 1 = a M M1M1 M2M2 M3M3 返航

23 l l F X1X1 X 1 = F F F F － Δ 1 =δ 11 X 1 +Δ 1P =0 基本体系 F N1 F NP δ 11 = 2) )21( 4  EA l )2( 2 2  l 411(  l  EA 2 N1  l F Δ 1P = ∑ F396.0  F 244 )221(     X 11 1P 1    F 0.603F 0.560F F F §7-5 超静定桁架和组合结构的计算

24 超静定组合结构的计算。例：分析图示加劲梁 l/2 h ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ c E1I1E1I1 E 2 A 2 E3A3E3A3 E3A3E3A3 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ X1X1 基本体系 X 1 =1 c/2h l/4 & ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql 2 /8 M P, F NP =0 解 :δ 11 X 1 +Δ 1P = AEh c AE h IE l     AE c AE h h c    lll IE  2 N EA lF dx EI M     IE ql  ll IE  N11 1 EA l FF dx EI MM NPP P   

25 由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。 如 E 2 A 2 和 E 3 A 3 都趋于无穷大，则 X 1 趋于 5ql/8 ，横梁的弯矩图接 近 于两跨连续梁的弯矩图。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql 2 /32 如 E 2 A 2 或 E 3 A 3 趋于零，则 X 1 都趋于零，横梁的弯矩图接近于简 支 梁的弯矩图。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql 2 /8 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ c/2hX 1 -X 1

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