回顾： 第二章 系统数学模型的建立 到底完成了一件什么事？ 已知输入和输出之间的物理关系，求传递函数 第三章 线性系统的时域分析法 已知输入和传递函数，分析输出的动态特性 常用什么输入 响应 常用什么系统

第三章 线性系统的时域分析法 3.1 各种常用信号和系统 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 第三章 线性系统的时域分析法 3.1 各种常用信号和系统 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 基于MATLAB的线性系统时域分析 小结 动态性能 稳态性能

常用输入信号 图 3-1 典型输入信号

常用输入信号

常用输入信号

常用系统 1. 一阶系统 什么是一阶系统？ 答：由一阶微分方程描述的系统 一阶系统就是惯性环节

二阶系统就是震荡环节 常用系统 什么是二阶系统？ 答：由二阶微分方程描述的系统 式中ζ为振荡环节的阻尼比, ωn为系统的自然振荡角频率 这两个参数是二阶系统的重要结构参数。 二阶系统就是震荡环节

常用系统 典型的二阶系统的结构图如图3-6(a)所示, 它是由一个惯性环节和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。 二阶系统的特征方程为 所以, 系统的两个特征根(极点)为 随着阻尼比ζ的不同, 二阶系统特征根(极点)也不相同。

3.2 系统的时域分析 已知输入和传递函数，分析输出的动态特性 思路： 从c(t)分析输出随时间递进的运动规律 常用单位阶跃函数作为典型输入

3.2 一阶系统的时域分析 3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统就是惯性环节 输入为单位阶跃函数 输出的S域表达式 输出的时域表达式

一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始，按指数规律上升并且最终趋于1的曲线。 cs(t)=1是稳态分量, 由输入信号决定。 ct(t)=-et/T是瞬态分量(暂态分量), 它的变化规律由传递函数的极点s=-1/T决定。 当t→∞时, 瞬态分量按指数规律衰减到零。 一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始，按指数规律上升并且最终趋于1的曲线。 曲线无震荡特性，故为非周期信号

图 3-4 一阶系统单位阶跃响应曲线 一阶系统从零上升到1的时间为T T越小，响应过程越快 t=3T 5%误差带 t=4T 2%误差带

T 2T 3T t h(t) 1/T 0.368/T 0.135/T 0.05/T 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 如果输入信号为理想单位脉冲函数 r(t)=δ(t), R(s)=1 输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即 这时的输出响应称为单位脉冲响应, 记作g(t)。因为g(t)=L-1［G(s)］, 其表达式为

3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应 对于单位斜坡函数 可求得系统输出信号的拉氏变换为 取拉氏反变换可得系统的单位斜坡响应为 (t≥0) 式中, cs(t)=t-T是稳态分量, 它是一个与输入信号等斜率的斜坡函数, 但时间上滞后一个时间常数T; ct(t)=Te-t/T是瞬态分量, 当t→∞时, ct(t)按指数规律衰减到零, 衰减速度由极点s=-1/T决定。

表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。 在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。

定义：︱c(ts) 1 ︱=  ( 取5%或2%) 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡 一阶系统的特点 t c(t) 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 一阶系统响应具备两个重要的特点： ①用时间常数T去度量系统输出量的数值。 ②响应曲线的初始斜率等于1/T。 一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts 定义：︱c(ts) 1 ︱=  ( 取5%或2%) T反映了系统的惯性。 T越小惯性越小，响应快； T越大，惯性越大，响应慢。

3.3 二阶系统的时域分析 3.3.1 二阶系统的标准形式 典型的二阶系统的结构图如图3-6(a)所示, 它是由一个惯性环节和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。系统的传递函数为 令ω2n=K1K2/τ, 1/τ=2ζωn, 则可将二阶系统化为如下标准形式: (3.15)

二阶系统的动态特性, 可以用ζ（阻尼比）和ωn（无阻尼振荡频率）这两个参量的形式加以描述。 二阶系统的特征方程为 所以, 系统的两个特征根(极点)为 随着阻尼比ζ的不同, 二阶系统特征根(闭环极点)也不相同。 要针对阻尼比的不同区分对待

1. 欠阻尼(0＜ζ＜1) 当0＜ζ＜1时, 两特征根为 这是一对共轭复数根, 如图3-7(a)所示。 2. 临界阻尼(ζ=1) 当ζ=1时, 特征方程有两个相同的负实根 s1,2=-ωn  此时, s1, s2如图3-7(b)所示。

3. 过阻尼(ζ＞1) 当ζ＞1时, 两特征根为 这是两个不同的实根。 4. 无阻尼(ζ=0) 当ζ=0时, 特征方程有一对共轭纯虚数根 此时, s1, s2如图所示。

3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为 (3.19) 对上式求拉氏反变换, 可得二阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程为

(3.19) 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 式(3.19)可以展成如下部分分式形式: 阶跃 cos sin 式中, 称为有阻尼自振角频率。 下一步：进行拉普拉斯反变换

3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 式中, 系统的单位阶跃响应表达式 阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s 平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。

1. 欠阻尼情况(0＜ζ＜1) 在欠阻尼情况下, 二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线 衰减速度取决于特征根实部的绝对值 的大小 振荡角频率 是特征根虚部的绝对值 振荡周期为 输出波形与特征根的关系

c(t) t 1 衰减振荡

2. 无阻尼情况(ζ=0) 当ζ=0时, 系统的单位阶跃响应为 无阻尼情况下系统的阶跃响应是 等幅正(余)弦振荡曲线 振荡角频率是ωn。

c(t) t 等幅振荡

3. 临界阻尼情况(ζ=1) 当ζ=1时, 时域表达式分母出现零，无法有效表达 由传递函数式(3.19)可得 式(3.19) 对上式进行拉氏反变换得 (3.25) 所以, 二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线(如图3 - 8所示)。

1 c(t) t 此时响应是稳态值为1 的非周期上升过程，其变化率 1 此时响应是稳态值为1 的非周期上升过程，其变化率 t = 0，变化率为0； t > 0变化率为正，c(t) 单调上升； t →∞ ，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调， 稳态误差＝0。

4. 过阻尼情况(ζ＞1) 这种情况下, 系统存在两个不等的实根, 即 由式(3.19)可得

式中, 取上式的拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为 (t≥0)

显然, 这时系统的响应c(t)包含两个衰减的指数项, 其过渡过程曲线如图3-8所示。此时的二阶系统就是两个惯性环节的串联。 有关分析表明, 当ζ≥2时, 两极点s1和s2与虚轴的距离相差很大, 此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近, 可以用该惯性环节来代替原来的二阶系统。 　0 t c(t) 1.0 ts

随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ=0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, ζ=1时临界阻尼对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时, 过渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态。

总结： 1）ξ<0时，响应发散，系统不稳定； 2）ξ>＝1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢； 3）ξ＝0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡； 4）0<ξ<1时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理ξ选择可使既快又平稳，工程上把ξ＝0.707的二阶系统称为二阶最优系统；

回顾上节课内容 1.梅森公式 2.一阶系统的时域特性 t=3T 5%误差带 t=4T 2%误差带

3.二阶系统的时域特性 特征根 自然震荡角频率 阻尼震荡角频率 阻尼系数 阻尼角

3.二阶系统的时域特性 特征根 振荡周期为 特征根的实部，决定了衰减速度 特征根的虚部系数，决定了震荡频率

特征根 3.二阶系统的时域特性 n p1 p2 jd ξn j  越大，衰减越快， 也就是说特征根的实部越大，衰减越快 特征根的实部 ： 极点距离虚轴的远近 极点距离虚轴越远，越稳定，暂态衰减越快

3.3.3 二阶系统的性能指标 在许多实际情况中, 评价控制系统动态性能的好坏是通过系统反映单位阶跃函数的过渡过程的特征量来表示的。 在一般情况下, 希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态下。 因此, 下面有关性能指标的定义和定量关系的推导主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。 另外, 系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程与初始条件有关, 为了便于比较各种系统的过渡过程性能, 通常假设系统的初始条件为零。 二阶系统单位阶跃响应

图 3-2 动态性能指标

动态性能指标通常有以下几种:  延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短, 响应速度越快。  峰值时间tp: 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。  调节时间ts: 输出与稳态值之间的偏差达到允许范围之内(通常取5%或2%), 响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需的时间。

最大超调量σp: 设阶跃响应的最大值为c(tp), 则最大超调量σp可由下式确定: (3.8) 振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次数的一半称为振荡次数。  上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr评价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。

上升时间tr 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间

和 决定了上升时间， 一定时，阻尼比越大，上升时间越长；阻尼比一定时， 越大则上升时间越短 上升时间tr 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间 始终大于零 和 决定了上升时间， 一定时，阻尼比越大，上升时间越长；阻尼比一定时， 越大则上升时间越短

2. 峰值时间tp 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。 

2. 峰值时间tp 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。 

2. 峰值时间tp 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所需要的时间。  即二阶系统过渡过程峰值时间为

3. 最大超调量σp

3. 最大超调量σp 即 超调量只与阻尼比有关

4. 过渡过程时间ts 输出与稳态值之间的偏差达到允许范围之内(通常取5%或2%),

4. 过渡过程时间ts 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线c(t)位于一对曲线 之内, 这对曲线称为响应曲线的包络线。可以采用包络线代替实际响应曲线估算过渡过程时间ts, 所得结果一般略偏大。若允许误差带是Δ, 则可以认为ts就是包络线衰减到Δ区域所需的时间, 则有 解得

若取Δ=5%, 并忽略 时, 则得 若取Δ=2%, 并忽略 时, 则得 (0＜ζ＜0.9)

5. 振荡次数N 根据振荡次数的定义, 有 调节时间除以振荡周期 当Δ=5%和Δ=2%时, 由式(3.31)和式(3.32)可得

若已知σp, 考虑到 , 即 求得振荡次数N与最大超调量之间的关系为

总结 1.阻尼比 2.自然振荡角频率 3.阻尼角 4.阻尼振荡角频率 5.上升时间 6.峰值时间 7.最大超调量

总结 7.过渡时间 Δ=5% Δ=2% 8.振荡次数

例 3-1 某二阶系统如图所示, 其中系统的结构参数ζ=0 例 3-1 某二阶系统如图所示, 其中系统的结构参数ζ=0.6, ωn=5rad/s。输入信号为阶跃函数, 求性能指标tr、tp、ts、 σp和N的数值。   解 根据给定的参数可以得出 典型二阶系统 所以

例 3-2 设一个带速度反馈的伺服系统, 其结构图如图3-10所示。要求系统的性能指标为σp=20%, tp=1s。试确定系统的K和KA值, 并计算性能指标tr、ts和N。  解 首先, 根据要求的σp求取相应的阻尼比ζ: 已知指标，求 解得ζ=0.456。 其次, 由已知条件tp=1 s和已求出的ζ=0.456 求无阻尼自振频率ωn, 即

解得ωn=3.53rad/s, 将此二阶系统的闭环传递函数与标准形式比较, 求K和KA值。由图3-10得 比较上式两端, 得 所以K=12.5, KA=0.178。 最后计算tr、ts和N:

例3-2 已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。 例3-2　已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。 1 c(t) t 1.3 0.1 解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间。 Mp = 30% tp = 0.1 求解上述二式，得到  = 0.357，n= 33.65(rad/s)。 于是二阶系统的开环传递函数为

3.3.4 二阶系统各个指标之间的关系 阻尼比是分析系统动态品质的重要参量 （1） 时，系统发散 （2） 时，系统做等幅震荡 （3） 时，系统等效于一阶系统，做惯性反映 （4） 时，系统欠阻尼，做减幅震荡 a. 过于小，超调量大，震荡次数多，调节时间长，系统动态品质差 b. 过大，上升速度慢，调节时间长也不好 2. 调节时间 与系统阻尼比 和震荡角频率之积程反比，因此在 一定的情况下，可以通过调节 来减小调节时间。 越大，调节时间越小。

3.3.4 二阶系统各个指标之间的关系 最大超调量只与阻尼比有关，可以根据允许的超调量来选择阻尼比。 为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般应在0.4-0.8之间，这时系统的阶跃响应超调量在1.5%---25%之间

二阶工程最佳参数 3.3.4 二阶系统各个指标之间的关系 常用优化系统参数：令 作业：假设 ωn=5rad/s 求此时系统的各项系统参数指标 ωn=5rad/s

3.4 高阶系统的时域分析 高阶控制系统的传递函数如下式所示。 严格地说, 大多数控制系统都是高阶系统, 这些高阶系统往往是 由若干惯性子系统(一阶系统)或振荡子系统(二阶系统)所组成的 式中, n=q+2r, q为实极点的个数, r为复数极点的个数。

将上式展成部分分式得 稳态分量 一阶暂态分量 二阶暂态分量 对上式求拉氏反变换得

将上式展成部分分式得 稳态分量 一阶暂态分量 二阶暂态分量 对上式求拉氏反变换得

由此可见, 单位阶跃函数作用下高阶系统的稳态分量为A0, 其瞬态分量是一阶和二阶系统瞬态分量的合成

几个结论： (1) 高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数pj和ζkωnk决定。如果某极点远离虚轴(对应的衰减系数大), 那么其相应的瞬态分量比较小, 且持续时间较短。

(2) 高阶系统各瞬态分量的系数Ak、Bk和Ck不仅与复平面中极点的位置有关, 而且与零点的位置有关。当某极点pj越靠近某零点zi而远离其他极点, 同时与复平面原点的距离也很远时, 相应瞬态分量的系数就越小, 该瞬态分量的影响就越小。极端情况下, 当pj和zi重合时(称这对重合的零极点为偶极子), 该极点对系统的瞬态响应几乎没有影响。 因此, 对于系数很小的瞬态分量, 以及远离虚轴的极点对应的快速衰减的瞬态分量常可以忽略。 于是高阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。 增加零点环节，零极点对消，降低系统阶数

(3) 在系统中, 如果距虚轴最近的极点，其实部的绝对值为其他极点实部绝对值的1/5甚至更小, 并且在其附近没有零点存在, 则系统的瞬态响应将主要由此极点左右。 这种支配系统瞬态响应的极点叫做系统的主导极点。一般高阶系统的瞬态响应是有振荡的, 因此它的近似低阶系统的主导极点往往是一对共轭的复数极点。

稳定性是对系统的基本要求，探讨系统的稳定条件，提出保证系统稳定的措施。 3.5 线性系统的稳定性分析 稳定性是对系统的基本要求，探讨系统的稳定条件，提出保证系统稳定的措施。 3.5.1 稳定性的基本概念 设一个线性定常系统原处于某一平衡状态, 若它瞬间受到某一扰动的作用偏离了原来的平衡状态, 当扰动消失后, 如果系统还能回到原有的平衡状态, 则称该系统是稳定的。 反之, 系统为不稳定的。这表明稳定性是表征系统在扰动消失后自身的一种恢复能力, 它是系统的一种固有特性。

系统的稳定性又分为两种: 一是大范围的稳定, 即初始偏差可以很大, 但系统仍稳定; 另一种是小范围的稳定, 即初始偏差必须在一定限度内系统才稳定, 超出了这个限定值则不稳定。 对于线性系统, 如果小范围内是稳定的, 则它一定也是大范围稳定的。 而非线性系统不存在类似结论。  通常而言, 线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。当把控制系统的响应分为过渡状态和稳定状态来考虑时, 若随着时间的推移, 其过渡过程会逐渐衰减, 系统的响应最终收敛到稳定状态, 则称该控制系统是稳定的; 而如果过渡过程是发散的, 则该系统就是不稳定的。

线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。 稳定：暂态分量必须是衰减的 3.5.2 线性定常系统稳定性的充分必要条件 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。 线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。 首先： 系统稳定的必要条件： （1）所有项系数均为正 （2）不能缺项。 不满足则 不稳定

劳斯代数稳定判据 系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。 求特征根有复杂性，需要计算机辅助。寻求更简单有效的方法 劳斯代数稳定判据 由伟达定理，系统特征根都具有负实部的必要条件为：闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，却不一定稳定。下面给现系统稳定的充分必要条件。 系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。

劳斯表中第一列所有项均为正号。 3.5.3 劳斯稳定判据 设控制系统的特征方程式为 首先, 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是: 控制系统特征方程式式(3.42)的所有系数ai(i=0, 1, 2, …, n)均为正值, 且特征方程式不缺项。  其次, 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的充分条件是: 劳斯表中第一列所有项均为正号。

劳斯表（Routh Array） 稳定 首列系数全为正 稳定 首列系数全为正 为了简化其后的数值运算, 可以用一个正整数去除或乘某一整个行, 这时并不改变稳定性结论。

采用劳斯判据判断系统的稳定性时, （1）如果必要条件不满足(即特征方程系数不全为正或缺项), 则可断定系统是不稳定或临界稳定的; （2）如果必要条件满足, 就需要列出劳斯表, 检查表中第一列的数值是否均为正值, 如果是, 则系统稳定, 否则系统不稳定, （3） 系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。

例 3-3 设控制系统的特征方程式为  试用劳斯判据判别系统的稳定性。  解 系统特征方程式的系数均大于零, 并且没有缺项, 所以稳定的必要条件满足。列劳斯表 由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方程中有两个根在复平面的右半平面, 故系统是不稳定的。

例 3-4 设有一个三阶系统的特征方程 式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是a1a2＞a0a3。  证明 上式对应的劳斯表为 根据劳斯判据, 系统稳定的充要条件是劳斯表第一列系数均大于零。 所以有 a1a2＞a0a3

例 3-5 考虑图3-11所示的系统, 确定使系统稳定的K的取值范围。 图 3-11 控制系统框图 对于单位负反馈，已知前向通路传函，求闭环传函的简单方法：

解 由图3-11可知, 系统的闭环传递函数为 所以系统的特征方程为 由稳定的必要条件可知, K＞0。

列劳斯表如下:

根据劳斯判据, 系统稳定必须满足 因此, 使系统闭环稳定的K的取值范围为 当K=14/9时, 系统处于临界稳定状态。

需要指出, 在运用劳斯稳定判据分析系统的稳定性时, 有时会遇到下列两种特殊情况:  (1) 在劳斯表的某一行中, 出现第一个元为零, 而其余各元均不为零, 或部分不为零的情况;  (2) 在劳斯表的某一行中, 出现所有元均为零的情况。  在这两种情况下, 表明系统在复平面内存在正根或存在两个大小相等符号相反的实根或存在两个共轭虚根, 系统处在不稳定状态或临界稳定状态。

若遇到第一种情况, 可用一个很小的正数ε代替为零的元素, 然后继续进行计算, 完成劳斯表。  例如, 系统的特征方程为 其劳斯表为 因为劳斯表第一列元素的符号改变了两次, 所以系统不稳定, 且有两个正实部的特征根。

若遇到第二种情况, 先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程, 再将上述辅助方程对s求导, 用求导后的方程系数代替全零行的元素, 继续完成劳斯表。  例如, 系统的特征方程为 →辅助方程2s2+2=0 ←辅助方程 求导后的系数 由以上可以看出, 劳斯表第一列元素符号均大于零, 故系统不含具有正实部的根, 而含一对纯虚根, 可由辅助方程2s2+2=0解出±j。

3.5.4 系统的稳定裕度 在知道稳定性的基础上，我们还期望知道系统有多稳定 稳定裕度 要知道系统是否具有 a 的稳定裕度 只需要将传递函数中的 s 用 z-a 替换 用新的传递函数计算 例 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否稳定，并检验有几个根在垂直线 s = 1的右边 （是否具有a=1的稳定裕度）？

∴系统在s 右半平面没有根，系统是稳定的。 s3 s2 s1 s0 2 13 10 4 12.2 4 解：1) 劳斯表中第一列元素均为正 ∴系统在s 右半平面没有根，系统是稳定的。 s3 s2 s1 s0 2 13 10 4 12.2 4 解：1) -1 s S1 2) 令 s1 = s  1 坐标平移， 得新特征方程为 2 s13 + 4 s12  s1  1 = 0 劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系统在垂直线 s = 1的右边有一个根。 2 1 4 1 0.5 1 s13 s12 s11 s10 所以该系统不具有1的稳定裕度

3.6 控制系统的稳态误差 定义：稳态条件（ 时）下输出量与期望值之间的误差 作用：稳态误差是控制系统设计衡量系统控制精度的重要指标 定义：稳态条件（ 时）下输出量与期望值之间的误差 作用：稳态误差是控制系统设计衡量系统控制精度的重要指标 现象：控制系统的稳态误差只可减小，不可避免的 无差系统 当稳态误差足够小，可以忽略不计的时候 有差系统 稳态误差不为零的系统 稳态误差的计算方法，由定义 时域形式计算分析复杂 在传递函数已知的情况下，可以采用拉普拉斯终值定理

基本系统结构图如图所示, 系统的误差由两部分组成: 由系统给定信号引起的误差为系统误差或给定稳态误差, 它反映了系统跟踪输入信号的能力; 由扰动输入信号引起的误差称为扰动稳态误差，它反映了系统抑制扰动的能力。 根据线性系统的叠加原理, 可求得系统总稳态误差传递函数为 给定稳态误差 随动系统常用 扰动稳态误差 恒值系统常用

3.6.1 扰动稳态误差计算 定义：恒值系统中，加入扰动后，稳定下来的稳态误差 扰动误差传递函数

试求系统在单位阶跃扰动作用下的稳态误差。 K1 R(s) C(s) ﹣ + E(s) K2 s(Ts+1) N(s) EG. 试求系统在单位阶跃扰动作用下的稳态误差。 解： 系统误差的拉氏变换为

3.6.2 给定稳态误差 普通闭环系统 单位反馈闭环系统 两种定义 E(s)=R (s)-B(s) E(s)= R(s)-C(s) 便于测量和直接计算，常用 对单位反馈系统，上述两种定义等价

把E(s)看作输出 3.6.2 给定稳态误差的计算 E(s) 扰动误差传递函数 开环传递函数

3.6.3 系统的类型 稳态误差的计算与系统的类型有关, 而系统的类型是由开环传递函数决定的。一般情况下, 系统的开环传递函数可以表示为 K为系统的开环放大倍数; τi和Tj为时间常数; γ为开环传递函数中积分单元的个数，或称为系统的无差阶数 γ=0,1和2的系统分别称为0型系统、Ⅰ型系统和Ⅱ型系统。Ⅲ型以上的系统很少见。

1.　单位阶跃输入作用下的稳态误差 令 称为系统的静态位置误差系数 0 型系统： ， ess = A/ (1+ K) Ⅰ型系统： ess = 0 II型系统： Kp = ∞ ess = 0

2. 单位斜坡输入作用下的稳态误差 令 静态速度误差系数 0 型系统：Kv = 0 ess = ∞，0型系统无法跟踪斜坡输入 2.　单位斜坡输入作用下的稳态误差 令 静态速度误差系数 0 型系统：Kv = 0 ess = ∞，0型系统无法跟踪斜坡输入 Ⅰ型系统：Kv = K ess = 1/ K， 有差跟踪 Ⅱ型及Ⅱ型以上系统： Kv = ∞ ess = 0， 无差跟踪

3.　单位加速度输入作用下的稳态误差 令 静态加速度误差系数 0 型系统： Ka = 0 ess = ∞ Ⅰ型系统： Ka = 0 ess = ∞ Ⅱ型系统： Ka = K ess =1/ K Ⅲ型及Ⅲ型以上系统：Ka = ∞ ess = 0

阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差 系统 型别 静态误 差系数 r(t)=A·1(t) r(t)=B t Kp Kv Ka r(t)=Ct2/2 Kp Kv Ka ess=A/(1+ Kp ) ess=B/Kv ess=C/Ka K 0 0 A/(1+ K ) ∞ ∞ 1 ∞ K 0 B/K ∞ 2 ∞ ∞ K C/K

根据以上对三种典型输入、 三种类型系统的分析, 可以得到如下结论: 0型系统对于阶跃输入是有差系统, 并且无法跟踪斜坡信号; Ⅰ型系统由于含有一个积分环节, 所以对于阶跃输入是无差的, 但对斜坡输入是有差的, 因此, Ⅰ型系统也称一阶无差系统; Ⅱ型系统由于含有两个积分环节, 对于阶跃输入和斜坡输入都是无差的, 但对加速度信号是有差的, 因此, Ⅱ型系统也称二阶无差系统。

例 3-7 已知两个系统分别如图3-13(a)、(b)所示。输入r(t)=4+6t+3t2, 试分别计算两个系统的稳态误差。  解： 对线性定常系统，稳态误差是三个输入分别产生的误差总和 阶跃 加速度 斜坡

图3-13(a)为Ⅰ型系统, 它不能跟踪输入信号的加速度分量3t2, 所以该系统的稳态误差ess=∞。 或：对框图1，K=10/4 对I型系统：Kp=0 Kv=6/K=2.4 Ka=∞ 所以：

图3-13(b)为Ⅱ型系统, 开环放大倍数为K=10/4。查表可知, 系统的稳态误差为 对I型系统：Kp=0 Kv=0 Kv=6/Ka=2.4 所以：

3.6.4 稳态误差的抑制措施 1. 提高系统的开环放大倍数 从表3-1可以看出: 0型系统跟踪单位阶跃信号、Ⅰ型系统跟踪单位斜坡信号、Ⅱ型系统跟踪恒加速信号时, 其系统的稳态误差均为常值, 且都与开环放大倍数K有关。若增大开环放大倍数K, 则系统的稳态误差可以显著下降。  提高开环放大倍数K固然可以使稳态误差下降, 但K值取得过大会使系统的稳定性变坏, 甚至造成系统的不稳定。 如何解决这个矛盾, 将是本书以后几章中讨论的中心问题。

2. 增大系统的类型数 从表3-1可以看出: 若开环传递函数(H(s)=1时, 开环传递函数就是系统前向通道传递函数)中没有积分环节, 即0型系统时, 跟踪阶跃输入信号引起的稳态误差为常值; 若开环传递函数中含有一个积分环节, 即Ⅰ型系统时, 跟踪阶跃输入信号引起的稳态误差为零; 若开环传递函数中含有两个积分环节, 即Ⅱ型系统时, 则系统跟踪阶跃输入信号、 斜坡输入信号引起的稳态误差为零。

3. 采用复合控制 采用复合控制, 即在反馈控制基础上引入顺馈(也称前馈)补偿。 这种方法可以在基本不改变系统动态性能的前提下, 有效改善系统的稳态性能。

3.7 基于MATLAB的线性系统时域分析 1. 用MATLAB进行动态响应分析 通过MATLAB提供的函数step( )和impulse( ), 可以方便地求出各阶系统在阶跃函数和脉冲函数作用下的输出响应。  例 3-8 试用MATLAB绘制系统 在单位阶跃函数作用下的响应曲线。

解 获取上述两系统单位阶跃响应的程序如下: %ex-3-8 num1=［1］; den1=［2 1］;  G1=tf(num1, den1);  num2=［25］; den2=［1 3 25］;  G2=tf(num2, den2);  figure(1);  step(G1);  xlabel(′时间′); ylabel(′输出响应′); title(′一阶系统单位阶跃响应′);  figure(2);  step(G2);  xlabel(′时间′); ylabel(′输出响应′); title(′二阶系统单位阶跃响应′);

图 3-14 例 3-8 的MATLAB仿真结果

例 3-9 试用MATLAB绘制例3-8中两系统的单位脉冲响应。 解 本题的程序实现与例3-8类似, 这里从略。 仿真结果如图3-15所示。  应当指出的是, 函数step( )和impulse( )具有不同的参数形式和输出形式, 具体情况请通过MATLAB的Help查询。另外, MATLAB还提供了在任意输入信号作用下, 获取系统输出响应的函数lsim( ), 关于其用法请参见MATLAB软件的联机帮助。

图 3-15 例 3-9 的MATLAB仿真结果

2. 用MATLAB进行系统稳定性分析 可以利用MATLAB求系统特征方程的根来分析系统稳定性。 例 3-10 设系统是由前向通道传递函数Gp(s)和反馈通道传递函数H(s)组成的负反馈控制系统。其中, 试判别系统的稳定性。

解 MATLAB采用roots( )或eig( )计算系统的特征根。 以下是求取上述闭环系统特征根的程序: %ex-3-10 Gp=tf(［1］, ［1 2 4］); H=tf(1, ［1 1］);  G=feedback(Gp, H);  p=eig(G) 计算结果为 p = -0.8389 + 1.7544i; -0.8389 - 1.7544i; -1.3222 由于没有正实部特征根, 因此系统稳定。 只知道闭环传递函数时求特征根的方法

如果已知系统的特征多项式, 求取系统的特征根可采用函数roots( )。  需要说明的是, 程序中feedback( )是构建反馈回路的MATLAB函数, 对于几个传递函数的串联和并联, MATLAB也提供了相应的实现函数series( )和parallel( ), 具体用法请查询MATLAB的联机帮助。

例 3-11 已知系统闭环特征多项式为 D(s)=s4+3s3+3s2+2s+3, 试判断系统稳定性。  解 可用下面程序求取系统特征根: %ex-311 den=［1 3 3 2 3］;  p=roots(den) 计算结果为 p = -1.6726±0.6531i; 0.1726±0.9491i 可见, 系统有两个实部为正的根, 所以系统不稳定。

小 结 本章根据系统的时间响应分析了系统的动态性能、 稳态性能以及稳定性。其主要的研究内容有以下几个方面： 小 结 本章根据系统的时间响应分析了系统的动态性能、 稳态性能以及稳定性。其主要的研究内容有以下几个方面： (1) 通过讨论系统在典型信号下的时间响应, 定义了描述系统动态和稳态性能的一系列指标。动态性能指标通常用单位阶跃响应的上升时间、超调量和调节时间表示; 稳态性能用稳态误差表示。  (2) 分析了一阶、二阶和高阶系统在一些典型输入信号作用下的时间响应。重点研究了二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应, 以及其动态性能指标的计算方法; 还指出, 对于高阶系统在一些条件下可以用低阶系统代替。

(3) 系统的稳定性是系统正常工作的前提。本章简要介绍了稳定性的概念, 指出线性定常系统的稳定性由其闭环极点的位置决定, 同时还介绍了线性定常系统稳定性的一种代数判别方法——劳斯判据。  (4) 稳定的控制系统存在控制精度问题, 这个控制精度通常用稳态误差来描述。本章给出了控制系统稳态误差的定义、 计算方法以及减小稳态误差的途径。  (5) 通过例题介绍了MATLAB在线性系统的时域分析中的应用。

作业：

二、设某系统的特征方程式为，求其特征根，并判断系统 的稳定性。

三、控制系统方块图如图所示：

四、(10分) 在如图所示的系统中, 、n(t)=4t。求系统的稳态误差。