概率论与数理统计 主讲：统计学院 任俊柏

第1章 随机事件及其概率 1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式

1.1 随机事件 一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件及其发生 四、事件之间的关系和运算

(1) 确定性现象 自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,

(2) 随机现象 确定性现象的特征 条件完全决定结果 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.

实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数. 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.

实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品. 其结果可能为: 正品 、次品. 实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.

实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女. 实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果

说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?

一、随机试验 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

说明 (1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. (2) 随机试验通常用 E 来表示.

实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面、反面出现的情况”. 分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面、反面; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.

同理可知下列试验都为随机试验. (1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. (2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. (3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.

(4) 考察某地区 10 月份的平均气温. (5) 从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.

现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 . 二、样本空间 现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 . 我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. . Ω 样本点e

实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况. 实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.

实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况. 实例4 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.

实例5 记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.

说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为 若观察出现正面的次数 , 则样本空间为

说明 3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.

在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.

三、随机事件及其发生 随机事件： 通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的结果。 通俗地讲　随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的结果。 根据这个说法不难发现　随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！　 22

实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. “点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件. 它们分别可以对应了样本空间Ω ={1,2,3,4,5,6}的 子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝． 反过来， Ω的每个子集都对应了该试验的一个随机事件．

随机事件的定义 　 随机试验 E 的样本空间Ω 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件. 　 当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称事件Ａ发生．

实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 特别地： 基本事件　由一个样本点组成的单点集 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.

几点说明 1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等等.

2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件. 样本空间Ω作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示必然事件． 空集　不含任何样本点表示不可能事件．

四、事件之间的关系和运算 事件之间的关系 1．事件的包含 　设　、 　为两个事件，如果　中的基本事件都是　　的基本事件，则称　包含于　，记为　　　，或　包含　，记为　　　 .　　　　 事件　发生 事件　发生 实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 28

若两个事件 和 相互包含，则称这两个事件相等，记为 . 2.事件的相等 若两个事件　和　相互包含，则称这两个事件相等，记为　 　 . = 　和　同时发生或者同时不发生 29

3.事件的和（并） 将事件　的基本事件和　的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为　 和　的和事件，记为　　　，可读成　并　或　加　.有时也可记为　 　 .　 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此 C=“产品不合格”是A=“长度不合格”与B=“直径不合格”的并. 即

4.事件的积（交） 将事件　的和　共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为　和　的和事件，记为　　　，可读成　交　或　乘　 . 有时也可记为　　.　 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ,Ａ＝“长度合格”,Ｂ＝“直径合格”．

和事件与积事件的运算性质

5.事件的差（减） 事件　发生而事件　不发生 从事件　中将属于事件　的基本事件除去,剩下的基本事件组成的新事件称为　和　的差事件,记为　 　 . 实例 设 Ｃ＝“长度合格但直径不合格” ,Ａ＝ “长度合格”,Ｂ＝ “直径合格”.

6.事件的互斥（互不相容） 事件　、 不可能同时发生 若事件　和　没有共同的基本事件，则称　和　互斥，也称互不相容，记为　　　　　　　 . 注意 基本事件是两两互斥的 .

事件 不发生 7.事件的逆（对立事件） 称必然事件 和事件 的差 为 的逆事件，记为 ， 如果 和 互逆，则也可称 和 互为对立事件 对立 事件　不发生 7.事件的逆（对立事件） 称必然事件　和事件　的差　　　为　的逆事件，记为　 ，　 如果　和　互逆，则也可称　　和　互为对立事件 对立 实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点” 36

事件的运算规律 由集合的运算律， 易给出事件间的运算律. 设 为同一随机试验 中的事件， 则有 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律

(4) 自反律 (5) 对偶律 注： 上述各运算律可推广到 有限个或可数个事 件的情形.

(6) 吸收律 (7) 替换律

1 例 甲,乙,丙三人各射一次靶,记 “甲中靶”, 则可用上述三 “乙中靶”, “丙中靶”, 个事件的运算来分别表示下列各事件: (1) 甲,乙,丙三人各射一次靶,记 “甲中靶”, 则可用上述三 “乙中靶”, “丙中靶”, 个事件的运算来分别表示下列各事件: (1) “甲未中靶” (2) “甲中靶而乙未中靶” (3) “三人中只有丙未中靶” (4) “三人中恰好有一人中靶” (5) “三人中至少有一人中靶” 或

(6) “三人中至少有一人未中靶” 或 (7) “三人中恰有两人中靶” (8) “三人中至少有两人中靶” (9) “三人中均未中靶” (10) “三人中至多一人中靶” (11) “三人中至多两人中靶” 或

(6) “三人中至少有一人未中靶” (11) “三人中至多两人中靶” 注: 用其它事件的运算来表示一个事件, 方法往往 不唯一, 如本例中的 (6) 和 (11) 实际上是同一事件, 大家应学会 特别在解决 具体问题时, 往往要更具需要 方法. 用不同方法表达同一事件, 选择一种恰当的表示

作业 P19 练习1.1 3 4 5

1.2 随机事件的概率 一、概率的统计意义 二、概率的古典定义 三、概率的公理化定义 四、概率的性质

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率. 事件发生的可能性 越大，概率就 越大！ 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量

一、概率的统计意义 定义 若在相同条件下进行 次试验， 其中 发生的 则称 为事件 发生的 次数为 频率. 显然

实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 试验 序号 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 试验 序号 2 0.4 22 0.44 251 0.502 1 2 3 4 5 6 7 3 0.6 25 0.50 249 0.498 随n的增大, 频率 fn(H)呈现出稳定性 1 5 1 2 4 0.2 21 0.42 256 0.512 1.0 25 0.50 247 0.494 0.2 24 0.48 0.502 251 0.4 18 0.36 262 0.524 0.8 27 0.54 258 0.516

从上述数据可得 (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的fn(A)不一定相同; (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率fn(A)的随机波动幅度较大,但随 n 的增大, 频率fn(A) 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率fn(A)总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.

实验者 德 摩根 2048 1061 0.5181 蒲 丰 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005

重要结论 　　当实验次数 n 较小时,事件Ａ发生的频率波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件Ａ在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率．

概率的统计定义 定义 在相同条件下进行n次重复试验, 若事件A 发生的频率 随着试验次数n的增大而 稳定地在某个常数P附近摆动, 则称P为事件A的概 率，记为P(A).

二、概率的古典定义 我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为 古典概型

假定某个试验有有限个可能的结果 e1, e2, …，eN , 假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei ，比任一其它结果ej , 更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球. 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球. 8 5 9 6 1 4 2 3 10 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10. 10个球中的任一个被取出的机会都是1/10 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5

且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 . 我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 如i =2 2 则该试验的样本空间 Ω ={ 1 , 2 , … , 10 } 3 4 7 9 10 8 6 1 5 且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古典概型.

若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验模型为等可能概型或古典概型.

古典概型中事件概率的计算 古典方法. 设古典型随机试验E的样本空间为 对任意事件 ,若 则定义 事件 发生的概率 称此概率为古典概率, 对任意事件 ,若 则定义 事件 发生的概率 称此概率为古典概率, 这种确定概率的方法称为 古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基 本事件的计数问题.

这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的 基本计数原理 1. 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm 种方法 . 第二种方式有n2种方法, …； 第m种方式有nm种方法, 无论通过哪种方法都可以完成这件事，

基本计数原理 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有 种不同的方法 . …； 第m个步骤有nm种方法, 2. 乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有 种不同的方法 . ， …； 第m个步骤有nm种方法, 必须通过每一步骤,才算完成这件事，

加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 .

3.排列、组合的几个简单公式 1、排列: 从n个不同元素取 k 个 ( )的不同排列总数为： k = n时称全排列

4.组合: 从n个不同元素取k个 （1 k n)的不同组合总数为： 有时记作 , 称为组合系数. 排列和组合的区别: 顺序不同的排列视为不同的排列, 而组合与顺 序无关.

1 7 个白球, 例 一个袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3 个黑球, 求: (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率; (2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的 概率 以及两个球全是黑球的概率. 解 (1) 10 个球中任取一个, 共有 种. 从 而根据古典概率计算, 事件 “取到的球为黑球” 的概率为

1 7 个白球, 例 一个袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3 个黑球, 求: (2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的 概率 以及两个球全是黑球的概率. 解 (2) 10 个球中任取两球的取法有 种, 其中 刚好一个白球, 一个黑球的取法有 种取法, 两个球均是黑球的取法有 种, 记 为 事件“刚 好取到一个白球一个黑球”, 为 事件“两个球均 为黑球”, 则

例2 (抽签原理)袋中有 只白球和 只黑球，它们除颜色不同外其他方面没有差别，现在将球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的一只球为白球的概率

解法1: 且每种排列机会相同:古典概型

解法2: 且每种方法机会相同:古典概型 因此

两种不同的解法有相同的结果，两种解法的区别在于： 选取的样本空间不同 第一种方法把球看作“有个性”的 要顾及各白球和各黑球间的顺序因而采用排列的方法 而第二种方法则同色球不加区别,不需要注意顺序而采用组合的方法 不管采用什么样的样本空间,必须注意以下两点: (1)同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等; (2)在计算样本点总数和事件的有利场合数时必须在同一个样本空间中进行

解法3： 只考虑前k个球的情形,用排列的方法: 解法4： 只考虑第k次取球的情形

例3 某城市有N部轿车，车牌号从1到N,有一个外地人到该城市去，把遇到的n部轿车的牌号抄下（可能重复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码恰好为k的概率. 解: 假设该城市的所有轿车等可能地出现在该城市的任意地方(这是合理的,因为外地人到该城市也是随机的),每部轿车被遇到的可能性可以认为相同 符合古典概型的要求 外地人抄车牌号相当于从N个元素中有放回地抽取n个元素

有利场合要求抄到的最大车牌号恰好为k 相当于抄到的车牌号必须不超过k,且必须至少抄到一次“k” 有利场合数=车牌号不大于k的取法总数 —车牌号不大于(k-1)的取法总数 因此,抄到的最大号码恰好为k的概率为

三、概率的公理化定义 在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 下面介绍用公理给出的概率定义.

Ω是它的样本空间, 定义: 设E是随机试验, 对于 E的每一件事件A 赋予一个实数,记为P(A), 若P(A)满 足下列三个条件: 1. 非负性: 对每一个事件A, 有 2. 完备性: 3. 完全可加性: 对任意可数个两两互不相容的 事件 有 则称 P(A)为事件A的概率.

四、概率的性质 这就是概率的公理化定义,由于其定义用到较多的现代数学理论和方法,我们只作上面的简单介绍. 由概率的公理化定义可以推出概率的如下性质:

性质1 令 则 证明 由概率的可列可加性得 由概率的非负性知, 故由上式可得 注： 不可能事件的概率为0, 但反之不然. 证毕

性质2 (有限可加性)设 是两两互不相 容的事件, 则有 证明 令 既有 由概率的可列可加性得 证毕.

性质3 证明 因 且 由性质2, 得 证毕.

性质4 证明 因 且 再由概率的有限可加性, 即得 所以 证毕 又由概率的非负性知, 则有 若 则有

性质5 对任一事件A, 证明 因 由性质4, 得 证毕.

性质6 (加法公式) 注： 性质6可推广到任意有限个事件的并的情形. 例如,

例 4 已知 求 (1) (2) (3) (4) 解 (1) 因为 且 与 是不 相容的, 故有 于是 (2)

例 4 已知 (3) (4) 求 (3) 解 (4)

45%, 35%, 例 5 某城市中发行2 种报纸 经调查, 在这 2 种报纸的订户中, 订阅 报的有 订阅 报的有 同时订阅 2 种报纸 10%, 求只订一种报纸的概率 解 记事件 则 {只订一种报} 又这两件事是互不相容的, 由概率性质 ,有

例6 已知在100件产品中有95件正品和5件次品,购买者从中任取一半检查，如果发现次品不多于一个,则认为这批产品合格，求这批产品被购买者认为合格的概率. 解 =0.1811

例7 在甲袋中有3只白球,7只红球，15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球,现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率. 解

例7 在甲袋中有3只白球,7只红球，15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球,现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率.

例8 一袋中装有9只黑球和1只白球,每次从袋中随机地摸出一球,并换入1只黑球,求第k次摸出黑球的概率. 解 在第k次前若摸出白球,则要换入黑球,则第k次一定摸出黑球 前k-1次必须每次摸出黑球,第k次摸白球 所以

例9 在 1~2000 的整数中随机的取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少？ 解：设A为事件“取到的整数能被6整除”,B为“取到的整数能被8整除” ,则所求的概率为： 所以能被6整除的整数 为：6，12，18…1998 共 333 个

其中 B ={8, 16, … 2000 } AB = {24, 48 …1992 } AB 为“既被6整除又被8整除”或“能被24整除” 于是所求的概率为：

作业 P27练习1.2 3 4 P28练习1.2 8 9 10 11

1.3 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 二、事件的独立性 三、独立试验及伯努利试验模型

一、 条件概率 条件概率是概率论中一个重要而实用的概念.它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率，将此概率记作P(B|A). 一般 P(B|A) ≠ P(B)

巧合吗？ 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？ 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， 掷骰子 于是P(A|B)= 1/3. 容易看到 P(A|B) 巧合吗？

定义 设A、B是两个事件， 且 则称 (1) 为在事件A 发生的条件下， 事件B 的条件概率. 注： 用图表达(1)式. 若事件A 已发生, Ω AB B A 已发生, 且又是B中的样本点, 则此点必属于AB. 因已知A 已发生, 故A成为新的样本空间.

性质 设B是一事件, 且P(A)>0, 则 1. 对任一事件A, 2. 3. 设 互不相容, 则 此外, 前面所证概率的性质都适用于条件概率. 计算 (1) 用定义计算; (2) 根据加入条件后改变了的情况来计算.

例：A={掷出2 点}， 1) 用定义计算: 掷骰子 P(A|B）= 2)从加入条件后改变了的情况去算 P(A|B）= B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数

解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 解法1: 解法2: 在B发生后的 缩减样本空间 中计算

解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4

3 7 个白 例 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球, 球, 先后两次从袋中各取一球 (不放回). (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍 是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也 是黑球的概率. 解 记 为 次取到的是黑球” 事件“第 (1) 在已知 发生, 第二次取球就在剩下的 2 个 黑球、7 个白球, 根据古典概率计算, 即有

(2) 在已知 发生, 即第二次取到的是黑球的条件 下, 求第一次取到黑球的概率. 第一次取球发生 在第二次取球之前, 故问题的结构不像 (1) 那么直 观. 我们可按定义计算 更方便一些. 由

若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 乘法公式 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率 由条件概率的定义： 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 而 P(AB)=P(BA) 故 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)

乘法公式易推广到多个事件的情形 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则 设 为n个事件, 且 则

由公式得 例4 今有一张足球票，n个人都想得到，故采用抽签的办法分配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是1/n． 解 记Ai={第i人抽到足球票} ，则 ． 由公式得

例5 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率． 解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}，i=1,2,3，则有 A=A1A2A3．由题意得 故

该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型．上述概率显然满足不等式 P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2) . 这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大．所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型．

我们说，在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？

二、事件的独立性 两事件的独立性 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 设 显然 P(A|B)=P(A) 这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约. 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) P(AB)=P(B)P(A|B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.

两事件独立的定义 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. 定理1 设 是两事件， 若 相互独立， 反之亦然.

例6 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B) 说明事件A、B独立.

在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 例如 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 . （即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）

又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.

即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算： P(AB)=0 而P(A) ≠0, P(B) ≠0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即 故 A、B不独立 即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥.

问：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们既相互独立又互斥? 这两个事件就是 Ω和 P( Ω) =P( )P(Ω)=0 与Ω独立且互斥 不难发现， 与任何事件都独立.

=P(A)[1- P(B)]= P(A) P( ) 定理：若两事件A、B独立，则 也相互独立. A、B独立 证明: 仅证A与 独立 P(A )= P(A - A B) 概率的性质 = P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)]= P(A) P( ) 故A与 独立 . 证毕

有限个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件： 定义 对于三个事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) 成立,则称事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立.

推广到n个事件的独立性定义,可类似写出： 设 是 个事件， 若对任意 个事件 均满足等式 则称事件 相互独立.

定义 设A,B,C为随机事件,若 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) 则称事件A,B,C两两相互独立

对n(n>2)个事件 相互独立 两两独立 ? 对独立事件，许多概率计算可得到简化：

定理 逆事件,对偶律 证明略

例7 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 1 所求为 2

例 8 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、 二、三、四道工序的次品率 分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的 零件的次品率. 解 设 为四道工序发生次品事件, 为 加工出来的零件为次品的事件,

三、独立试验及伯努利试验模型 在n次试验中,如果任何一次试验中事件A发生的概率不受其他各次试验结果的影响,则称这n次试验为相互独立试验,简称独立试验.

如果一个试验在给定的条件下独立重复n次,且满足: (1)每次试验只有两个可能的结果: (2)每次试验中事件 发生的概率相等, 且 则称这样的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验

注： 重伯努利试验是一种很重要的数学模型， 在实际问题中具有广泛的应用. 其特点是： 事件 在每次试验中发生的概率均为 且不受其它 各次试验中 是否发生的影响.

定理 (伯努利定理) 设在一次试验中， 事件 发生的概率为 则在 重贝努利 试验中， 事件A恰好发生k次的概率为

推论 设在一次试验中， 事件A发生的概率为 则在伯努利试验序列中， 事件A 在第k次试验中才首次发生的概率为 注意到 “事件A第k次才首次发生” 等价于 “事件A前 次均不发生， 而第 次才发 生” .

作业 P37练习1.3 2 4 6

1.4 全概率公式与逆概率公式 一、全概率公式 二、逆概率公式

样本空间的分割 定义 也称为 的一个分割

引例1： 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求取得红球的概率. 1 2 3 如何求取得红球的概率？？？

一、全概率公式 全概率公式

证明 事件的性质 概率的性质 乘法公式

全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.

全概率公式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 而且每一原因对结果的影响程度已知， 则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．

再看引例1 1 2 3 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 解: 记 Ai ={ 球取自 i 号罐 } i = 1, 2, 3, A1, A2, A3是样本空间的一个分割; B ={ 取得红球 } 代入数据计算得： 依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 因为B 发生总是伴随着 A1, A2, A3 之一同时发生．

再看引例1 1 2 3 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 解 记 Ai ={ 球取自 i 号罐 } i = 1, 2, 3, A1, A2, A3是样本空间的一个分割; B ={ 取得红球 } 因为B 发生总是伴随着 A1, A2, A3 之一同时发生．

依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 代入数据计算得：

例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解 设事件 B 为“任取一件为次品”, 30% 50% 20%

例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 事件 B 为“任取一件为次品”, 30% 2% 1% 50% 1% 20%

由全概率公式得

下面就介绍为解决这类问题而引出的逆概率 (Bayes)公式 引例2： 　　某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1号罐的概率. 2 1 3 这是一个条件概率问题 下面就介绍为解决这类问题而引出的逆概率 (Bayes)公式

二、逆概率公式(Bayes公式) 称此为逆概率公式或贝叶斯公式.

证明 乘法公式 条件概率 全概率公式 　该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.

逆概率公式(Bayes公式)的使用 我们把事件B看作某一过程的结果， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用逆概率公式．

逆概率公式(Bayes公式)的使用 我们把事件B看作某一过程的结果， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用逆概率公式．

某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1号罐的概率. 再看引例2 1 2 3 　某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1号罐的概率. 解 记 Ai ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; B ={ 取得红球 } 代入数据计算得： 依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, A1, A2, A3是样本空间的一个分割．

某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1号罐的概率. 再看引例2 1 2 3 　某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1号罐的概率. 解 记 Ai ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; B ={ 取得红球 } A1, A2, A3是样本空间的一个分割．

依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 代入数据计算得：

例2

(2) 由逆概率公式得 同理可得

例2

解

(1) 由全概率公式得 (2) 由逆概率公式得

例3 由逆概率公式得所求概率为 解

例3 解

由逆概率公式得所求概率为

先验概率与后验概率 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97 叫做后验概率.

先验概率与后验概率的关系 先验概率 逆概率公式(Bayes公式) 后验概率

例4 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症. 解

例4 解

由逆概率公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.

i 0 1 2 3 4 设一批产品中有i 件次品为事件Ai , i = 0,1,…,4 例5 B 为一批产品通过检验 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( B )与 从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率； (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率.

解 设一批产品中有i 件次品为事件Ai , i = 0,1,…,4 A0, A1, A2 , A3, A4是样本空间的一个分割． B 为一批产品通过检验 已知P( Ai )如表中所示， 且 i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652

i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652 0.123 0.221 0.397 0.179 0.080 （1） 一批产品通过检验的概率； （2） 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率.

i 0 1 2 3 4 例5 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品数不超过4件, 每批产品中有i 件次品的概率为 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率； (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率.

解 设一批产品中有i 件次品为事件Ai , i = 0,1,…,4 B 为一批产品通过检验 则 已知P( Ai )如表中所示，且

结果如下表所示 i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652 0.123 0.221 0.397 0.179 0.080

作业 P41练习1.4 1 2