第一章 引论

古希腊文明

古希腊文明 公元前776年：第一次奥林匹克运动会召开。 公元前490年：大流士一世进攻雅典，马拉松战役。 公元前480年：薛西斯一世进攻希腊，温泉关战役，萨拉米海战。 公元前338年，马其顿控制了整个希腊。 公元前334年，亚历山大渡海东征，建立亚历山大帝国。

黄金时代 从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”。 托勒密统治下的希腊埃及，定都亚历山大城，并于公元前300年左右，开始兴建规模宏大的亚历山大艺术宫和图书馆，提倡学术，罗致人才。 那里学者云集，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。

欧几里得 欧几里得(Euclid of Alexandria)早年就学于雅典，公元前300年左右应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。 《原本》(Elements),《数据》,《论剖分》,《现象》,《光学》,《镜面反射》,《圆锥曲线》,《衍论》,《曲面轨迹》,《辩伪术》等

《原本》 “原本”的原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。 欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。 全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。

《原本》 第I卷作为全书之首，给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分的”；“线是没有宽度的长”；“面是只有长度和宽度的”等等。 接着便列出了5条公设和5条公理:

公设: 1、假定从任意一点到任意一点可作一直线。 2、一条有限直线可不断延长。 3、以任意中心和直径可以画圆。 4、凡直角都彼此相等。 5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

公理: 1、等于同量的量彼此相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、彼此重合的图形是全等的。 5、整体大于部分。

《原本》 第I、II、III及VI卷包含了平面几何的一些基本内容； 第V卷讲比例论； 第VII，VIII，IX卷是关于数论的内容，其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法； 第X卷讨论不可公度量，并试图进行分类； 最后的三卷(XI，XII，XIII)主要是立体几何的内容。

公理化思想 欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立. 这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理---公设或公理。 这就是后来所谓的公理化思想。

古希腊其他数学家 1、 2、 3、阿基米德、柏拉图、亚里士多德、 …

平行公设 直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下，许多数学家都相信欧几里得几何是绝对真理。 但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是欧几里得第五公设，也称平行公设. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

平行公设 在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊.它的叙述不像其他公设那样简洁、明了. 欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫,并竭力推迟它的使用，一直到卷I命题29才不得不利用它. 等价公设：“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”.

归谬法 历史上许多数学家都试图证明平行公设，均告失败. 18世纪中叶，对第五公设的研究开始出现有意义的进展. 意大利数学家萨凯里(G.Saccheri)最先使用归谬法来证明平行公设.

萨凯里四边形 萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形. AC=BD，角A,B为直角

萨凯里的计划 萨凯里指出，顶角具有三种可能性并分别将它们命名为 1.直角假设: 角C和D是直角; (第五公设等价) 萨凯里的计划是证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设成立，这样就证明了第五公设.

结果 萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾. 对于锐角假设，他获得了一系列新奇有趣的结论，如三角形三内角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交，等等. 虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的.

克吕格尔(G. S. Klugel) 1763年，德国数学家克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论. 克吕格尔是第一位对平行公设能否由其他公理加以证明表示怀疑的数学家.

非欧几何的诞生 高斯从1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何. 他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”. Friedrich Gauss (1777-1855)

J. 波约 匈牙利数学家，父亲F.波约是高斯的朋友. “称赞他就等于称赞我自己. 整篇文章的内容，您儿子所采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前的思考不谋而合.”

罗巴切夫斯基 1826年在喀山大学发表了《简要论述平行线定理的一个严格证明》的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现. 1829年发表了题为《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献. Lobachevsky (1792-1856)

非欧几何的基本思想 罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言:通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线，作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理. 罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学—非欧几里得几何学.

勇气 当罗巴切夫斯基公布他的新几何学时，许多人群起攻之. 面对种种攻击，罗巴切夫斯基表现出比高斯更有勇气. 一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时，他还口述发表了一本叫《泛几何学》的著作，坚信自己的新几何学的正确性. 罗巴切夫斯基同时坚信这种新的几何学终有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”.

黎曼几何 德国数学家黎曼在1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何，即现在所称的黎曼几何. 罗巴切夫斯基几何以及欧氏几何都是这种几何的特例. B. Riemann (1826-1866)

黎曼几何 在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间(即在每一点上曲率都相等的流形)，对于三维空间，有以下三种情形: 1.曲率为正常数; 2.曲率为负常数; 3.曲率恒等于零. 过已知直线外一点，不能作任何平行于该给定直线的直线. 这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学. （另一种非欧几何学,椭圆几何） （罗氏的非欧几何学,双曲几何） （欧氏几何学）

物理验证 从罗巴切夫斯基到黎曼，他们都相信天文测量将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可能只是物理空间的近似写照. 他们的预言，在20世纪被爱因斯坦的相对论所证实.正是黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学表述. 而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性.

统一几何学 19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种几何学. 除了黎曼几何外，还有如非阿基米德几何, 非黎曼几何,射影几何,微分几何等. 1872年，德国数学家克莱因第一个提出了统一几何学的计划. 所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量.

统一几何学 1899年，希尔伯特提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径—公理化方法. 希尔伯特在《几何基础》中提出了包括了20条公理的公理系统，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何.

数学怪物 对于某个数学集合，习惯于在Euclid空间Rn 对其度量； 点：n=0； 线：n=1； 面：n=2； 体：n=3； 几何描述的“数学怪物”.

1. von koch 曲线 处处连续但处处不可微的函数曲线； Weierstrass函数：

1904年，瑞典数学家von Koch设计了Koch曲线： 设E0为单位区间[0，1]， 个等边三角形，然后去掉区间（1/3，2/3）， 得到一条四折线段E1. 注意有3个点不可微；

2）对E1的四条折线段重复以上过程，得到一 条十六折线段E2，注意它有15个点不可微； 3）重复上述过程，由En到En+1，当n趋于无 穷时，便得到一条Koch曲线，显然它是一条处 处连续但处处不可微的曲线.

Koch曲线的长度是多少？ Length(E0)=1； Length(E1)=4/3； Length(E2)=16/9； Length(E)=∞

Koch曲线的面积是多少？ 1）用一个三角形覆盖全部曲线， 底长为1，高为 ，面积为

2）用四个三角形覆盖曲线的四小部分， 每边长度均为原三角形边长的1/3，故全部三 角形的面积为

3）再以边长缩短1/3的16个小三角形去覆盖曲线 的16个小部分， 面积应为

依次类推，可得Koch曲线的面积为 Koch曲线在1维Euclid空间的度量为∞，在2 维Euclid空间的度量为0. Koch曲线在传统的Euclid几何领域不可度量.

2. Sierpinski三角形 令S0为边长为1的等边三角形； 1）连接三条边的中点，得到四个全等三角形，

2）对S1的三个三角形重复刚才的步骤，得S2， 它含有9个小三角形；

3）重复以上步骤，得Sn.当n趋于无穷大时，便 得Sierpinski三角形.

著名的巴黎埃菲尔铁塔正是以Sierpinski三角形作为平面图。 虽然铁塔并没有把分形进行到无穷，但是它已经体现了这项工程的精彩，即在不损害结构强度的条件下完成了重力的转移。

Sierpinski垫片的长度(保留下来的三角形的 周长之和)为 Sierpinski垫片的面积为 在传统的Euclid几何中， Sierpinski垫片不 可度量.

3. Sierpinski Carpet

4.自然界中的“怪物” Lorenz 方程：

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量，从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。

1967年，Mandelbrot在《science》上发表 了题为“英国的海岸线有多长？”的论文.

当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量海岸线的长度时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。

如果尺子无限缩小，测得的长度也就无限增大。 结论是：海岸线的长度是多少：决定于尺子的长短。 海岸线的长度是无限的！ 而显然海岸线的面积为零。

这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。

维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。 分形理论认为维数也可以是分数。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。 在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。 布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。 这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。

有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。 小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。

1.2 Mandelbrot和他的分形几何 Mandelbrot在1975年提出了“fractal”这个 名词.(台湾译为“碎形”) 1977年，出版了“Fractal: Form，Chance and Dimension”. 1982年，出版了“The Fractal Geometry of Nature”第二版，形成了“分形热”.

什么是分形集合F？ F具有精细的结构.在任意小的尺度下，总有 复杂的细节； F是如此的不规则，以至它的整体和局部不 能用传统的几何来描述； 以是近似的，也可能是统计意义上的； F在某种意义下的分形维数通常大于它的拓 扑维数； 在多数情况下，F以非常简单的方法定义， 或以递归过程产生.

分形维数 分形维数是分形的基本的不变量，一般是分数，用它可以描述分形的基本特性. 图a是边长为1的正方形. 当边长变为r=1/2时， 原正方形变为n=4个小正方形， 如图b，而4=22. 图c是边长为1的正方体. 原正方体变为n=8个小正方体， 如图d，而8=23.

于是有公式 两边取对数，得维数D的表达式：

由公式 可算出： 1）正方形的维数是2，正方体的维数是3； 2）Koch曲线的维数是 3）Sierpinski三角形的维数是

分形几何与Euclid几何的比较 分形几何 Euclid几何 1）现代怪物(20多年历史) 1）经典的(2000多年历史) 2）无特征长度与比例 3）适用于自然现象 4）用递归或迭代算法描述 Euclid几何 1）经典的(2000多年历史) 2）基于特征长度与比例 3）适合于人工制品 4）用公式描述

分形不但抓住了浑沌与噪声的实质，而且 抓住了范围更广的一系列自然形式的本质。 这些形式的几何在过去相当长的时间里是没 办法描述的，或者被“高贵”的科学认为是不屑 于研究的。 它们包括:海岸线、树枝、山脉、星系分布、 云朵、聚合物、天气模式、大脑皮层褶皱、 肺部支气管分支以及血液微循环管道等等。

云彩不是球体， 山岭不是锥体， 海岸线不是圆周， 树皮并不光滑， 闪电更不是沿着直线传播的。

当本世纪初Koch curve和Sierpinski carpet这些高度“病态”的几何形体出现时，它们大概被认为是人类思维所产生最奇特而无用的怪物了。 即使Mandelbrot在二十年前开始提出分形（fractal）这一观念，并且阐明它是自然界最普遍的形体的时候，一般人的反应都还是将信将疑。

令人（特别是电子工程教授！）意想不到的是，分形居然可以直接应用到无线电发射与接收天线的设计上去. 现在柯亨（Nathan Cohen）等人已经证明，最有效的宽频（broad-band）天线，其形状必须具自相似性——也就是属於分形。 他以柯克曲线状的天线做了实验，发现它具有非常优良的宽频效应，而且所占空间最为紧密。 事实上，摩托罗拉（Motorola）公司所出产的手机电话已经开始用上具有施尔平斯基地毡状的内藏天线，它不但效率高25%，而且形状规整，不会折损。

电影特效

分形艺术

Benoit B.Mandelbrot 分形理论创始人是美籍法国数学家B.B.曼德布罗特。他1924年11月20日生于波兰华沙一个立陶宛犹太人之家。1936年全家移居法国巴黎，那里有他的叔叔索列姆·曼德布罗特（Szolem.Mandelbrot )，是一位杰出的纯数学家和复分析专家。

曼德布罗特1947年毕业于巴黎理工学校，1948年获美 国加利福尼亚理工学院硕士学位，1952年获巴黎大学 哲学（数学）博士学位。1958年定居美国，曾在哈佛 大学教经济，耶鲁大学教工程，爱因斯坦医学院教生 理学。现为美国IBM（国际商业机器）公司沃特森研究 中心自然科学部高级研究员，哈佛大学应用数学兼职教 授，美国国家科学院院士，美国艺术与科学研究员成 员，欧洲艺术、科学和人文研究院院士（巴黎）。

1985年获巴纳德（Barnard）奖章，此奖是由美国国家 科学院和哥伦比亚大学颁发的科学功勋服务奖，授予在 “物理或天文学方面作出重大发现”或“使科学造福于人类 取得新成就”的优秀人物。1986年获富兰克林奖章。 1988年共获四项大奖，其中“科学与艺术”奖的目的是 “促进艺术、科学和工业界之间的相互渗透的重大科学 创新，从而使美学创造力伸展到科学技术领域中”。 1989年获得在以色列海法颁发的“科学与艺术哈维奖”。 

由于战乱，他的学业时断时续，受的教育也很不正规。 他声称自己从未认真学习过字母，也没有系统地背诵过 乘法口诀，只背过五以下的乘法表。年轻时参加过法国 著名的数学团体即布尔巴基学派，但由于布尔巴基摒弃 一切图画，过分强调逻辑分析和形式主义，使得他无法 忍受而成了一位叛逆者。对纯粹的数学家来说，曼德布 罗特并非数学家，他经常受到指责和批评。

1.3 分形的微积分公式 1）由 得到： 2）积分： f (x)的n次积分可写为 于是