第五章 时间序列模型 关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第9章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。 这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。

§5.1 序列相关理论 第3章在对扰动项ut的一系列假设下，讨论了古典线性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方程的扰动项ut 满足古典回归假设，使用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的。 但是如果扰动项ut不满足古典回归假设，回归方程的估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，扰动项ut关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，必须建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带来的模型估计问题。

§5.1.1 序列相关及其产生的后果 对于线性回归模型 (5.1.1) 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为 (5.1.2) §5.1.1 序列相关及其产生的后果 对于线性回归模型 (5.1.1) 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为 (5.1.2) 如果扰动项序列ut表现为： (5.1.3) 即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性(serial correlation)。

§5.1.2 序列相关的检验方法 EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显著的变量引入到解释变量中。

D_W统计量检验的原假设： = 0，备选假设是   0。 EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。 1．D_W统计量检验 Durbin-Watson 统计量（简称D_W统计量）用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程： (5.1.6) D_W统计量检验的原假设： = 0，备选假设是   0。

1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。 Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足： 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。 3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。

2 . 相关图和Q -统计量 1. 自相关系数 时间序列ut滞后k阶的自相关系数由下式估计 （5.2.26） 其中 是序列的样本均值，这是相距k期值的相关系数。称rk为时间序列ut的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列ut的邻近数据之间存在多大程度的相关性。

2．偏自相关系数 偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的条件下，ut与ut-k之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数k,k度量。在k阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下 （5.2.27） 其中：rk 是在k阶滞后时的自相关系数估计值。 （5.2.28） 这是偏相关系数的一致估计。

我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数（在本章5. 2 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数（在本章5.2.4节给出相应的公式），以及Ljung-Box Q-统计量来检验序列相关。Q-统计量的表达式为： (5.1.7) 其中：rj是残差序列的 j 阶自相关系数，T是观测值的个数，p是设定的滞后阶数 。p阶滞后的Q-统计量的原假设是：序列不存在p阶自相关；备选假设为：序列存在p阶自相关。

在EViews软件中的操作方法： 在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。

例5.1: 利用相关图检验残差序列的相关性 考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为GNP的平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率R减去价格指数变化率p得到的。样本区间：1963年～1984年，建立如下线性回归方程： t = 1, 2, , T

应用最小二乘法得到的估计方程如下： t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94

虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。 选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果： 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。 本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1阶序列相关。1阶滞后的Q-统计量的P值很小，拒绝原假设，残差序列存在一阶序列相关。

3 . 序列相关的LM检验 与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，Breush-Godfrey LM检验（Lagrange multiplier，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，LM检验仍然有效。 LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关，p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。

（1）估计回归方程，并求出残差et (5.1.8) （2）检验统计量可以基于如下回归得到 (5.1.9) 这是对原始回归因子Xt 和直到p阶的滞后残差的回归。LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数T乘以回归方程（5.1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计量服从渐进的 2(p) 分布。

在EView软件中的操作方法： 选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行Breush-Godfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数。

例5.1(续) 序列相关LM检验 LM统计量显示，在5%的显著性水平拒绝原假设，回归方程的残差序列存在序列相关性。因此，回归方程的估计结果不再有效，必须采取相应的方式修正残差的自相关性。

例5.2: 含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验 考虑美国消费CS 和GDP及前期消费之间的关系，数据期间：1947年第1季度～1995年第1季度，数据中已消除了季节要素，建立如下线性回归方程： t = 1, 2, , T 应用最小二乘法得到的估计方程如下： t = (1.93) (3.23) (41.24) R2=0.999 D.W.=1.605

如果单纯从显著性水平、拟合优度及D. W. 值来看，这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么 D 如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看，这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么 D.W.值就不能作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优度和F统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。这里采用 LM 统计量进行检验(p=2)，得到结果如下： LM统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的序列相关性。

下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下： 本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于5%，说明在5%的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。

§5.1.3 扰动项存在序列相关的 线性回归方程的估计与修正 §5.1.3 扰动项存在序列相关的 线性回归方程的估计与修正 线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的不利影响。 通常可以用AR(p) 模型来描述一个平稳序列的自相关的结构，定义如下： (5.1.10) (5.1.11)

其中：ut 是无条件扰动项，它是回归方程（5. 1. 10）的扰动项，参数 0，1， 2，，k 是回归模型的系数。式（5. 1 其中：ut 是无条件扰动项，它是回归方程（5.1.10）的扰动项，参数 0，1， 2，，k 是回归模型的系数。式（5.1.11）是扰动项ut的 p 阶自回归模型，参数 1，2，，p 是 p 阶自回归模型的系数，t 是无条件扰动项ut自回归模型的误差项，并且是均值为0，方差为常数的白噪声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值之差。 下面将讨论如何利用AR(p) 模型修正扰动项的序列相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知参数。

1．修正一阶序列相关 最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一阶序列相关的情形，即p = 1的情形： (5.1.12) (5.1.13) 把式（5.1.13）带入式（5.1.12）中得到 (5.1.14)

2．修正高阶序列相关 通常如果残差序列存在p阶序列相关，误差形式可以由AR(p)过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。

3. 在Eviews中的操作： 打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入ar(1) ar(2) ar(3)。针对例5.2定义方程为：

需要注意的是，输入的ar(1) ar(2) ar(3) 分别代表3个滞后项的系数，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后2阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即 则估计时应输入：cs c gdp cs(-1) ar(2) ar(4) EViews在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。

例5.3 用AR(1)模型修正回归方程残差序列的自相关（1） t = 1, 2, , T 回归估计的结果如下： t = (-1.21) （95.71） t = (2.65) R2= 0.86 D.W. = 1.52

再对新的残差序列进行LM检验(p=2)，最终得到的检验结果如下： 检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。

例5.4 用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关 回归估计的结果如下：

模型建立如下： t = (-3.9) (7.29) （13.54） t = (4.85) (3.07) （3.03） R2=0.999 D.W=1.94

再对新的残差序列 进行LM检验，最终得到的检验结果如下： 给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。 再对新的残差序列 进行LM检验，最终得到的检验结果如下：

对于简单AR(1)模型， 是无条件残差的序列相关系数。对于平稳AR(1)模型， 在-1（极端负序列相关）和+1（极端正序列相关）之间。一般AR(p)平稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。 EViews在回归输出的底部给出这些根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于1。

cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4), 另外：EViews可以估计带有AR误差项的非线性回归模型。 例如：将例5.4中的模型变为如下的非线性模型，估计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程： 用公式法输入： cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4), ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)]

输出结果显示为：

§ 5.2 平稳时间序列建模 本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列。 本节中介绍的ARMA模型(autoregressive moving average models)可以用来研究这些经济变量的变化规律，这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范畴。

§ 5.2.1 平稳时间序列的概念 如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于 t，则称 ut 是协方差平稳的或弱平稳的： 对所有的 t 对所有的 t 和 s (5.2.1) (5.2.2) (5.2.3) 注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与 ut- s 之间的协方差仅取决于s ，即仅与观测值之间的间隔长度s有关，而与时期t 无关。一般所说的“平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。

§5.2.2 ARMA模型 1. 自回归模型AR(p) p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程： (5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数；p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声序列。

q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方程： (5.2.5) 其中：参数  为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声序列。

3. ARMA(p,q)模型 (5.2.6) 显然此模型是模型(5.2.4)与(5.2.5)的组合形式，称为混合模型，常记作ARMA(p,q)。当 p=0 时，ARMA(0, q) = MA(q)；当q = 0时，ARMA(p, 0) = AR(p)。

§ 5.2.3 ARMA模型的平稳性 1. AR(p)模型的平稳性条件 为了理解AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)模型的理论结构，简单的算子理论是必不可少的。对于AR(p)模型 (5.2.7) 设L为滞后算子，则有Lutut-1, Lputut-p，特别地， L0utut。则式（5.2.7）可以改写为： (5.2.8)

若设(L)  1 - 1 L - 2 L2 - …- p Lp ，令 (5.2.9) 则 (z) 是一个关于z的p次多项式，AR(p) 模型平稳的充要条件是(z) 的根全部落在单位圆之外。式(5.2.7)可以改写为滞后算子多项式的形式 可以证明如果AR(p)模型满足平稳性条件，则式(5.2.10)可以表示为MA()的形式，从而可以推导出来任何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。 (5.2.10)

2．MA(q) 模型的可逆性 考察MA(q) 模型 若 (5.2.16)

ARMA(p,q) 模型包括了一个自回归模型AR(p)和一个移动平均模型MA(q) 或者以滞后算子多项式的形式表示 (5.2.19) (5.2.20)

若令 则ARMA(p,q)模型(5.2.19)平稳的充要条件是 (z) 的根全部落在单位圆之外。 (5.2.21) ARMA模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性组合，近似逼近一个平稳序列。可以看出ARMA模型的平稳性完全取决于自回归模型的参数，而与移动平均模型参数无关。

§ 5.2.4 ARMA(p,q)模型的估计 LS c ar(1) ar(2) ma(1) ARMA(p,q)模型中AR和MA部分应使用关键词ar和ma定义。在上面AR定义中，我们已见过这种方法的例子，这对MA也同样适用。 例如，估计因变量为LS的一个2阶自回归和1阶动平均过程ARMA(2,1)，应输入 ： LS c ar(1) ar(2) ma(1) 如果采用公式法输入方程，则只能有AR项系数，明确列出形式为： LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)]。 含有MA项只能用列表法。

例5.5: 利用 AR(1) 模型描述上证指数的变化规律 本例取我国上证收盘指数（时间期间：1991年1月～2003年3月）的月度时间序列S作为研究对象，用AR(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率， srt = 100×(St-St-1)/S t-1（t = 1, 2, , T） 这样便得到了变化率序列。一般来讲，股价指数序列并不是一个平稳的序列，而通过变换后的变化率数据，是一个平稳序列，可以作为我们研究、建模的对象。记上证股价指数变化率序列为sr。

建立如下模型： t = 1, 2, , T 估计输出结果显示为：

图5.2 实线是上证股价指数变化率序列sr，虚线是AR(1)模型的拟合值 从图5.2可以看出我国上证股价指数变化率序列在1991年～1994年之间变化很大，而后逐渐变小，基本在3%上下波动。近年来波动平缓，并且大多在3%下面波动。拟合曲线基本代表了这一时期的均值。

对例5.5中我国上证收盘指数（时间期间：1991年1月～2003年3月）的月度时间序列S的对数差分变换LS=dlog(S)，即股票收益率用ARMA(1,1)模型来估计，来说明EViews是如何估计一个ARMA(p，q)模型的。 建立方程，输入 LS c ar(1) ma(1)

估计输出显示：

估计方程可写为： t = (1.32) t = (-0.42) （0.3） R2= 0.0087 D.W. = 1.99 也可写为：

2. ARMA(p,q)模型的输出形式 一个含有AR项的模型有两种残差：第一种是无条件残差 ，第二种残差是估计的一期向前预测误差 。如名所示，这种残差代表预测误差。实际上，通过利用滞后残差的预测能力，改善了无条件预测和残差。 对于含有ARMA项的模型，基于残差的回归统计量，如R2和D.W.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含有AR项的模型独有的统计量是估计的AR系数。对于简单AR(1)模型，1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出表中1用AR(1)表示，MA(1) 模型的系数1用MA(1)表示。对于平稳AR(1)模型，1在-1和+1之间。一般AR(p) 模型平稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。

§ 5.2.5 ARMA模型的识别 在实际研究中，所能获得的只是经济指标的时间序列数据，根据经济指标的样本特征，来推断其总体（真实）特征。这一节将引入自相关系数 (autocorrelations，简称AC) 和偏自相关系数 (partial autocorrelations，简称PAC) 这两个统计量去识别ARMA(p,q) 模型。MA(q) 模型的自相关函数在 q 步以后是截尾的，偏自相关系数呈现出某种衰减的形式。AR(p) 模型的偏自相关系数是 p 阶截尾的。具体的模型形式还要通过自相关和偏自相关系数给出的信息，经过反复的试验及检验，最终挑选出各项统计指标均符合要求的模型形式。

例5.7 利用消费价格指数研究模型识别和建模 本例将用ARMA模型模拟1990年1月～2004年12月的居民消费价格指数CPI（上年同月=100）的变化规律。实际上用后面学到的单位根检验可知CPI序列是一个非平稳的序列，但是它的一阶差分序列CPI是平稳的。首先观察CPI序列的自相关系数和偏自相关系数的图形 图5.6 CPI序列的相关图

从图5.6可以看出CPI序列的自相关系数是拖尾的，偏自相关系数在1阶结尾。由前面的知识可以判断CPI序列基本满足AR(1)过程。建模得到 t= (5.48) R2=0.146 D.W.=2.098

由图5.7可以观察到AR(1) 模型比较好的拟合了CPI序列，回归方程的残差序列基本上也是一个零均值的平稳序列。

图5.8 CPI序列方程残差序列的相关图 从图5.8的回归方程的残差序列的自相关系数和偏自相关系数可以看到不存在序列相关。因此，在实际建模中，可以借助ARMA(p,q)模型去拟和一些具有平稳性的经济变量的变化规律。

§5. 3 非平稳时间序列建模 前述的AR(p)、MA(q) 和ARMA(p,q) 三个模型只适用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。

从图5.9可以看出，中国的GDP 在1978～2002年之间具有很强的上升趋势。

描述类似图5.9形式的非平稳经济时间序列有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势 § 5. 3.1 非平稳序列和单整 1.确定性时间趋势和单位根过程 描述类似图5.9形式的非平稳经济时间序列有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势 (5.3.1) 其中 ut 是平稳序列；a +  t 是线性趋势函数。这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(5.3.1)中减去 a + t，结果是一个平稳过程。注意到像图5.9一类的经济时间序列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势。

另一种方法是设定为单位根过程，非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑下式 (5.3.2) 也可写成 (5.3.3) 其中a是常数，ut是平稳序列，若ut ～ i.i.d. N (0,  2) ，且ut 是一个白噪声序列。若令a = 0， y0=0，则由式(5.3.2)生成的序列 yt，有var(yt)=t 2（t = 1, 2, , T），显然违背了时间序列平稳性的假设。而式(5.3.3)的差分序列是含位移a的随机游走，说明 yt 的差分序列 yt是平稳序列。

像前述 yt 这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下： 2.单整 像前述 yt 这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下： 定义：如果序列 yt ，通过 d 次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分 d – 1 次时却不平稳，那么称序列 yt为 d 阶单整序列，记为 yt ～ I(d)。特别地，如果序列 yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt ～ I(0)。

§5. 3.2 非平稳序列的单位根检验 检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单位根检验方法：ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、ADF检验。

1. DF检验 其中 a 是常数， t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0,  2) 。 (5.3.4) (5.3.5) (5.3.6) 其中 a 是常数， t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0,  2) 。

(1) 如果 -1<  <1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 (3) 如果 的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。

因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验  是否严格小于1来实现。也就是说： 原假设H0： =1，备选假设H1： < 1 从方程两边同时减去 yt-1 得， (5.3.7) (5.3.8) (5.3.9)

其中： = -1，所以原假设和备选假设可以改写为 可以通过最小二乘法得到 的估计值，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。 但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了常数项和趋势项) 和样本长度T 。

2. ADF检验 ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt 的滞后差分项来控制高阶序列相关 (5.3.11) (5.3.12) (5.3.13)

扩展定义将检验 (5.3.14) 原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列不存在单位根。序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。判断 的估计值 是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。 类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验 不同显著性水平的 t 统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。

EViews软件中单位根检验操作说明： 双击序列名，打开序列窗口，选择View/unit Root Test，得到下图：

进行单位根检验必须定义4项： 1．选择检验类型 在Test type的下拉列表中，选择检验方法。EViews5提供了6种单位根检验的方法： ① Augmented Dickey-Fuller(ADF) Test ② Dickey-Fuller GLS Test ③ Phillips-Perron(PP) Test ④ Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test ⑤ Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test ⑥ Ng and Perron (NP) Test

2．选择差分形式 在Test for unit root in中确定序列在水平值、一阶差分、二阶差分下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶单整I(1)；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。

3．定义检验方程中需要包含的选项 在Include in test equation中定义在检验回归中是否含有常数项、常数和趋势项、或二者都不包含。这一选择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这3种情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，刚才已经作了介绍。

4．定义序列相关阶数 在Lag lenth这个选项中可以选择一些确定消除序列相关所需的滞后阶数的准则。一般而言，EViews默认SIC准则。 定义上述选项后，单击OK进行检验。EViews显示检验统计量和估计检验回归。 单位根检验后，应检查EViews显示的估计检验回归，尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定，可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。

例5.8 检验居民消费价格指数序列的平稳性 例5.7用AR(1) 模型模拟1990年1月～2004年8月居民消费价格指数一阶差分CPI的变化规律。在用ADF进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从图5.7的CPI图形可以看出含有常数项，但不含有时间趋势项。CPI序列的ADF检验结果如下：

检验结果显示，CPI序列接受原假设，因此，CPI序列是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分CPI序列进行单位根检验，ADF检验结果如下： 检验结果显示，一阶差分CPI序列拒绝原假设，接受CPI序列是平稳序列的结论。因此，CPI序列是1阶单整序列，即CPI～I(1)。

例5.9 检验中国GDP序列的平稳性 在图5.9中，我们可以观察到GDP具有明显的上升趋势。在ADF检验时选择含有常数项和时间趋势项。GDP序列的ADF检验如下： 检验结果显示，GDP序列以较大的P值，即87.83%的概率接受原假设，即存在单位根的结论。

将GDP序列做1阶差分，然后对ΔGDP进行ADF检验（选择含有常数项和时间趋势项）如下： 检验结果显示，ΔGDP序列在5%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，但是属于趋势平稳，即具有线性趋势。而PP检验的结果接受原假设，ΔGDP序列存在单位根，是非平稳的。

再对ΔGDP序列做差分，则Δ2GDP的ADF检验（选择不含常数项和时间趋势项）如下： 检验结果显示，二阶差分序列Δ2GDP在1%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定GDP序列是2阶单整序列，即GDP ～ I (2)。

5.3.3 ARIMA模型 1．ARIMA模型的形式 我们已经介绍了对于单整序列能够通过d次差分将非平稳序列转化为平稳序列。设 yt 是 d 阶单整序列，即 yt～ I(d)，则 (5.3.40) wt 为平稳序列，即 wt～ I(0) ，于是可以对 wt 建立ARMA(p,q) 模型 (5.3.41)

估计ARIMA(p,d,q) 模型同估计ARMA(p,q) 具体的步骤相同，惟一不同的是在估计之前要确定原序列的差分阶数d，对 yt 进行 d 阶差分。

2. 应用ARIMA(p, d, q) 模型建模的过程 博克斯—詹金斯提出了具有广泛影响的建模思想，能够对实际建模起到指导作用。博克斯—詹金斯的建模思想可分为如下4个步骤： （1）对原序列进行平稳性检验，如果序列不满足平稳性条件，可以通过差分变换（单整阶数为d，则进行d阶差分）或者其他变换，如对数差分变换使序列满足平稳性条件； （2）通过计算能够描述序列特征的一些统计量（如自相关系数和偏自相关系数），来确定ARMA模型的阶数 p 和 q，并在初始估计中选择尽可能少的参数；

（3）估计模型的未知参数，并检验参数的显著性，以及模型本身的合理性； （4）进行诊断分析，以证实所得模型确实与所观察到的数据特征相符。 对于博克斯—詹金斯建模思想的第3、4步，需要一些统计量和检验来分析在第2步中的模型形式选择得是否合适，所需要的统计量和检验如下： （1）检验模型参数显著性水平的 t 统计量； （2）为保证ARIMA(p,d,q) 模型的平稳性，模型的特征根的倒数皆小于1； （3）模型的残差序列应当是一个白噪声序列，可用5.2节中的检验序列相关的方法检验。

在EViews中估计ARIMA模型 D(GDP,2) c ar(1) ma(1) 可以直接在估计定义式中包含差分算子D。例如：GDP～I(2)，对GDP估计ARIMA(1,2,1)模型，可以输入列表： D(GDP,2) c ar(1) ma(1) 使用因变量差分因子D(GDP)定义模型， EViews将提供水平变量GDP的预测值。

本例将运用博克斯—詹金斯的建模思想完整的建立一个模型，以熟悉博克斯—詹金斯的建模思想。 例5.10 建立中国GDP的ARIMA模型 本例将运用博克斯—詹金斯的建模思想完整的建立一个模型，以熟悉博克斯—詹金斯的建模思想。 例5.9用ADF单位根检验得到结论：GDP序列是2阶单整序列，即GDP～I(2)。首先观察Δ2GDP序列的相关图（图5.10）。 图5.10 Δ2GDP序列的相关图

Δ2GDP序列的自相关系数在1阶截尾，偏自相关系数在2阶截尾，则取模型的阶数 p=2 和q=1，建立ARIMA(2,2,1) 模型(时间期间：1978～2000年，2001和2002年实际数据不参加建模，留作检验）：

图5.11 GDP序列的ARIMA(2,2,1)模型残差的相关图 Δ2GDPt = 1.35Δ2GDPt-10.869Δ2GDPt-2+t  0.47 t-1 t = (5.546) (-4.34) (-1.46) R2 = 0.586 D.W= 2.04 下面给出回归模型残差的序列相关图，从相关图中可以看出模型的残差不存在序列相关，并且模型的各项统计量也很好。对这个模型的拟合和预测的结果见图5.12，其中2001年和2002年为预测结果。 图5.11 GDP序列的ARIMA(2,2,1)模型残差的相关图

图5.12 实线是GDP序列的原数据，虚线是模型拟合和预测结果 从图5.11的相关图中可以看出模型的残差不存在序列相关，并且模型的各项统计量也很好。图5.12是这个模型的拟合和预测（静态）的结果，其中2001年和2002年为预测结果。

§5.4 协整和误差修正模型 在前面介绍的ARMA模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是上节介绍的ARIMA模型。但是变换后的序列限制了所讨论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释。

1987年Engle和Granger提出的协整理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。

5.4.1 协整关系 假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。

k 维向量Yt=（y1t，y2t，…，ykt）的分量间被称为d,b阶协整，记为Yt ～ CI (d，b)，如果满足： 下面给出协整的定义： k 维向量Yt=（y1t，y2t，…，ykt）的分量间被称为d,b阶协整，记为Yt ～ CI (d，b)，如果满足： (1) Yt ～ I (d)，要求 Yt 的每个分量 yit ～I (d)； (2)存在非零向量  ，使得   Yt ～ I (d - b)，0 < b ≤ d 。 简称 Yt 是协整的，向量 又称为协整向量。

5.4.2 协整检验 协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW检验、DF检验和ADF检验。 本节将主要介绍Engle和Granger（1987）提出的协整检验方法。这种协整检验方法是对回归方程的残差进行单位根检验。从协整理论的思想来看，自变量和因变量之间存在协整关系。

检验的主要步骤如下： （1）若k个序列y1t 和y2t，y3t，…，ykt都是1阶单整序列，建立回归方程 模型估计的残差为

（2）检验残差序列ût是否平稳，也就是判断序列ût是否含有单位根。通常用ADF检验来判断残差序列ût是否是平稳的。 （3）如果残差序列ût是平稳的，则可以确定回归方程中的k个变量（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之间存在协整关系，并且协整向量为 ；否则（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之间不存在协整关系。

例5.11 消费和收入的协整关系检验 为了描述消费与收入之间是否存在协整关系，本例选择1982年～2002年的年度数据进行实证分析。Ct表示名义居民总消费；GDPt表示名义国内生产总值（支出法）；TAXt 表示税收总额；tt=TAXt /GDPt表示宏观税率；Pt表示居民消费价格指数(1978=100)。 用cst =Ct Pt 表示实际消费，inct = (1- tt)GDPt /Pt表示实际可支配收入。对这两个变量进行分析后发现，取对数后呈线性变化。单位根检验发现序列ln(cst)和ln(inct)是非平稳的，一阶差分以后是平稳，即ln(cst)和ln(inct)均是I(1)序列。

第一步，建立如下回归方程： 估计后得到 t = (638.7) R2 =0.98 D.W. =0.45 方程中的系数0.938是收入弹性，表明实际收入每增加1%会使得实际消费增加0.938%。

第二步，对上式的残差进行单位根检验，由回归方程估计结果可得 对其进行单位根检验，其结果如下：

检验结果显示，残差序列在1%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定残差序列为平稳序列，即为I(0)序列。上述结果表明：ln(cst)和ln(inct)之间存在协整关系。协整向量为（1，-0.938）。

5.4.3 误差修正模型 误差修正这个术语最早是由Sargen(1964)提出的，但是误差修正模型基本形式的形成是在1978年由Davidson、Hendry等提出的。传统的经济模型通常表述的是变量之间的一种“长期均衡”关系，而实际经济数据却是由“非均衡过程”生成的。因此，建模时需要用数据的动态非均衡过程来逼近经济理论的长期均衡过程。

最常用的ECM模型的估计方法是Engle和Granger(1981)两步法，其基本思想如下： 第一步是求模型： 的OLS估计，又称协整回归，得到及残差序列：

注意，误差修正模型不再单纯地使用变量的水平值（指变量的原始值）或变量的差分建模，而是把两者有机地结合在一起，充分利用这两者所提供的信息。 第二步是用 ût -1 替换式ECM中的 即对 再用OLS方法估计其参数。 注意，误差修正模型不再单纯地使用变量的水平值（指变量的原始值）或变量的差分建模，而是把两者有机地结合在一起，充分利用这两者所提供的信息。

例5.11建立了消费和收入的协整方程，为了考察我国消费和收入之间的动态关系，现通过ECM模型来进行分析。 例5.12 建立消费和收入的误差修正模型 例5.11建立了消费和收入的协整方程，为了考察我国消费和收入之间的动态关系，现通过ECM模型来进行分析。 通过例5.11估计得到消费和收入的协整方程的残差序列ût ，令误差修正项 ecmt = ût ，建立下面的误差修正模型： 也可以写为

估计得到 t = (3.029) (2.779) （1.94） R2 = 0.405 D.W. = 1.583 在上面的误差修正模型中，差分项反映了短期波动的影响。消费的短期变动可以分为两部分：一部分是短期收入波动的影响；一部分是偏离长期均衡的影响。误差修正项ecmt 的系数的大小反映了对偏离长期均衡的调整力度。从系数估计值(0.226)来看，当短期波动偏离长期均衡时，将以0.226的调整力度将非均衡状态拉回到均衡状态。

从短期看，被解释变量的变动是由较稳定的长期趋势和短期波动所决定的，短期内系统对于均衡状态的偏离程度的大小直接导致波动振幅的大小。 从长期看，协整关系式起到引力线的作用，将非均衡状态拉回到均衡状态。

例5.13 财政支出与财政收入的ECM 为了描述财政收入与财政支出之间的动态关系，本例选择1990:1~2004:8的月度数据进行实证分析。ln(fet)表示取对数以后的财政支出，ln(fit)表示取对数以后的财政收入，单位根检验发现原序列是非平稳的，一阶差分以后是平稳，即这两个序列均是I(1)序列，满足我们的要求。 第一步，建立如下回归方程：

根据第一步得到残差序列 ût ，令误差修正项 ecmt = ût ，第二步，建立下面的误差修正模型： 估计结果为 t = (3.41) (-2.43) (4.51) (3.9) t = (29.57) (-13.78) (6.59) R2=0.967 D.W.=1.83

第一步中的系数1.0096体现我国财政支出“量入为出”的原则，同时也说明了我国财政支出略大于财政收入的现实状况。 但是，对于上式我们最感兴趣的应该是调整系数(–0.01)，它对于系统的动态调整具有重要的意义。它的含义是：当t–1 期 yt-1 – 1.0096 xt-1 < 0 时，亦即 t –1 期的财政支出向上偏离长期均衡时，调整系数会以 –0.01的速度减少 t 期财政支出增量，从而调整t期的财政支出向长期均衡靠近。反之，当t–1期 yt-1 – 1.0096 xt-1 > 0时，即 t – 1 期的财政支出向下偏离长期均衡时，调整系数 –0.01会增大 t 期财政支出的增量，调整 t 期的财政支出向长期均衡靠近。