电子电工学 主讲人：杨少林 材料科学与工程学院

第3章 电路的暂态分析 3.1 电阻元件、电感元件、电容元件 3.2 储能元件和换路定则 3.3 RC电路的响应 第3章 电路的暂态分析 3.1 电阻元件、电感元件、电容元件 3.2 储能元件和换路定则 3.3 RC电路的响应 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法 3.5 微分电路和积分电路 3.6 RL电路的响应

第3章 电路的暂态分析 ： 本章要求 1. 了解电阻元件、电感元件与电容元件的特征; 2. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状 态响应、全响应的概念，以及时间常数的物 理意义; 3. 掌握换路定则及初始值的求法; 4. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。

第3章 电路的暂态分析 稳定状态： 在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 暂态过程： 电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。 研究暂态过程的实际意义 1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。 2. 控制、预防可能产生的危害 暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使 电气设备或元件损坏。

即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系 表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。 3.1 电阻元件、电感元件与电容元件 R u + _ 3.1.1 电阻元件 描述消耗电能的性质 线性电阻 根据欧姆定律: 即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系 金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的 导电性能有关，表达式为： 电阻的能量 表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。

3.1.2 电感元件 - + 描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。 1.物理意义 电流通过一匝线圈产生 (磁通) 3.1.2 电感元件 u  + - 描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。 1.物理意义 电流通过一匝线圈产生 (磁通) 电流通过N匝线圈产生 (磁链) 电感: ( H) 线性电感: L为常数; 非线性电感: L不为常数 2.自感电动势：

3.电感元件储能 根据基尔霍夫定律可得： 将上式两边同乘上 i ，并积分，则得： 磁场能 即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。

3.1.3 电容元件 描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。 + 电容： 3.1.3 电容元件 u i C + _ 电容元件 描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。 电容： 当电压u变化时，在电路中产生电流: 电容元件储能 将上式两边同乘上 u，并积分，则得：

即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。 电容元件储能 电场能 即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。 本节所讲的均为线性元件，即R、L、C都是常数。

3.2 储能元件和换路定则 1.电路中产生暂态过程的原因 u2 t 例： I U (a) 图(a)： 合S前： + - U R3 R2 u2 R1 t I O 图(a)： 合S前： 合S后： 电流 i 随电压 u 比例变化。 所以电阻电路不存在暂态过程 (R耗能元件)。

3.2 储能元件和换路定则 暂态 + uC – iC (b) o t 图(b) 稳态 合S前: 合S后： 由零逐渐增加到U 3.2 储能元件和换路定则 暂态 uC + – C iC (b) U S R o t U 图(b) 稳态 合S前: 合S后： 由零逐渐增加到U 所以电容电路存在暂态过程(C储能元件)

\ u 产生暂态过程的必要条件： (1) 电路中含有储能元件 (内因) (2) 电路发生换路 (外因) 换路: 电路状态的改变。如： 若 发生突变， 不可能！ 一般电路 则 换路: 电路状态的改变。如： 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变 产生暂态过程的原因： 由于物体所具有的能量不能跃变而造成 在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变 ∵ C 储能： 不能突变 C u \ ∵ L储能：

2.换路定则 设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-— 表示换路前的终了瞬间 t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值） 电感电路： 电容电路： 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。

3.初始值的确定 初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 求解要点： (1) uC( 0+)、iL ( 0+) 的求法。 (2)其它电量初始值的求法。 1) 由t =0+的电路求其它电量的初始值； 2) 在 t =0+时的电压方程中 uC = uC( 0+)、 t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。

例1． 暂态过程初始值的确定 C R2 S (a) U R1 t=0 + - L 已知：换路前电路处稳态，C、L 均未储能。 试求：电路中各电压和电流的初始值。 解： (1)由换路前电路求 由已知条件知 根据换路定则得：

uC (0+) uL(0+) _ u2(0+) u1(0+) + C R2 S U R1 t=0 - iC 、uL 产生突变 例1: 暂态过程初始值的确定 iL(0+ ) U iC (0+ ) uC (0+) uL(0+) _ u2(0+) u1(0+) i1(0+ ) R2 R1 + - (b) t = 0+等效电路 C R2 S (a) U R1 t=0 + - L (2) 由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值 , 换路瞬间，电容元件可视为短路。 , 换路瞬间，电感元件可视为开路。 iC 、uL 产生突变

(1) 由t = 0-电路求 uC(0–)、iL (0–) 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 电感元件视为短路。 例2： 换路前电路处于稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。 2 + _ R R2 R1 U 8V t =0 4 i1 iC uC uL iL R3 4 2 + _ R R2 R1 U 8V i1 iC uC uL iL R3 L C t = 0 -等效电路 解： (1) 由t = 0-电路求 uC(0–)、iL (0–) 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 电感元件视为短路。 由t = 0-电路可求得：

例2： 换路前电路处于稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。 + _ i1 iC uC uL iL + _ i1 iC uC uL 2 + _ R R2 R1 U 8V t =0 4 i1 iC uC uL iL R3 4 2 + _ R R2 R1 U 8V i1 iC uC uL iL R3 L C t = 0 -等效电路 解： 由换路定则：

解：(2) 由t = 0+电路求 iC(0+)、uL (0+) iL (0+) 由图可列出 例2： 换路前电路处稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。 t = 0+时等效电路 4V 1A 4 2 + _ R R2 R1 U 8V iC iL R3 i 2 + _ R R2 R1 U 8V t =0 4 i1 iC uC uL iL R3 uc (0+) 解：(2) 由t = 0+电路求 iC(0+)、uL (0+) iL (0+) 由图可列出 带入数据

例2： 换路前电路处稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。 + _ iC iL i + _ i1 iC uC uL iL 解：解之得 t = 0+时等效电路 4V 1A 4 2 + _ R R2 R1 U 8V iC iL R3 i 2 + _ R R2 R1 U 8V t =0 4 i1 iC uC uL iL R3 解：解之得 并可求出

计算结果： iC iL + _ uC i1 uL 电量 可以跃变。 换路瞬间， 不能跃变，但 2 R R2 R1 U 8V t =0 4

结论 1.换路瞬间，uC、 iL 不能跃变, 但其它电量均可以跃 变。 2.换路前, 若储能元件没有储能, 换路瞬间(t=0+的等 效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。 3.换路前, 若uC(0-)0, 换路瞬间 (t=0+等效电路中), 电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为uc(0+); 换路前, 若iL(0-)0 , 在t=0+等效电路中, 电感元件 可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。

3.3 RC电路的响应 一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。 求解方法 1. 经典法: 根据激励(电源电压或电流)，通过求解 电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。 2. 三要素法 初始值 稳态值 时间常数 求 （三要素）

3.3.1 RC电路的零输入响应 + - S R U 2 1 – 零输入响应: 无电源激励, 输 入信号为零, 仅由电容元件的 初始储能所产生的电路的响应。 实质：RC电路的放电过程 图示电路 换路前电路已处稳态 t =0时开关 , 电容C 经电阻R 放电 1.电容电压 uC 的变化规律(t  0) (1) 列 KVL方程 一阶线性常系数 齐次微分方程 代入上式得

(2) 解方程： 特征方程 齐次微分方程的通解： 由初始值确定积分常数 A (3) 电容电压 uC 的变化规律 电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减， 衰减的快慢由RC 决定。

2.电流及电阻电压的变化规律 电容电压 t O 放电电流 电阻电压： 3. 、 、 变化曲线

4.时间常数 令: 单位: s (1) 量纲 时间常数  决定电路暂态过程变化的快慢 (2) 物理意义 当 时 时间常数 等于电压 衰减到初始值U0 的 所需的时间。

时间常数 的物理意义 t O uc U 0.368U 越大，曲线变化越慢， 达到稳态所需要的时间越长。

当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。 (3) 暂态时间 理论上认为 、 电路达稳态 工程上认为 ~ 、 电容放电基本结束。 随时间而衰减 t 0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。

3.3.2 RC电路的零状态响应 uR uC i R S 零状态响应: 储能元件的初 始能量为零， 仅由电源激励所产生的电路的响应。 + U _ C uC uR 零状态响应: 储能元件的初 始能量为零， 仅由电源激励所产生的电路的响应。 实质：RC电路的充电过程 分析：在t = 0时，合上开关S， 此时, 电路实为输入一 个阶跃电压u，如图。 与恒定电压不同，其 U t u 阶跃电压 O 电压u表达式

3.3.2 RC电路的零状态响应 uR uC S 1. uC的变化规律 + (1) 列 KVL方程 U C _ uC (0 -) = 0 方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解 一阶线性常系数 非齐次微分方程 (2) 解方程 求特解 ： 方程的通解:

求特解 ---- （方法二） 求对应齐次微分方程的通解 通解即： 的解 微分方程的通解为 确定积分常数A 根据换路定则在 t=0+时，

-U (3) 电容电压 uC 的变化规律 稳态分量 仅存在 于暂态 +U 过程中 63.2%U 电路达到 稳定状态 时的电压 o t  -36.8%U -U 暂态分量

 表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的 63.2% 时所需的时间。 2.电流 iC 的变化规律 为什么在 t = 0时电流最大？ t 3. 、 变化曲线 U  4. 时间常数  的物理意义 当 t =  时  表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的 63.2% 时所需的时间。

结论： 当 t = 5 时, 暂态基本结束, uC 达到稳态值。 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U t O U 0.632U  越大，曲线变化越慢， 达到稳态时间越长。 结论： 当 t = 5 时, 暂态基本结束, uC 达到稳态值。

3.3.3 RC电路的全响应 uR uC i R S 全响应: 电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。 + U C _ uC (0 -) = U0 S R U + _ C i uC uR 全响应: 电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。 1. uC 的变化规律 根据叠加定理 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应

结论1： 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 零输入响应 零状态响应 全响应 稳态值 稳态分量 初始值 暂态分量 结论2： 全响应 = 稳态分量 +暂态分量

3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法 uR uC i 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。 uC (0 -) = U0 S R U + _ C i uC uR 据经典法推导结果 全响应 稳态解 初始值

在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方 程解的通用表达式： 式中, ：代表一阶电路中任一电压、电流函数 初始值 -- （三要素） 稳态值 时间常数  利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。 一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得 、 和 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。

电路响应的变化曲线 t O t O t O t O

(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式； (3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。 三要素法求解暂态过程的要点 (1) 求初始值、稳态值、时间常数； (2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式； (3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。 t f(t) O 终点 起点

uC 响应中“三要素”的确定 (1) 稳态值 的计算 (1) 稳态值 的计算 求换路后电路中的电压和电流 ，其中电容 C 视为开路, 电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 t =0 3 6 6mA S 1H uC + - t=0 C 10V 5k 1 F S 例：

(2) 初始值 的计算 1) 由t=0- 电路求 2) 根据换路定则求出 3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的 或 注意： 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中 电容元件视为短路。 其值等于 (1) 若 电容元件用恒压源代替， 其值等于I0 , , 电感元件视为开路。 (2) 若 , 电感元件用恒流源代替 ，

时的方程中应有 uC = uC( 0+)、iL = iL ( 0+)。 若不画 t =(0+) 的等效电路，则在所列 t =0+ 时的方程中应有 uC = uC( 0+)、iL = iL ( 0+)。 (3) 时间常数 的计算 对于一阶RC电路 对于一阶RL电路 注意： 1) 对于简单的一阶电路 ，R0=R ; 2) 对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。

R1 U + - t=0 C R2 R3 S R1 R2 R3 R0 U0 + - C R0 R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。

应用举例 - - 例1： 电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于 稳态。试求电容电压 和电流 、 。 t=0 + t=0-等效电路 稳态。试求电容电压 和电流 、 。 S 9mA 6k 2F 3k t=0 + - C R t=0-等效电路 9mA + - 6k R 用三要素法求解 解： (1)确定初始值 由t=0-电路可求得 由换路定则

- - (2) 确定稳态值 + 由换路后电路求稳态值 t=0-等效电路 (3) 由换路后电路求 时间常数  + R 9mA 6k R

18V 54V uC变化曲线 t O 三要素 uC 的变化曲线如图

- 用三要素法求 t=0 + + - + - t =0+ S 3k 6k 54 V 9mA t=0+等效电路 R C 3k 9mA 2F 6k 54V 18V 2k t =0+ + -

i1和i2 。 例2： 电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。 t=0时S闭合，试求：t ≧0时电容电压uC和电流iC、 + - t=0 6V 1 2 3 解： 用三要素法求解 求初始值 由t=0-时电路 t=0-等效电路 1 2 + - 6V 3

+ - S t=0 6V 1 2 3 2 3 + - 求稳态值 求时间常数 由右图电路可求得

+ - S t=0 6V 1 2 3 ( 、 关联)

 也具有时间的量纲，是 RL 电路的时间常数。 i 1 S 　　在 t = 0 时将开关 S 合到 1 的位置。 + t = 0 2 uR 　　　　　 根据 KVL， t ≥ 0 时电路的微分方程为 + R – U + – uL L – 上式的通解为 在 t = 0+ 时，初始值 i (0+) = 0，则 。于是得 式中  也具有时间的量纲，是 RL 电路的时间常数。

3.6.1 RL 电路的零输入响应 t=0 2 1. RL 短接 R + 1 - (1) 的变化规律 (三要素公式) 1) 确定初始值 U + - S R L 2 1 t=0 1. RL 短接 (1) 的变化规律 (三要素公式) 1) 确定初始值 2) 确定稳态值 3) 确定电路的时间常数

U + - S R L 2 1 t=0 O (2) 变化曲线 U O -U

2. RL直接从直流电源断开 (1) 可能产生的现象 1 + - 1)刀闸处产生电弧 2)电压表瞬间过电压 1 + - S 2 t=0 R U + - S R L 2 1 t=0 (1) 可能产生的现象 1)刀闸处产生电弧 2)电压表瞬间过电压 U + - S R L 2 1 t=0 V

(2) 解决措施 t=0 2 1) 接放电电阻 S 1 + - U L t=0 2) 接续流二极管 VD 2 S 1 + - U L VD R L 2 1 t=0 1) 接放电电阻 VD U + - S R L 2 1 t=0 2) 接续流二极管 VD

图示电路中, RL是发电机的励磁绕组，其电感较大。RF是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏开关触头，往往用一个泄放电阻R´ 与线圈联接。开关接通R´同时将电源断开。经过一段时间后，再将开关扳到 3的位置，此时电路完全断开。 例: 电路稳态时S由1合向2。 U L RF + _ R R´ 1 S 2 3 i (1) R´=1000, 试求开关S由1合 向2瞬间线圈两端的电压uRL。 (2) 在(1)中, 若使U不超过220V, 则泄放电阻R´应选多大？

解: (3) 根据(2)中所选用的电阻R´, 试求开关接通R´后经 过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出95%？ (4) 写出(3) 中uRL随时间变化的表示式。 解: 换路前，线圈中的电流为 (1) 开关接通R´瞬间线圈两端的电压为 (2) 如果不使uRL (0) 超过220V, 则 即

(3) 求当磁能已放出95%时的电流 求所经过的时间

3.6 .2 RL电路的零状态响应 U + - S R L t=0 1. 变化规律 三要素法

2. 、 、 变化曲线 O O

3.6.3 RL电路的全响应 t=0 12V + - R1 L S 1H U 6 R2 3 4 R3 + - R2 R1 1. 变化规律 (三要素法)

12V + - R1 L S U 6 R2 3 4 R3 t =  时等效电路 R1 L 6 R2 3 4 R3 1H

2. 变化规律 用三要素法求 + - R1 1.2A U 6 R2 3 4 R3 t=0+等效电路

+ - R1 i L U 6 R2 3 4 R3 t= 时等效电路 变化曲线 2 1.2 O 变化曲线 4 2.4

已知：S 在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。求: 电感电流 例: 已知：S 在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。求: 电感电流 t=0 3A R3 IS 2 1 1H _ + L S R2 R1 解: 用三要素法求解 t = 0¯等效电路 2 1 3A R1 (1) 求uL(0+) , iL(0+) 由t = 0¯等效电路可求得

+ _ t = 0+等效电路 由t = 0+等效电路可求得 (2) 求稳态值 t = 等效电路 由t = 等效电路可求得 t=0 3A R3 IS 2 1 1H _ + L S R2 R1 t = 0+等效电路 2 1 2A R1 + _ R3 R2 由t = 0+等效电路可求得 t = 等效电路 2 1 R1 R3 R2 (2) 求稳态值 由t = 等效电路可求得

t -4V + _ (3) 求时间常数 2A iL , uL变化曲线 t=0 3A R3 IS 2 1 1H L S R2 R1 2 t 2A 稳态值 起始值 -4V iL , uL变化曲线

本章作业 P49: 1.12.6, 1.12.7 P50: 1.12.10