1 電機機械原理簡介

1.1 電機機械、變壓器與日常生活 　　電機機械 (electrical machine) 是把機械能轉成電能，或把電能轉成機械能的裝置。當這種裝置用來把機械能轉換成電能時，稱為發電機；用來把電能轉換成機械能時，稱為電動機。電動機和發電機，都是經由磁場的作用來完成能量的轉換。 　　變壓器是另一種相關的裝置，它把某一準位的交流電能轉換成另一準位的交流電能。

　　上述三種電機裝置在日常生活中到處可見。在家中，電動機驅動電冰箱、冰凍機、吸塵器、攪拌器、冰氣機、電風扇及其他許多類似的器具；在工廠中，電動機幾乎供應所有工作機械的運動能量。 　　為什麼電動機和發電機會如此普遍？答案非常簡單︰電能是一種乾淨而且有效率的能源，它容易作長途傳送且容易控制。在電能的傳送過程中，我們使用變壓器來減少在產生及使用電能的兩地之間，因傳送而產生的能量損失。

符 號 　　本書中向量、電的相量與複數值用粗體字表示（例如 F），而純量用斜體字表示（如 R）。此外，特殊字型用來表示如磁動勢（ℱ）之磁場量。

1.3 旋轉運動、牛頓定理與功率關係 　　通常，要完全描述一個在空間中旋轉的物體需要三次元的向量，但正常的電機均在一個固定的軸上旋轉，因此僅需一個角的次元來描述。在本節中的觀念裡，沿固定軸的旋轉均簡化成純量。 角位置 θ 　　物體的角位置（angular position）θ 係從某一任意參考點所量得的角度，通常以弳度（radians）或度（degrees）為單位，角位置對應於直線運動中的距離（distance）。

角速度 ω 　　角速度（angular velocity）係角位置對時間的變化率。角速度對應於直線運動中的速度（velocity），如同一維空間中的線性速度被定義為沿直線（r）對時間之位移變化率 （1-1）

角速度 ω之定義為角位移θ 對時間的變化率 （1-2） 如果角位置的單位是弳度，則角速度的單位是弳度/秒。 　　在處理一般的電機機械時，通常不用弳度/秒為單位而使用每秒轉數或每分鐘轉數來描述軸速度。

　　下面所列是本書用來表示角速度的符號︰ ωm 以弳度/秒為單位的角速度 fm 以轉數/秒為單位的角速度 nm 以轉數/分為單位的角速度 下標 m 表示上述的符號是代表機械的量，以用來區別電氣的量。 　　這幾個角速度之間的關係如下所示︰ nm =60 fm （1-3a） （1-3b）

角加速度 α 　　角加速度（angular acceleration）是角速度對時間的變化率，角加速度對應於直線運動中的加速度，如同在一度空間的直線加速度被下式所定義 （1-4） 角加速度亦被下式所定義 （1-5） 如果角速度以弳度/秒為單位，則角加速度以弳度/秒平方 為單位。

圖 1-1 (a) 施於圓柱上的力通過軸心， τ ＝0。 (b) 施於圓柱上的力不通過軸心，此處的轉矩 τ 為逆時針方向。

　　轉矩是什麼？大致上我們可以稱它是作用在物體上的扭力。轉矩或扭力的大小是根據（1）作用力的大小，（2）旋轉軸至作用力延伸線的距離所決定。 　　物體的轉矩定義為作用力與作用力延伸線至旋轉軸之最短距離的乘積，如果以 r 表示從轉軸指向施力點的向量， F 表示作用力，則轉矩可以描述如下 τ＝(作用力)(垂直距離) ＝(F)(r sinθ) ＝rF sinθ （1-6）

其中 θ 表示向量 r 及 F 之間的夾角。如果轉矩引起順時 針方向的旋轉，我們稱之為順時針力矩，反之則稱為逆時針力矩（圖 1-2）。 　　轉矩的單位在 SI 單位 系統為牛頓-米；在英制單 位系統則為磅-呎。 圖 1-2 物體所受轉矩公式的推導。

牛頓旋轉定律 　　在直線運動中，牛頓定理描述作用在物體上的力和此物體加速度的關係，如下式所示︰ F＝ma （1-7） 上式中 F＝作用在物體上的淨力 m＝物體質量 a＝所產生的加速度 在 SI 單位系統中，力的單位為牛頓，質量的單位為公斤，加速度的單位為米/秒平方。

　　類似上式的另一公式用來描述作用在物體上的轉矩和此物體角加速度之間的關係，此一關係稱為牛頓旋轉定律（Newton’s law of rotation），其公式如下 τ＝Jα （1-8） 其中 τ 表示作用在物體上的淨力矩，α 表示所產生的角加速度，J 表示物體的轉動慣量。

功 W 　　直線運動中，功（work）的定義為經過一段距離的力之作用，如下式所示︰ （1-9） 在 SI 單位系統中，功的單位為焦耳。 　　旋轉運動中，功的定義為經過一角度的力矩之作用，如下式所示︰ （1-11） 如果轉矩為常數，則 （1-12）

功率 P 　　功率（power）就是做功的比率，或單位時間內所增加的功，如下式所示︰ （1-13） 通常功率的單位為焦耳/秒(瓦特）。 　　根據功率的定義，同時假設作用力大小為常數且其方向和運動方向在同一線上，則功率可以表示如下︰ （1-14）

同理，假設轉矩為常數，則旋轉運動中的功率可以表示如下︰ （1-15）

1.4 磁 場 磁場是電動機、發電機、變壓器作能量轉換的主要機制，下面有四個基本定理，用來描述磁場在這些裝置中如何被使用︰ 1.4 磁 場 　　磁場是電動機、發電機、變壓器作能量轉換的主要機制，下面有四個基本定理，用來描述磁場在這些裝置中如何被使用︰ 1. 一段通過電流的導線會在其周圍產生磁場。 2. 如果通過一線圈的磁場隨時間而變化，則會在這線圈 上感應出電壓（這就是變壓器的基本原理）。 3. 一段帶有電流的導線放置在磁場中，會感應出一作用 力在這導線上（這就是電動機的基本原理）。 4. 一段導線在磁場中運動，則此導線會感應出一電壓 （這就是發電機的基本原理）。

磁場的產生 　　安培定律（Ampere’s laws）說明了電流如何產生磁場︰ （1-18） 上式中，H 表示由電流 Inet 所產生的磁場強度（magnetic field intensity），dl 為沿積分路徑的長度之微分。在 SI 單位系統中，I 的單位為安培(amperes)，H 的單位為 安-匝/米(ampere-turns/meter）。

圖 1-3 為一腳繞著 N 匝線圈的鐵心，如果鐵心是由鐵或其他類似的金屬（統稱為鐵磁材料）所製成，則由電流所產生的磁場會被限制在鐵心內，安培定律中的積分路徑就等於鐵心的平均長度 lc。因線圈有 N 匝，當其流有電流 i 時，穿越積分路徑的電流 Inet 為 Ni，因此安培定律變成 圖 1-3 簡單的鐵心。

Hlc＝Ni （1-19） 上式中，H 是磁場強度向量 H 的大小，因此在鐵心中由供應的電流所產生的磁場強度大小為 （1-20） 對一種材料而言，其磁場強度 H 和磁通密度 （magnetic flux density）B 之間的關係為 B＝ μ H （1-21）

上式中 H＝磁場強度（magnetic field intensity） μ＝材料的導磁係數（magnetic permeability） B＝產生的總磁通密度 磁場強度的單位為安-匝/米，導磁係數的單位為亨利/米 (henrys per meter），磁通密度的單位為韋伯/米平方 (webers per square meter），稱為特士拉（teslas，T）。 真空中的導磁係數以 μ0表示，其值為 （1-22）

其他各種材料的導磁係數和 μ0 的比值我們稱為相對導磁係數（relative permeability）︰ （1-23） 在如圖 1-3 所示的鐵心中，其磁通密度的大小為 （1-24） 而對一已知的面積，其上的總磁通為 （1-25a）

上式中，dA 是此面積上的一微小單位。如果磁通密度向量垂直於面積 A，而且磁通密度在整個面積上均為常數，則上式可以簡化為 （1-25b） 因此圖 1-3 中由電流 i 所產生的總磁通為 （1-26） 其中 A 表示鐵心的截面積。

圖 1-4 (a)簡單的電路。 (b)類似變壓器鐵心的磁路。

磁 路 　　如圖 1-4a 為一簡單的電路，電壓源 V 推動電流 I 流經電阻 R，歐姆定律（Ohm’s law）可以表示出它們之間的關係︰ V＝IR 在電路中，電壓或電動勢（electromotive force）推動電流；同樣的，在磁路中其相對應的量稱為磁動勢（magnetomotive force）（mmf）。磁路中的磁動勢等於供應給鐵心的有效電流︰ ℱ ＝Ni （1-27） 上式中， ℱ 是磁動勢的符號，其單位為安-匝（ampere-turns）。

　　磁路中的磁動勢也有極性（如圖 1-5 所示）。磁動勢的正端是磁通流出的一端；而磁動勢的負端是磁通流入的那一端。由線圈所圍繞的鐵心的極性可由修改過的右手定則得到︰如果右手四指順著線圈電流流動的方向，則拇指就指向磁動勢正端的方向（見圖 1-5）。

　　 圖 1-5 決定磁路中磁動勢源的極性。

　　在磁路中，磁動勢產生了磁通。磁動勢和磁通之間的關係為 （1-28） 上式中 ℱ ＝磁路中的磁動勢  ＝磁路中的磁通量 ℛ ＝磁路中的磁阻（reluctance） 磁路中的磁阻對應於電路中的電阻，磁阻的單位為安-匝/韋伯（ampere-turns per weber）。 ℱ=  ℛ

　　如何計算圖 1-3 中鐵心的磁阻呢？根據式（1-26）鐵心的總磁通為︰ （1-31） ℱ

比較式（1-31）和式（1-28），可得鐵心的磁阻為 （1-32） 數個串聯磁阻的等效磁阻就等於各個磁阻的總和︰ （1-33） 數個並聯磁阻的等效磁阻亦根據下式計算︰ （1-34） ℛ ℛeq = ℛ1+ ℛ2+ℛ3+ … ℛ

例題 1-2 圖 1-8a 為一鐵磁性鐵心，其平均路徑長度為 40 cm，在鐵心的結構中有一 0 例題 1-2 圖 1-8a 為一鐵磁性鐵心，其平均路徑長度為 40 cm，在鐵心的結構中有一 0.05 cm 的氣隙，鐵心的截面積為 12 cm2 ，相對導磁係數為 4000，鐵心上的線圈有 400 匝。假設氣隙的有效截面積較鐵心的截面積增加 5%，根據上面所給的資料，試計算︰ (a)整個磁通路徑的磁阻（包括鐵心和氣隙）。 (b)欲在氣隙中產生 0.5 Wb/m2 的磁通密度須多少電流。

圖 1-8 (a)例題 1-2 的鐵心。 (b)相對於 (a)的磁路。

解︰相對於此鐵心的磁路如圖 1-8b 所示。 (a)鐵心的磁阻為 ℛc

　　氣隙的有效面積為 1.05 × 12 cm2 = 12.6 cm2 ，所以氣　　隙的磁阻為 　　因此磁通路徑的總磁阻為 ℛa ℛeq = ℛc+ ℛa = 66,300 A‧turns/Wb＋316,000 A‧turns /Wb = 382,300 A‧turns /Wb

　　雖然氣隙的長度較鐵心小 800 倍，但氣隙提供了大部　　分的磁阻。 (b)根據式（1-28） ℱ =  ℛ （1-28） 　同時因為  = BA 和 ℱ ＝Ni，因此上式變成 Ni＝BA ℛ

　因此 　　必須注意的是，題目的要求是氣隙的磁通，因此計算　　時使用氣隙的有效截面積。 ℛ

鐵磁性材料的磁化特性 導磁係數由下面的公式所定義︰ B＝ μH （1-21） 為了說明鐵磁性材料中導磁係數變化的情形，我們供應一直流電流到圖 1-3 中的鐵心，且電流的大小由零安培 慢慢的增加到最大的容許值，把磁通量對磁動勢的值繪 出，可得如圖 1-10a 的曲線，這曲線稱為飽和曲線（saturation curve）或磁化曲線（magnetization curve）。

　　圖 1-10b 是另一個類似的曲線，其為磁通密度 B 和磁場強度 H 之間的關係。根據式 1-20 和式 1-25b （1-20）  =BA （1-25b） ℱ

　　我們可以很容易的看出，對一已知的鐵心而言，磁場強度和磁動勢成正比，磁通密度和磁通量成正比，因此 B 對 H 的曲線和磁通對磁動勢的曲線有相同的形狀。根據圖 1-10b 中磁通密度對磁場強度的曲線，在任一點的斜率依照定義就是鐵心在該 H 值時的導磁係數。從曲線上可以看出，導磁係數在未飽和區時很大且幾乎保持常數，而當鐵心飽和時就降到一個很小的值。 　　圖 1-10c 是典型鋼片的磁化曲線，為了使巨大的飽和區能在圖上表示出來，我們把磁場強度取了對數值。

圖 1-10 (a)鐵磁性鐵心的磁化曲線。 (b)以磁通密度和磁場強度表示的磁化曲線。

圖 1-10 (c)典型鋼片的磁化曲線。

圖 1-10 (d)典型鋼片的相對導磁係數對磁場強度的作圖。

例題 1-4 試求出圖 1-10c 中，對應於下列各磁場強度時的相對導磁係數︰(a) H＝50， (b) H＝100， (c) H＝500， (d) H＝1000 A‧turns/m。 解︰材料的導磁係數的公式為 相對導磁係數的公式為 （1-23） 因此，對一已知的磁場強度可以求出其導磁係數。

(a)當 H＝50 A‧turns/m，B＝0.25 T，所以 　以及 (b)當 H＝100 A‧turns/m ，B＝0.72 T，所以

(c)當 H＝500 A‧turns/m，B＝1.40 T，所以 　以及 (d)當 H＝1000 A‧turns/m ，B＝1·51 T，所以

　　值得注意的是，當磁場強度增加時，相對導磁係數先增加而後再減少。圖 1-10d 是上述材料其相對導磁係數對磁場強度的曲線，所有鐵磁性材料都有這種典型的曲線。由圖上的 μr 對 H，可看出，在例題 1-1 到 1-3 中相對導磁係數為常數的假設，只在一小段的範圍內適用。

鐵磁性鐵心中的能量損失 　　假設鐵心內起初沒有磁通，當電流第一次增加的過程中，磁通量沿著圖 1-11b 中路徑 ab 上升，這如同圖 1-10 中所示的磁化曲線。當電流再次減少時，磁通量卻不沿 ab 下降，而沿路徑 bcd 下降。當電流再次增加時，磁通量沿路徑 deb 上升。上述的現象稱為磁滯（hysteresis），圖 1-11b 中路徑 bcdeb 稱為磁滯迴線（hysteresis loop）。

圖 1-11 由交流電流 i(t) 所形成鐵心的磁滯迴線。

　　鐵心的磁滯損失（hysteresis loss）就是每一外加交流電流週期中，分域重新定位所需的能量。對一已知的交流電流，我們可以證明磁滯迴線所包圍的面積和每一週期的能量損失成正比，供應到鐵心的磁動勢較小，則所形成磁滯迴線的面積就較小，所引起的損失也較小。圖 1-13 說明了這個觀點。 　　磁滯損失和渦流損失都會使鐵心產生熱，上述兩種損失均發生於鐵心的金屬內，他們統稱為鐵心損失（core losses） 。

圖 1-13 磁動勢的大小影響磁滯迴線的面積。

1.5 法拉第定律––從一時變磁場感應電壓 　　法拉第定律的敘述如下︰當磁通穿過一匝線圈繞組時，會使線圈感應出一正比於磁通時變率的電壓，寫成方程式的形式︰ （1-35） 上式中，eind 表示線圈的感應電壓， 是穿過線圈的磁通。 如果線圈有 N 匝，而穿過每一匝線圈的磁通都相同時，線 圈所感應出的全部電壓為︰ （1-36）

上式中 eind＝線圈的感應電壓 N＝線圈匝數  ＝穿過線圈的磁通量 方程式中的負號稱為冷次定律（Lenz’ law），冷次定律敘述如下︰如果把線圈的兩端短路，則線圈中感應電壓所引起的電流將產生一反抗外加磁場變化的磁場，因為感應電壓反抗外在的改變，因此式（1-36）中加入一個負號。

圖 1-14 冷次定律的意義︰(a)通過鐵心的磁通增加；(b)感應電壓的極性。

法拉第定律可重新以磁交鏈的方式表示 （1-41） 其中 （1-42） 磁交鏈的單位是韋伯-匝（weber-turns）。 法拉第定律是變壓器操作的基本原理，而冷次定律可以預測變壓器線圈感應電壓的極性。

　　由渦流所引起的能量損失和渦流的路徑長度成正比，所以通常把鐵心分解成許多小疊片，鐵片間加以絕緣，這可使得渦流的路徑被限制在一小區域內。實際的渦流損失與疊片厚度的平方成正比，所以疊片厚度愈薄愈好。 例題 1-6 圖 1-15 所示為一繞有線圈的鐵心，如果鐵心中的磁通如下式所示︰  =0.05 sin 377t Wb 而且線圈為 100 匝，則產生在線圈兩端的感應電壓為何？依圖上所示的方向，在磁通增加的時間內感應電壓的極性為何？（假設沒有漏磁通）

解︰根據前面的討論，當磁通量增加時，感應電壓的極性須如圖 1-15 中所示的極性。感應電壓的大小則為 或

圖 1-15 例題 1-6 的鐵心，感應電壓的方向如圖所示。 圖 1-15 例題 1-6 的鐵心，感應電壓的方向如圖所示。

1.6 導線感應力的產生 　　磁場會對在此磁場中帶有電流的導體感應一力量，圖 1-16 說明了這個基本觀念，導體放在磁通密度為 B 的固定磁場中，磁場的方向指向紙內，導體長度為 l 公尺，流過 i 安培的電流。導體所受力的大小為 F＝i ( l ×B) （1-43） 上式中 i＝導線中電流的大小 l＝導線的長度，為一向量，它的方向和電流流動的方向 相同。 B＝磁通密度向量

圖 1-16 磁場中一帶有電流的導線。

力的方向由右手定則決定，如果右手食指代表向量 l，中指代表向量 B，則拇指將指向導線受力的方向。此力的大小由下式表示 F＝ilB sinθ （1-44） 上式中，θ 是導線和磁通密度之間的夾角。 　　磁場中帶有電流的導線會受一作用力，此為電動機操作的基本原理。幾乎所有的電動機都是根據這基本原理以產生力和轉矩而使電動機轉動。

1.7 磁場中運動導體的感應電壓 　　如果導線以適當方向的移動通過磁場，在導線上將感應出一電壓，這觀念如圖 1-17 所示。導線感應的電壓如下式所示 eind＝(v × B)‧l （1-45） 上式中 v ＝導線的速度 B＝磁通密度向量 l ＝導體在磁場中的長度

圖 1-17 在磁場中移動的導數。

例題 1-9 圖 1-18 所示為一導體以 10 m/s 的速度在磁場中向右移動，磁通密度為 0. 5 T，方向指向紙外，導體長 1 例題 1-9 圖 1-18 所示為一導體以 10 m/s 的速度在磁場中向右移動，磁通密度為 0.5 T，方向指向紙外，導體長 1.0 m，其方位如圖所示。試問感應電壓的大小和極性？ 解︰v × B 的方向為向下，因導線不是上下垂直的擺放，因此 l 的方向選擇如圖上所示，以使 l 和 v×B 間有最小的夾角。導體的感應電壓是底端為正極，其大小為 (1-45）

在磁場中移動的導線會感應出一電壓，此為發電機操作的基本原理，所以稱此現象為發電機作用（generator action）。 圖 1-18 例題 1-9 中的導體。

複數功率 實功與虛功有時可以複數功率 S 來表示為 S＝P＋jQ （1-69） 供給一負載的複數功率 S 可由下列計算得到 S＝VI* （1-70） 其中星號（*) 表共軛複數運算子。

　　假定負載電壓為 V＝V∠α，而流過負載的電流為 I＝I∠β，則供給負載之複數功率為 S＝VI*＝(V∠α)(I∠β)＝VI∠(α－β) ＝VI cos(α－β)＋jVI sin(α－β) 阻抗角 θ 為電壓與電流間的相角差（θ＝α－β），故此式可簡化為 S＝VI cos θ＋jVI sin θ ＝P＋jQ