第 26 章 早期的量子物理和光子

26.1 量子化 當數量可以取為某特定值的整數倍時，即稱為量子化，否則就是連續性的。 在古典物理中的一個量子化的例子，就是一條弦上駐波的頻率，其為基頻的整數倍。 在量子物理中，頻率及能量均被量子化了；在古典物理中，能量可以是任何數值。

圖26.1　(a) 一個位於斜面上的箱子；重力位能是連續的；(b) 一個位於楷梯上的箱子。重力位能是量子化的；它的值只能是一組不連續值中的一個

圖26.2 弦上的駐波只能是一組不連續頻率中的一個頻率 圖26.2　弦上的駐波只能是一組不連續頻率中的一個頻率

26.2 黑體輻射 黑體輻射 當一個物體輻射出熱能的速率大於吸收熱能的速率時，此物體的溫度便會下降，反之則會上升。 能把輻射到物體上面的熱能完全吸收而不反射的物體稱為黑體（black body）。一般而言，顏色較暗的物體吸收多而反射少，顏色較淡的物體吸收少而反射多。 當我們用不透明的物質做成一個密閉的容器，並在容器的器壁上挖一個小孔，就成為一個空腔（cavity）。

黑體輻射的紫外崩潰 黑體輻射產生的能譜如果以古典方式計算，則結果會是強度隨著頻率而快速增加 (而且沒有限制) ，總輻射功率是無窮的，這明顯是錯誤的，稱作紫外崩潰 (因為在紫外線區會產生過多的輻射) 。

黑體輻射 西元 1900 年普朗克（Planck）首先提出原子的能量需要量子化的新觀念。空腔容器器壁的原子在一定溫度時，原子的振動是一種簡諧運動。普朗克的原子的能量量子化假設，成功的解釋了黑體輻射的問題。 普朗克常數 n 稱為量子數

26.2 黑體輻射 黑體輻射問題在 1900 年被普朗克（Planck）所解決，他發現只要假設黑體所輻射及吸收的能量是不連續的，而有一定的大小，則可以得到正確的頻譜。此”能量包”的大小是由波的頻率來決定，並要乘上一個宇宙常數，就是現在所稱的普朗克常數。這個常數是非常小的，以致於以前沒有被注意到。 普朗克常數

圖26.3　三條黑體曲線是三種不同溫度下，即2000 K, 2500 K, 3000 K，黑體輻射相對強度作為頻率的函數；以及普朗克提出其假設之前，古典物理所預測之黑體曲線 紅外光區 可見光區

26.3 光電效應 在光電效應裡，電磁輻射會造成電子從金屬中射出。在古典的看法裡，射出電子的能量應與輻射的強度有關；但是卻與觀測不符。

圖26.4　研究光電效應儀器的示意圖 光盒 入射光 金屬板 收集線 光盒 外加電壓 金屬板 安培計

實驗結果 較亮的光會造成較多的電子射出，但是每個電子的能量並沒有變化。但是電子的最大動能與光的頻率有關，而且對於一個給定的金屬，則有一個起始頻率；低於起始頻率的光，則無論其強度為何，均沒有電子射出。即使光是非常弱，而電子幾乎是瞬間射出。

圖26.5 所釋出電子的最大動能作為入射光頻率的函數 圖26.5　所釋出電子的最大動能作為入射光頻率的函數 最大動能，Kmax 頻率，f

光電效應 愛因斯坦把普朗克量子論的觀念進一步推廣到電磁輻射系統，光就是一種電磁輻射，他把光視為一顆顆的粒子，稱為光子（photon）。 頻率為 f 的光，每個光子的能量為 E ＝ h f 把光波視為光子，愛因斯坦成功的解釋了光電效應（photoelectric effect）。

光 子 論 愛因斯坦把量子論的觀念進一步推廣到電磁輻射系統，光為一顆顆的粒子，稱為光子；於是光電效應可以視為原子內的電子吸收了單一光子的全部能量。

圖26.6a 在光電效應中，一個光子被吸收。若此光子有足夠的能量，則金屬會釋出一個電子 入射光子 電子自金屬表面射出 金屬表面

圖23-5 圖26.6b　測量光電效應的裝置。

圖23-6 圖26.6c　光電子朝收集板 C 前進會產生光電流。

26.1 可見光光子和 X 光光子的能量 請求出波長為 670 nm 可見紅光的光子能量，並將之與頻率為 1.0 × 1019 Hz 的一個 X 光光子之能量比較。 對策： 從普朗克常數與每一個頻率的乘積可得出對應的光子能量。對於 670 nm 的光子，其頻率和波長之間的關係是 c = fl。

解答： 紅光的頻率是 將頻率乘上普朗克常數，即得出能量。 X光光子的能量是 X光光子的能量是紅光光子能量的 20,000 多倍。

能量的單位 再一次，使用電子伏特 (eV) 作為能量單位是很方便的；對於較大的能量，可以使用千電子伏特 (keV) 或百萬電子伏特 (MeV) 。 (26-5)

以光子理論解釋光電效應 較亮的光意味著有較多相同能量的光子，所以有較多相同能量的電子射出。 光的頻率決定了光子的能量，因此也就決定了電子的能量。 如果每個光子的能量太小，則電子就沒有足夠的能量逃離原子 (所需的最小能量稱作功函數，與起始頻率有直接的關係) 。 只要電子吸收了一個光子就可以逃離出來。

愛因斯坦的光電方程式 (26-7) 臨閾頻率 ，當 (26-8)

26.2 光電效應實驗 銫的功函數是 1.8 eV。當以某個波長的光照射銫時，從其表面釋出的電子擁有 0 到 2.2 eV 的動能。則此光的波長是多少？

解答： 光子的能量是 hf。光電子的最大動能是 問題問的是波長，所以我們將 f = l/c代入，解出 l： 將 hc = 1240 eV･nm 代入，得出

光電效應的應用 利用光電電流隨著光強度變化的關係 ，可以用在很多電子裝置上，像是電影聲軌；光電效應也可以用來當作開關，像是車庫門感應器 (當接近障礙物時會停止關門) 或是電梯門感應器。

 圖26.7　光學聲帶 底片 光源 光盒 聲軌

26.4 X 光的產生 商用 X 光是利用反光電效應來產生 – 電子經過高電位差加速，得到較大的動能，再經過靶材內原子核的偏折，由於電子的加速即可輻射出 X 光。這種輻射稱作 bremsstrahlung，來自德文，意思是“制動輻射“。這些 X 光具有連續性的能量分布，但是有一極大值，稱作截止頻率。

圖26.8　(a) X光管的原理。電流加熱燈絲使電子「蒸發」。電子加速通過燈絲和靶材之間很大的電位差。當電子擊中靶材時，電子失去動能，放出X光；(b) 一個電子被原子核吸引而偏到一邊。X光光子被釋出，帶走電子一部分的動能 鎢靶材 (陽極) X 光 電子 熱燈絲 (陰極) 高電壓源 偏折後的電子具有較少的動能 鎢原子核 一個 X 光光子射出 電子通過原子核附近

截止頻率 (26-9)

26.3 醫學用的診斷X光 一家小診所使用 X 光檢查骨折。X 光管中，在燈絲和靶材之間施予 87.0 kV 的電位差。則此 X 光管所能產生之 X 光，其最短波長是多少？

練習題26.3 穿過X光管的電位差 解答： 當光子能量等於電子動能時，頻率會達到最大值： 最短波長是 將 fmax 代入，得到 若測出一個 X 光管所產生的 X 光，其最短波長為 0.124 nm。則施於X光管的電位差是多少？

27.5 康普頓效應 康普頓效應 若使用很高能量的光子來撞擊原子，譬如 x 射線，則原子核對電子的束縛能相形之下，顯得很小，此時，被撞出的電子幾乎獲得全部光子所給予的能量與動量。 此種用高能量的光子撞擊原子的過程，稱為康普頓效應（Compton effect）。此一實驗明白的顯示光子具有動量的性質，因而確定了愛因斯坦光子假設的正確性。

康普頓散射 康普頓散射是入射光子與原子內的電子之間的碰撞；會造成電子反衝，而離去的光子能量較入涉光子 能量為少 (因此頻率也會降低)。在此過程中，能量與動量均保持守恆；而光子波長的偏移，與散射角有關，稱作康普頓偏移。

圖26.9 在康普頓散射中，動量和能量轉換到電子上。由於動量和能量都是守恆的，所以散射光子比入射光子擁有較少的能量 圖26.9　在康普頓散射中，動量和能量轉換到電子上。由於動量和能量都是守恆的，所以散射光子比入射光子擁有較少的能量 電子原來的位置 散射的光子 入射的光子 反衝的電子

康普頓散射 能量守恆 (26-10) 光子的動量 (26-11) (26-12) 動量守恆 (26-13)

康普頓散射 康普頓偏移 (26-14) 康普頓波長 (26-15)

26.4 反衝電子的能量 一個波長為 10.0 pm 的 X 光光子被一個電子以 110° 散射。則反衝電子的動能是多少？

解答： 康普頓偏移的公式是 在此 h/mec = 2.43 pm。l = 10.0 pm 且 q = 110.0° ，所以 則散射光子的波長是 電子的動能是

27.6 　波‧粒二象性 物質波 波動與粒子的雙重性質是不是一般性的呢？這個問題首先由法國物理學家德布洛依（de Broglie）於 1924 年所提出。 因為作為粒子的光子，其動量為 p ＝ hf /c，而作為波動的光波，其波長為λ＝ c/f，所以光子的動量與光波的波長具有如下的關係 或

物質波 若作為粒子的物質也具有波動與粒子的雙重性質，德布羅意認為其動量與波長也應具有相同的關係，此即為德布洛依波（de Broglie wave） 。 實驗證明，不僅粒子也具有波動的性質，而且其動量與波長的關係也是為λ＝ h/p，此關係為德布洛依關係式（de Broglie relation） 。

晶體的繞射 欲鑑定德布洛依關係式係應用這樣的實驗，即將一個電子束射擊到某一晶體的表面所產生的繞射現象與用 x 射線射擊到晶體的表面所產生的繞射現象是一樣的。 由於 x 射線的波長極短，其波的繞射現象不能用一般的光柵來觀察。由於 x 射線的波長大約為幾個原子的直徑，因此，用晶體原子的間隔來作為光柵是可以觀察到 x 射線的繞射現象。

愛爾薩斯（Elsasser）於 1926 年指出，物質的波動性質也許可用類似 x 射線對晶體的繞射實驗來證明。亦即是說，使用適當能量的電子束射擊到晶體，然後觀察是否會產生如同 x 射線一樣的繞射現象。 這一想法同時為美國的戴維生（C.J. Davisson）與葛莫（L.H Germer）以及蘇格蘭的湯姆生（G.P. Thomson）所嘗試。

他們發現這兩種計算所得到的波長大致相等，這就證實了電子的確是具有與 x 射線一樣的波動性質，而且其動量與波長的關係就是德布洛依關係式。

26.6 光譜學和早期的原子模型 從熱的高密度物體所發射的白光，是一連續光譜 (包含所有波長)。而稀薄氣體放電產生的光，則是不連續光譜，只有某些不連續的波長所構成。如果將白光照射在同樣的氣體上，則會吸收相同頻率的光。每一個元素均有其特徵光譜，分析一個未知氣體的光譜，即可確認其中的元素。

圖26.10　氣體放電管 電極 氣體離子 電子

圖26.12 測量吸收光譜的設備。當白光通過一氣體時，有些波長被吸收了。不見的波長造成螢幕上的黑線。一般而言，出現在螢幕上的光譜應該是連續的 圖26.12　測量吸收光譜的設備。當白光通過一氣體時，有些波長被吸收了。不見的波長造成螢幕上的黑線。一般而言，出現在螢幕上的光譜應該是連續的 氣體 白光源 稜鏡 準直狹縫 在屏幕上的吸收光譜

圖26.13　氫原子的發射光譜

氫原子光譜 (26-16) 芮得柏常數

原子核的發現 原始的原子模型是稱作葡萄乾布丁模型，視作均勻分布的正電荷與負電荷 (電子)。而這個模型則是由拉塞福所推翻，他觀察到從金箔散射的α粒子 (氦原子核) 有非常大的角度；而造成此大角度散射則原子的質量必須集中在很小的區域才能做到，此區域遠小於原子的體積。此原子核的直徑只有原子直徑的十萬分之一，包含所有的正電荷及大部分原子的質量；而負電荷形成較大 (相對而言) 的雲圍繞著原子核。

圖26.14　湯普森的葡萄乾布丁原子模型

圖26.15　拉塞福的散射實驗

26.7 波耳的氫原子模型；原子的能階 波耳模型的假設 波耳軌道的半徑 波耳軌道的能階 波耳模型的問題 26.7 波耳的氫原子模型；原子的能階 波耳模型的假設 波耳軌道的半徑 波耳軌道的能階 波耳模型的問題 將波耳模型應用到其他只有一個電子的原子上 螢光、磷光與化學發光

　波耳氫原子能階理論 1913 年，波耳用一個簡單的理論成功的解釋了氫原子能階。根據波耳的理論，氫原子有一個繞原子核作圓周運動的電子，來自原子核的向心力為 氫原子中電子的總能量為 電子的能量為軌道半徑的函數。 (26-17)

波耳模型的假設 氫原子的波耳模型假設為：電子只能在某些軌道 (稱作穩定態) 上而沒有輻射；牛頓力學定律適用於在穩定態的電子；透過釋出或吸收一個光子，電子可以從一個穩定態躍遷到另一個穩定態；處於穩定態的電子的角動量是以 h/2π的整數倍數(量子化)的。 (26-19)

圖26.16 在波耳的氫原子模型中，電子繞著原子核做圓周運動。軌道的半徑必須是一組不連續半徑中的一個 圖26.16　在波耳的氫原子模型中，電子繞著原子核做圓周運動。軌道的半徑必須是一組不連續半徑中的一個 質子 電子

圖26.17 (a) 一個氫原子在允許的軌道上；(b) 原子釋出一個光子，結果電子落到另一個能量較低的允許軌道 放射光子

波耳軌道的半徑 最小軌道的半徑稱作波耳半徑，可以由角動量加以求出；而較大軌道的半徑，是整數的平方乘以最小的半徑。

波耳氫原子的軌道半徑 →

波耳的氫原子模型

波耳軌道的能階 利用牛頓力學，最低的能階可以由半徑來加以求得；因為電子被質子所束縛，所以能量是負的。較高的能階為最低能階 (基態) 除以整數的平方。

波耳軌道的能階 基態

圖26.18　氫原子的能階圖 激發態 基態

26.5 辨別初始和最終能態 氫發射光譜紅外線區中的一個波長是 1.28 mm 。則造成此發射波長的躍遷，其初始和最終能態是什麼？

解答： 被釋出光子的能量是 查看能階圖 ( 圖26.18)，光子一定位於帕森系中。在巴爾馬系中，光子的最小能量是 萊曼系中的光子擁有更大的能量。在伯列克系，最大的光子能量是 0.85 eV。所以只有帕森系能含有一個 1 eV 左右的光子。因此，最終能態是 n = 3。現在解出初始能態 n 被釋出光子的能量 = 初始能階 – 最終能階 當電子從 n = 5 躍遷到 n = 3 時，波長為 1.28 mm 的光子被釋出。

波耳模型的成功 現在波耳模型已經被更詳盡的量子原子模型所取代。但是，它成功的預測了原子的某些特性：電子的能階是量子化的；藉由發射或吸收光子而能發生躍遷；角動量是量子化的；穩定態可以用一個整數來描述，稱作主量子數；能階之間的躍遷是不連續的 (量子跳越或躍進) 。

波耳模型的問題 電子並不是在軌道上，而且不能用牛頓力學加以描述；角動量量子化的單位是錯的；無法計算電子吸收或放出光子而改變狀態的或然率。

波耳模型應用到其他只有一個電子的原子上 波耳模型的另一個難處是無法適用於多電子系統，但是卻可以描述僅有一個電子的其它原子，將其能階給予適當的修正，像單離子化的氦。

波耳模型應用到其他只有一個電子的原子上 (26-25) (26-26)

He+ 的能階 請計算單一離子化的氦的前幾個能階，畫出其能階圖，並與氫的能階圖作一比較。 26.6 解答與討論： 氫的基態能階是 -13.6 eV。只有一個電子的原子，且其原子核電荷為 +Ze，則其能階為

解答與討論： 氫的基態能階是 -13.6 eV。只有一個電子的原子，且其原子核電荷為 +Ze，則其能階為

對於 He+，Z = 2： He+ 的前六個能階分別是 現在，在氫能階圖旁畫出 He+ 的能階圖 ( 不是以一定的比例 ) ( 圖26.19)。由於 Z2 因子的關係，He+ 的每一個能階是氫能階在同樣 n 值時的四倍。He+ 第一個激態 (n = 2)的能量等於氫基態的能量；He+ 第三個激態 (n = 4) 的能量等於氫第一個激態 (n = 2) 的能量。一般而言，He+ 的 2n 能態的能量等於氫的 n 能態的能量。

量子力學 圖23-14　幾個氫原子的波函數及機率密度函數。

Visualizing the hydrogen electron orbitals The image to the right shows the first few hydrogen atom orbitals. These are cross-sections of the probability density that are color-coded (black=zero density, white=highest density). The angular momentum (orbital) quantum number l is denoted in each column, using the usual spectroscopic letter code ("s" means l = 0; "p": l = 1; "d": l = 2). The main (principal) quantum number n (= 1, 2, 3, ...) is marked to the right of each row. l

螢光、磷光與化學發光 一個原子可以吸收一個光子，使得電子躍遷超過一個能階，例如從基態躍遷第二激態。這個電子可以分成兩個步驟回到基態，而放射不同頻率且低於吸收光子頻率的兩個光子。螢光的發生是當原子被紫外光照射而放出可見光 – 造成特別的 “輝光”。磷光也是相類似的情況，除了原子可以停留在中間態一段時間，因此當電子慢慢返回基態時，即緩慢的放出光子，使得材料可以放出輝光數小時。最後，化學發光是發生在因化學反應而使分子或原子處於激態的狀況，這就是螢火蟲產生輝光的來源。

26.8 電子對滅與電子對生 正電子 電子對生 電子對滅

正電子 每一個基本粒子都有反粒子存在，兩者質量相同，但是電性相反；第一個發現的就是正電子，是電子的反粒子。

電子對生 如果一個光子有足夠的能量且在原子核周圍的電場中 (為了能量及動量守恆，這是必要的)，則能產生電子 – 正電子對。

電子對滅 如果正電子遭遇到電子，則兩者湮滅，產生了具有特徵能量 (來自於電子及正電子的靜止能量) 的兩個光子 。