Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed 機率 2017年2月26日星期日 第 6 章 機率 Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

指派機率的三個方法 指派機率的方法有三種： •古典方法(classical approach)：是數學家用來決 定與機會遊戲相關的機率問題。 •相對次數方法(relative frequency approach)：是 以一個事件在長時期下發生的相對次數定義機率。 •主觀方法(subjective approach)：使用他或她的判 斷力指派機率給感興趣的實驗結果。 第6章 機率 第182-183頁

古典方法 如果一項實驗有n 種可能的結果，這種方法將指派1/n 的機率給每一種結果。因此，判定可能結果的次數是必要的。 實驗： 投擲骰子 實驗： 投擲骰子 樣本空間 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 機率： 每一種結果被指派的機率為1/6。 第6章 機率 第183頁

相對次數方法 Bits & Bytes 電腦商店追蹤一個月(30天)期間桌上型電腦系統售出的數量: 例如, 30天當中的10天 售出2部桌上型電腦 由此我們可以建立一事件 (即，在任一給定日子,電腦系統售出數量)的機率… 售出的電腦 天數 1 2 10 3 12 4 5 第6章 機率

相對次數方法 “在任何一給定的日期,有40% 的機會 Bits & Bytes 將會賣出3部桌上型電腦”。 1 1/30 = .03 2 售出的電腦 天數 1 1/30 = .03 2 2/30 = .07 10 10/30 = .33 3 12 12/30 = .40 4 5 5/30 = .17 ∑ = 1.00 第6章 機率 第頁

主觀方法 「在主觀方法上，我們以對一個事件發生的信賴程度來定義機率。」 例，降雨機率“P.O.P.”的天氣預測 不同的預測者以不同的方法定義“降雨的機率”,但是基本上它是一種根據過去觀察並且綜合目前天氣狀況的主觀機率。 POP 60%–根據目前狀況,有60% 的機會會下雨。 第6章 機率 第183頁

機率的解析 無論使用哪一種指派機率的方法，我們使用無限多次實驗的相對次數方法解析機率。 例如，一種政府的樂透遊戲，其中 6 個號碼(共49個號碼)會被抽出。古典方法將會預測任何一個號碼被抽出的機率是1/49=2.04% 。 我們詮釋此機率為：以長時間而言，每一個號碼被抽出的機會是2.04% 。 第6章 機率 第184頁

聯合、邊際和條件機率 我們研究決定事件機率的各種方法，這些事件是以各種方式與其他事件組合而得。 有幾種事件組合的方式與事件之間的關係： 餘集事件 交集事件 聯集事件 互斥事件 相依與獨立事件 第6章 機率 第186頁

A Ac 餘集事件 事件A的餘集(complement)被定義為由“不在A中”的所有樣本點組合而成的事件。 A的餘集是以Ac表示之 下列的范氏圖說明餘集的概念。 P(A) + P(Ac ) = 1 A Ac 第6章 機率 第196頁

事件的定義 例如,長方形中存放投擲2個骰子所有可能的結果 {(1,1), 1,2),… (6,6)} 令 A = 投擲的總和為 7 {(1,6), (2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(總和 = 7) + P(總和不等於 7) = 1 A Ac 第6章 機率 第183頁

A B 兩個事件的交集 事件A 和事件B 的交集(intersection) 是A 和B 同時發生的事件。 它被表達成A 且B。 即，P(A 且 B) A B 第6章 機率 第186頁

兩個事件的交集 例如, 令 A = 投擲的第一個骰子為 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} 且 B = 投擲的第二個骰子為 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} 交集是 {(1,5)} A和B的聯合機率是 A和B交集的機率 即,P(A 且 B) = 1/36 A B 第6章 機率 第186頁

A B 兩個事件的聯集 事件A 和B 的聯集(union) 是指A 發生，或B 發生，或兩者皆發生的事件。 它可以被表達成 A 或 B 第6章 機率 第192頁

兩個事件的聯集 例如,令 A = 投擲的第一個骰子為 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} 且 B = 投擲的第二個骰子為 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} A 和 B的聯集是 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} A B 第6章 機率 第192頁

互斥事件… A B 當兩個事件是互斥(也就是兩個事件不能一起發生),它們的聯合機率是0， 因此： 互斥; 沒有共同點… 第6章 機率 第181頁

各種機率的基本關係… 餘集事件 聯集事件 A Ac A B 交集事件 互斥事件 A B A B 第6章 機率 第頁

表6.1 告訴我們一個共同基金超越市場的表現和它的經理人畢業於前20 名的MBA 學程的聯合機率是.11。 範例6.1 為何有些共同基金的經理人比其他的共同基金經理人成功？一個可能的因素是這類經理人取得他或她的MBA 學位的地方。假設一個潛在的投資者檢查共同基金表現好壞與基金經理人獲得MBA 學位處所之間的關係。分析之後，得到表6.1，它是一個聯合機率的分配表。分析這些聯合機率並解析這些結果。 表6.1 告訴我們一個共同基金超越市場的表現和它的經理人畢業於前20 名的MBA 學程的聯合機率是.11。 第6章 機率 第187頁 表6.1

範例6.1 為了讓我們的工作簡單一點，我們將用符號來表示事件。令： P(A2 且B1) = .06 = 共同基金超越市場的表現 A1 = 基金經理人畢業於前 20 名的MBA 學程 A2 = 基金經理人不是畢業於前 20 名的MBA 學程 B1 = 共同基金超越市場的表現 B2 = 共同基金沒有超越市場的表現 P(A2 且B1) = .06 = 共同基金超越市場的表現 且基金經理人不是畢業於前 20 名的MBA 學程 第6章 機率 第187.188頁 表6.1

邊際機率 邊際機率(marginal probability) 是由計算列總和與行總和所得; 也就是，它們被計算在表格的邊際上： P(A2) = .06 + .54 基金經理人不是畢業於 前20名的MBA 學程 P(B1) = .11 + .06 機會加總成1 共同基金超越市場的表現 第6章 機率 第189頁

條件機率 條件機率是用來決定兩個事件是如何相關聯的；也就是，給定另一相關事件的發生(條件)， 我們可以決定一事件的機率。 條件機率表達成 P(A | B) 並且讀為“A給定B條件下之機率” 並且計算為： 第6章 機率 第189,190頁

注意“A 給定 B” 與“B 給定 A” 是如何相關的… 條件機率 再次地，在給定另一事件已經發生的條件下，一事件的機率被稱為條件機率… 注意“A 給定 B” 與“B 給定 A” 是如何相關的… 第6章 機率 第190頁

條件機率 範例 6.2 畢業於前20名MBA學程的經理人所管理的基金，它將超越市場表現的機率為何? 回顧: A1 = 基金經理人畢業於前20 名的MBA 學程 A2 = 基金經理人不是畢業於前20 名的MBA 學程 B1 = 共同基金超越市場的表現 B2 = 共同基金沒有超越市場的表現 因此，我們想要求的條件機率表達成 P(B1 | A1)。 第6章 機率 第188.190頁

條件機率 我們想計算 P(B1 | A1) B1 B2 P(Ai) A1 A2 P(Bj) .11 .29 .40 A2 .06 .54 .60 P(Bj) .17 .83 1.00 因此，畢業於前20名MBA學程經理人所管理的基金，有27.5% 的機會將超越市場的表現。 第6章 機率 第190頁

獨立 一個計算條件機率的目的是判定兩個事件是否相關。 具體地說，我們希望知道是否它們是獨立事件，從另一個角度來看，兩個事件是獨立的，假如一個事件發生的機率不會被另外一個事件的發生所影響。 兩事件A 和B 被稱為是獨立，如果 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 第6章 機率 第191頁

獨立 例如，我們看見 P(B1 | A1) = .275 B1 的邊際機率是：P(B1) = 0.17 因為 P(B1|A1) ≠ P(B1), B1 與 A1 為非獨立的事件 換言之，它們是相依的。也就是，(B1) 事件的機率會受另外一個事件 (A1) 發生的影響。 第6章 機率 第191頁

聯集 我們先前敘述過兩事件的聯集被表達成: A 或 B。我們可以使用此觀念回答如下的問題： 決定一個隨機選取的共同基金超越市場的表現或它的經理人畢業於前 20 名MBA 學程的機率。 第6章 機率 第192頁

聯集 A1 或 B1 發生， 每當: A1 且 B1 發生, A1 且 B2 , 或 A2 且 B1 發生… B1 B2 P(Ai) A1 或它的經理人畢業於前20 名MBA 學程的機率(A1) 。 A1 或 B1 發生， 每當: A1 且 B1 發生, A1 且 B2 , 或 A2 且 B1 發生… B1 B2 P(Ai) A1 .11 .29 .40 A2 .06 .54 .60 P(Bj) .17 .83 1.00 P(A1 or B1) = .11 + .06 + .29 = .46 第6章 機率 第192, 193頁

聯集 B1 B1 B2 P(Ai) A1 A2 P(Bj) A1 P(A1 or B1) = .11 + .06 + .29 = .46 或它的經理人畢業於前20 名MBA 學程的機率(A1) 。 B1 B1 B2 P(Ai) A1 .11 .29 .40 A2 .06 .54 .60 P(Bj) .17 .83 1.00 A1 P(A1 or B1) = .11 + .06 + .29 = .46 第6章 機率 第192頁

另一種選擇… 取100%並且減去“當不是(非) A1 或 B1 發生時”? 即，在A2 且 B2 B1 B1 B2 P(Ai) A1 A2 .11 .29 .40 A2 .06 .54 .60 P(Bj) .17 .83 1.00 A1 P(A1 或 B1) = 1 – P(A2 且 B2) = 1 – .54 = .46 第6章 機率 第193頁

機率法則和樹狀圖 我們將介紹三個法則，幫助我們從比較簡單的事件去計算更複雜事件的機率。 餘集法則(Complement Rule) 乘法法則(The Multiplication Rule) 加法法則(Addition Rule) 第6章 機率 第196.197.199頁

餘集法則 事件A 的餘集(complement) 是A 事件不發生的事件。對任何事件A P(AC) = 1 – P(A) 例如，投擲一顆骰子，投擲出 “1” 的機率是1/6 。 投擲出除了1之外其他數字的機率是1 – 1/6 = 5/6 。 第6章 機率 第196頁

乘法法則 乘法法則(multiplication rule)是用以計算兩個事件的聯合機率。它是基於前一章所介紹的條件機率公式。也就是，從下列的公式： 我們簡單地將兩邊同乘以P(B) 即可導出乘法法則。 P(A 且 B) = P(B) P(A | B) 或者是另一種表達方式 P(A 且 B) = P(A) P(B | A) 任何兩獨立事件A 和B 的聯合機率是P(A 且 B) = P(A) P(B) 第6章 機率 第197頁

範例6.5 一門研究所的統計課程有7 位男學生和3 位女學生。授課教授希望隨機抽選2 位學生以幫助她進行一項研究方案。抽到的2 位學生皆是女性的機率為何？ 令A 表示第一位抽出學生為女性的事件 P(A) = 3/10 = .30 下一位學生又是如何呢？ 第6章 機率 第197-198頁

範例6.5 一門研究所的統計課程有7 位男學生和3 位女學生。授課教授希望隨機抽選2 位學生以幫助她進行一項研究方案。抽到的2 位學生皆是女性的機率為何？ B 表示第二位抽出學生也為女性的事件 P(B | A) = 2/9 = .22 在抽出一位學生之後，班上只剩下9 位學生。給定第一位抽出學生是女性的條件下，僅剩下2 位女學生。故2 (女性) / 9 (剩下的學生) = 2/9 第6章 機率 第198頁

範例6.5 一門研究所的統計課程有7 位男學生和3 位女學生。授課教授希望隨機抽選2 位學生以幫助她進行一項研究方案。抽到的2 位學生皆是女性的機率為何？ 因此, 我們要回答此一問題: P(A and B) 為何? “這位教授從她的10人研究所班級中抽到 2位女性學生的機率是 6.7% ” 第6章 機率 第198頁

範例6.6 參考範例 6.5。 假如教該課程的教授遭受到流行性感冒而且將無法來上接下來的兩堂課。來代課的教授將替她教課兩次。他的風格是上課隨時會隨機抽出一位學生並要他或她回答問題。抽到2位學生皆是女性的機率為何？ 令A 表示第一位抽出學生為女性的事件 P(A) = 3/10 = .30 下一位學生又是如何呢？ 第6章 機率 第198頁

範例6.6 B 表示第二位抽出學生也為女性的事件 P(B | A) = 3/10 = .30 也就是，給定第一位被選出學生是女性的條件下，第二位被抽出學生也是女性的機率是不變的，因為在第一堂課中被抽出的學生，在第二堂課中也可以被抽出。 P(A 且 B) = P(A)P(B) = (3/10)(3/10) = 9/100 = .090 第6章 機率 第198頁

加法法則 A B A B + – = 事件A，或事件B，或兩事件都發生的機率是 P(A 或 B) = P(A) + P(B) – P(A 且 B) A B A B + – = P(A 或 B) = P(A) + P(B) – P(A 且 B) 如果 A 和 B 是互斥，那麼此項為零 第6章 機率

範例6.7 在一個大城市裡，有兩家發行報紙──《太陽報》(Sun) 和《郵報》(Post)。其發行部門指出該城市22% 的家庭訂閱《太陽報》和35% 訂閱《郵報》。一份調查顯示有6% 的家庭兩家報紙皆有訂閱。有多少比例的家庭訂閱其中一種報紙？ 我們可以將這個問題表達成，隨機抽取城市的一個家庭，則該家庭訂閱《太陽報》，或《郵報》，或兩種報的機率為何？ P(太陽報 或 郵報) ？ 第6章 機率 第200頁

範例6.7 在一個大城市裡，有兩家發行報紙──《太陽報》(Sun) 和《郵報》(Post)。其發行部門指出該城市22% 的家庭訂閱《太陽報》和35% 訂閱《郵報》。一份調查顯示有6% 的家庭兩家報紙皆有訂閱。有多少比例的家庭訂閱其中一種報紙？ P(Sun or Post) = P(Sun) + P(Post) – P(Sun and Post) = .22 + .35 – .06 = .51 “一個隨機抽取的家庭至少訂閱其一種報紙的機率是.51” 第6章 機率 第201頁

機率樹狀圖 一個有效且簡單應用機率法則的方法是機率樹狀圖，當中一個實驗的事件用線條來表示。結果的圖形呈現樹的形狀，也因此得到樹狀圖的名稱。我們將用數個範例來介紹樹狀圖的使用，包括前面兩個我們曾單獨用來解說機率法則的範例。 第6章 機率 第200-201頁

範例6.5 第一次抽取 第二次抽取 P(F|F) = 2/9 P(F) = 3/10 P( M|F) = 7/9 P(F|M) = 3/9 P( M|M) = 6/9 P( M|F) = 7/9 這是 P(F|F),第二次抽取出一位女性學生的機率是基於第一次已被選取出的女性 第6章 機率 第201頁

機率樹狀圖 我們把相連結「樹枝上」的機率相乘以計算聯合機率。其他的聯合機率也是以類似的方式計算。 第6章 機率 第201頁 圖6.1

範例6.6 再次地，假設我們有10人的研究所班級，但是讓學生的抽樣獨立，也就是 “用放回的方式”–一位學生在第一次被抽選出，可以在第二次又被抽選出。我們的樹狀圖與聯合機率現在看起來如下所示： 第6章 機率 第201頁 圖6.2

機率樹狀圖 在樹枝「尾端」的所有聯合機率的總和必須是1 第一次抽取 第二次抽取 2/9 + 7/9 = 9/9 = 1 P(F) = 3/10 P( M) = 7/10 P(F|M) = 3/9 P(F|F) = 2/9 P( M|M) = 6/9 P( M|F) = 7/9 3/10 + 7/10 = 10/10 = 1 3/9 + 6/9 = 9/9 = 1 方便的方法可以 檢查這些計算 第6章 機率 第202頁

機率樹狀圖 注意：樹枝的分裂並沒有要求是二元的，樹也不要求只有兩個階層的深度， 每一個次節點的分裂數也不一定會相同… 第6章 機率

範例6.8 從法學院畢業的學生必須要通過一項律師資格考試才能成為正式的律師。假如在一個特別的管轄區，第一次參加考試的通過率是 72 ％。第一次考試失敗的律師候選人還可以在數個月之後再考第二次。對那些初次考試失敗的人，有 88 ％會通過他們的第二次考試。試求一位隨機選取的法學院畢業生能夠成為正式律師的機率。假設每位候選人只能參加兩次考試。 第6章 機率 第202頁 圖6.3

範例6.8 「有96.64% 的申請人可以通過第一次或第二次考試而成為正式的律師。」 一位隨機選取的法學院畢業生能夠成為正式律師的機率？ 第6章 機率 第202-203頁 圖6.3

P(B|A) P(A|B) 貝氏定理 貝氏定理是以Thomas Bayes命名，其為18世紀的數學家。 第6章 機率

範例6.9　 管理學院研究生入學測驗(Graduate Management Admission Test,GMAT) 是所有MBA 學程申請人必須要參加的考試。有各種各樣的準備課程被設計來幫助大家增進GMAT 的分數。GMAT 分數的範圍是在200到800 之間。根據一項對MBA 學生的調查顯示，GMAT 成績在650 分以上的人，有52% 曾參加準備課程，然而GMAT 成績低於650 的人，僅有23% 曾參加準備課程。假設一位特定MBA 學程的申請人需要一個高於650 分的GMAT 成績來進入該學程，但是他覺得他會得到如此高成績的機率非常低──10%。他考慮參加一項準備課程，需花費$500。只有在他考650 分以上的機率會加倍的情況之下，他才願意參加這樣的課程。他應該怎麼做呢？ 第6章 機率 第205頁

範例6.9 令 A ＝ GMAT 成績在650 分或以上 AC = GMAT 成績低於650 得到650 分或以上的機率是： 範例6.9　 令 A ＝ GMAT 成績在650 分或以上 AC = GMAT 成績低於650 得到650 分或以上的機率是： P(A) = .10 餘集法則告訴我們 P(AC) = 1 – .10 = .90 第6章 機率 第205頁

如果這個機率是>20%，他將願意花$500參與準備課程。 範例6.9　 令B ＝有參加準備課程 　BC＝沒有參加準備課程 由我們的調查資料，我們得知GMAT 超過 650分的人當中，有52% 參加準備課程， 也就是: P(B | A) = .52 (找到一位學生有參加準備課程的機率，給定他們的分數超過650分的條件…) 但是我們的學生想知道 P(A | B)，也就是，在有參加準備課程的條件下，得到超過650分的機率為何？ 如果這個機率是>20%，他將願意花$500參與準備課程。 第6章 機率 第205頁

範例6.9 GMAT 低於 650分的人當中，只有23% 參加準備課程， 也就是: P(B |AC ) = .23 範例6.9　 GMAT 低於 650分的人當中，只有23% 參加準備課程， 也就是: P(B |AC ) = .23 (找到一位學生有參加準備課程的機率，給定他或她的分數低於650分的條件…) 第6章 機率 第頁

範例6.9 條件機率是 P(B | A) = .52 和 P(B |AC ) = .23 再應用餘集法則，我們得到下列的條件機率 範例6.9　 條件機率是 P(B | A) = .52 和 P(B |AC ) = .23 再應用餘集法則，我們得到下列的條件機率 P(BC | A) = 1 –.52 = .48 P(BC | AC ) = 1 –.23 = .77 第6章 機率 第205-206頁

範例6.9　 根據條件機率的定義，我們得到 分子和分母都是未知的。 機率樹狀圖將提供我們計算所需的機率。 第6章 機率 第206頁

範例6.9 為了由 P(B | A) = 0.52 到 P(A | B) = ?? 我們必須應用貝氏定理。機率樹狀圖： 範例6.9　 為了由 P(B | A) = 0.52 到 P(A | B) = ?? 我們必須應用貝氏定理。機率樹狀圖： 現在我們僅需要 P(B) ! 第6章 機率 第206頁 圖6.4

範例6.9 為了由此開始 P(B | A) = 0.52 到 P(A | B) = ?? 我們必須應用貝氏定理。 機率樹狀圖： 邊際機率 範例6.9　 為了由此開始 P(B | A) = 0.52 到 P(A | B) = ?? 我們必須應用貝氏定理。 機率樹狀圖： 邊際機率 P(B) = P(A 且 B) + P(AC 且 B) = .259 第6章 機率 第206頁 圖6.4

範例6.9　 因此 當有參加準備課程時，得到650 分或以上GMAT 成績的機率加倍了。 第6章 機率 第206-207頁

貝氏定理的專有名詞 機率P(A)和P(AC)被稱為事前機率( prior probabilities) ，因為它們是在決定是否參加準備課程事前被決定的。 條件機率P(A | B)被稱為事後機率(posterior probability )或調整後機率(revised probability)，因為它們是在知道是否參加準備課程之後被更新的事前機率。 第6章 機率 第207頁