结构力学 STRUCTURE MECHANICS 天津城市建设学院力学教研室

结构力学成绩评定方法 1、 “结构力学”为考试课程。期末考试成绩占75﹪，平时成绩占25﹪。 2、平时成绩由以下四部分组成： （1）作业及平时测验占10﹪； （2）课堂笔记占5﹪； （3）回答问题占5﹪； （4）出勤、着装及遵守课堂记律等占5﹪。

第12章 结构矩阵分析 12-1 概 述 *课程建设背景（1987年：4机时） *结构矩阵分析方法 *结构矩阵分析基本思路 *从一个简单例题谈起 *《有限单元法结构计算器》简介 *矩阵力法与矩阵位移法简介

结构矩阵分析方法 进行力学分析的方法有很多种，归结起来可以分为两类，即解析法和数值法。 在传统结构力学中引进有限单元的基本概念，数学推导采用矩阵方法，实际计算采用电子计算机。有限元、矩阵代数、计算机三者结合，使力学学科发生了革命性的变化。 杆系结构的矩阵位移法是以杆件为单元，以结构的结点位移作为基本未知量，导入矩阵运算，用计算机求解的方法。 返 回

结构矩阵分析基本思路 简单概括为：“先分再合，拆了再搭” 将结构离散成有限的单元，进行单元分析——建立杆端力与杆端位移之间的关系（单元刚度方程）。 根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构，进行整体分析——建立结点力与结点位移之间的关系（结构刚度方程） 。 解算刚度方程，完成结构计算。 返 回

试用有限单元法计算图示结构（分析解题思路） 确定结点、划分单元、整理基本数据后，由程序完成计算。 返 回

矩阵力法与矩阵位移法简介 矩阵力法（柔度法）： P F   结点力 结点位移 杆端力 杆端位移 （平衡条件） （几何条件） （物理条件）

矩阵位移法（刚度法）： P F   结点力 结点位移 杆端力 杆端位移 （平衡条件） （几何条件） （物理条件）

结构的离散化 *单元划分举例 杆系结构 实体结构 *单元划分的原则 计算精度 计算机容量 4 6 5 3 P 7 2 1 8 q l q

杆件结构结点力与结点位移之间的关系（图） 单元分析 *杆件结构 杆端力与杆端位移之间的关系 o ` x y 整体分析 *杆件结构 杆件结构结点力与结点位移之间的关系（图）

整体分析的几个环节 1、将单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵 2、将单元结点荷载集合成整个结构的结点荷载 3、引入结构的位移边界条件 4、确定整个结构的平衡方程： 5、求解杆端力： 结点位移 杆端位移 杆端力

12-2 矩阵位移法的概念及连续梁的计算 一、矩阵位移法的解题思路 “先分再合，拆了再搭” 2 1 y x o 3 2 3 1

1、单元分析（物理条件） 单元1 1 单元2 2 写成矩阵形式 单元1 单元2

2、整体分析 2 3 1 位移条件 平衡条件

将位移方程代入物理方程后再代入平衡方程，可得：

将上方程组写成矩阵的形式 简写为： 称为“整个结构的刚度方程”。

二、用有限单元法分析连续梁应注意的问题 1、用直接刚度法组集刚度矩阵 单元刚度矩阵 1 2 2 3 整体刚度矩阵 2 3 1 2 3 1 结论：将单元刚度矩阵中的元素或子块，按其整体编码的下标， “对号入座、同号相加”组集整体刚度矩阵。

练习：试写出图示连续梁整体刚度矩阵。 2 1 3 4 整体刚度矩阵 1 2 3 4 单元刚度矩阵 解：

多跨连续梁刚度矩阵和刚度方程 2 1 3 n-2 n n-1

（2）支承条件的引入 “主1副零”法 原刚度方程： 2、支承条件的引入 （1）后处理法概念： 先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程，而后再引入支承条件修改刚度方程的方法。 1 2 3 （2）支承条件的引入 “主1副零”法 原刚度方程： 引入支承条件后 为便于编程，保持原矩阵行列不变

3、非结点荷载的处理 (a) 增加约束杆端固端弯矩为 (b) 整个结构的结点约束力矩 (c) 去掉附加约束：在各结点施加等效结点荷载Pe，其大小与约束力矩相同，但方向相反 叠加图（b）和图（c）两种情况，即得图（a）的原始情况

三、用有限单元法计算例12-1（P18） 1、确定结点、划分单元、建立坐标系； 2、求（等效）结点荷载矩阵： 3、求单元刚度矩阵： 4、求整体刚度矩阵： 5、建立整个结构的刚度方程： 6、引入支承条件，修改刚度方程： 7、解方程，求结点位移： 8、绘内力图。

12-3 局部坐标系中的单元分析 一、一般单元 2' 1' 1 2 E,A,I,l F5 F4 F6 F2 F1 F3 x y

写成矩阵的形式,分析各元素的物理意义: 进一步: 单元刚度矩阵的特点: (1)为对称矩阵; (2)为奇异矩阵; (3)具有分快性质。

二、梁单元 2' 1' 1 2 E,A,I,l F4 F3 F2 F1 x y

写成矩阵的形式,分析各元素的物理意义: 进一步: 梁单元刚度矩阵的特点: (1)梁单元刚度矩阵可由一般单元刚度矩阵划掉第1、4行和第1、4列得到； (2)为对称矩阵;为奇异矩阵;具有分快性质。

三、轴力（桁架）单元 e x δ1 F1 F2 δ2 写成矩阵的形式：

为了便于坐标变换，轴力单元一般采用如下形式： F2 F4 y e x δ1 F1 F3 δ2 写成矩阵的形式： 轴力单元刚度矩阵的特点: (1)梁单元刚度矩阵可由一般单元刚度矩阵划掉第2、3、5、6行和第2、3、5、6列得到； (2)为对称矩阵;为奇异矩阵;具有分快性质。

12.4 单元刚度矩阵的坐标变换 一、整体坐标系与局部坐标系 1、两种坐标系建立的必要性 连续梁不必进行坐标变换，桁架、刚架必须进行坐标变换。 2、整体坐标系 各个单元共同参考的坐标系（结构坐标系）。 3、局部坐标系： 专属某一个单元的坐标系。（单元坐标系）。

二、桁架单元的坐标变换 F1 F2 y x o F3 F4 由图可确定如下关系式：

将以上方程组写成矩阵的形式： 进一步： 正交矩阵的特点： （1）任一行或任一列元素的平方和等于1； （2）不同行或列对应元素乘积之和等于零。 称为“轴力单元坐标变换矩阵”，该矩阵为正交矩阵。 正交矩阵的特点： （1）任一行或任一列元素的平方和等于1； （2）不同行或列对应元素乘积之和等于零。

同理，可用整体坐标系下的杆端位移表示局部坐标系下的杆端位移： 即：

三、刚架单元的坐标变换 x F1 F2 y o F4 F5 F6 F3 由图可确定如下关系式：

将以上方程组写成矩阵的形式： 进一步： 称为“刚架单元坐标变换矩阵”，该矩阵为正交矩阵。

1、整体坐标系下的单元刚度方程（引导学生推导） 四、整体坐标系下的单元刚度矩阵 1、整体坐标系下的单元刚度方程（引导学生推导） 两种坐标系下的杆端力关系： 两种坐标系下的杆端位移关系： 局部坐标系下的单元刚度方程： 将式（1）、（2）代入式（3）并整理，得： 令： 则：

2、整体坐标系下桁架单元刚度矩阵（由学生推导）

3、整体坐标系下刚架单元刚度矩阵： 由上式可求出整体坐标系下刚架单元刚度矩阵，如第25页式（12-47）、式（12-48）所示。

12-5 结点、单元及未知位移分量编码 一、一般杆件结构的后处理法的概念 12-5 结点、单元及未知位移分量编码 一、一般杆件结构的后处理法的概念 先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程，而后再引入支承条件修改刚度方程，进而求解结点未知位移的方法。 1、一个具体的例子 o 1 2 3 4 x y `

整个结构的刚度方程： 引入支承条件： ，将上述方程变为两组： 用该方程组求“自由结点位移” 当“自由结点位移”求出后，用该方程组求支座反力。

2、一般杆件结构的后处理法 自由结点位移 支座结点位移 自由结点力 支座结点力 刚度方程： 于是： 当无支座移动时：

二、先处理法 1、定义：首先考虑支承情况，仅对未知的自由结点位移分量编码，直接建立“修正的整体刚度方程”的方法。 2、有关先处理法的基本概念 （1）位移分量编码 a）仅对未知的独立位移分量编码 b）支座处位移分量为零时，则位移分量编码为零。 1 2 3 x y 1 2 3 x y

表1 支座结点未知位移分量信息 支座名称 简 图 未知位移分量编码 （u、v、） 结点编码 固定支座 0,0,0 1 饺支座 0,0,1 表1 支座结点未知位移分量信息 支座名称 简 图 未知位移分量编码 （u、v、） 结点编码 固定支座 0,0,0 1 饺支座 0,0,1 1 滚轴支座 1 1,0,2 1 2 0,1,2 1 滑动支座 1 1,0,0 1 2 0,1,0 1 自由端 1,2,3 1

（2）单元两端结点号数组（二维数组） 1 2 3 x y 1 2 3 x y

（3）结点位移分量的位移号数组 1 2 3 x y 1 2 3 x y

（4）单元定位数组（单元始端及末端的位移号组成的向量） 1 2 3 x y 1 2 3 x y

（4）练习：试确定图示结构坐标系，并对结点、单元、位移分量进行编码，同时写出第三单元结点号数组、第三结点位移编码、第三单元定位数组（考虑轴向变形、略去轴向变形两种情况）。 1 2 3 x y 4 5 6 y 1 2 3 x 4 5 6 考虑轴向变形 略去轴向变形

12-6 平面杆件结构的整体刚度矩阵 在“先处理法”中，整个结构的刚度方程为： 1 2 3 x y

1 2 3 1 2 3 x y 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6

1 2 3 x y 1 2 3 4 5 6 7

12.7 非结点荷载处理 一、非结点荷载的处理（连续梁） 1 2 3 q p q p 1 2 3 1 2 3 等效结点荷载计算：

二、综合结点荷载定义 三、等效结点荷载的确定 1、单元等效结点荷载

2、整个结构的等效结点荷载 将单元等效结点荷载按“单元定位编码”累加到整个结构的等效结点荷载中去： 四、综合结点荷载的确定 将直接作用在结点上的荷载与整个结构的等效结点荷载相加，可得综合结点荷载： 综合结点荷载作用下的支座反力、杆端位移即为原结构的支座反力、杆端位移；而综合结点荷载作用下的杆端力与固端力相加为原结构的杆端力。

例题： 求图示结构综合结点荷载。 解： 2 x y 1 1 2 3 4 2 3 4 5

4、结构等效结点荷载 5、直接作用在结点上的荷载 6、综合结点荷载 1 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 3 4 5 4、结构等效结点荷载 1 2 3 4 5 5、直接作用在结点上的荷载 1 2 3 4 5 6、综合结点荷载 1 2 3 4 5

练习： 求图示结构综合结点荷载。 2 x y 1 3 1 2 3 4 5 6

12.8 平面杆件结构分析举例 一、解题步骤 （1）整理原始数据，确定结点、划分单元、建立坐标系并对单元、结点、及结点位移分量进行编号。 12.8 平面杆件结构分析举例 一、解题步骤 （1）整理原始数据，确定结点、划分单元、建立坐标系并对单元、结点、及结点位移分量进行编号。 （2）计算局部坐标系中单元刚度矩阵。 （3）计算整体坐标系中单元刚度矩阵。 （4）建立整个结构的刚度矩阵。 （5）求综合结点荷载。 （6）建立整个结构的刚度方程，进而求解自由结点位移。 （7）根据问题要求，求支座反力及绘内力图等。

二、平面杆件结构分析举例（P34、p38）

12.9 连续梁及平面刚架静力分析源程序 一、连续梁静力分析源程序 （一）程序编制说明 （二）计算模型及计算方法 12.9 连续梁及平面刚架静力分析源程序 一、连续梁静力分析源程序 （一）程序编制说明 1、本程序用来计算连续梁在荷载作用下的转角及结点弯矩。 2、非结点荷载作用下的固端弯矩由手算完成。 3、采用“后处理法”：先建立[K]，后引入支承条件。 4、采用“高斯顺序序消取法”解刚度方程。 （二）计算模型及计算方法 1、计算模型 2 1 3 n-1 n

2、计算方法 （1）结点荷载 （2）整体刚度矩阵的组集

（3）支承条件的引入 （4）高斯消去法解线性方程组

（4）高斯消去法解线性方程组 向前消元 （1） 第一轮消元：利用式（1）中的第一个方程消去其余方程中的x1 （2） 式中：

（2） 第二轮消元：利用式（2）中的第二个方程消去其余方程中的x2 （3） 式中： …………………………………..

经（n-1)轮消元后，方程组变为 （4） 整个消元过程可表示为： （5）

向后叠代 经（n-1)轮消元后，方程组变为 由式（4）的最后一个方程可以得到Xn ： 将Xn 代入式（4）的（n-1)方程可以得到Xn-1 ：

将Xn 、Xn-1代入式（4）的（n-2)方程可以得到Xn-2： 依次类推，由第i个方程可以得到Xi ： 整个回代过程可表示为： （6）

（5）计算单元的杆端力

二、 连续梁的框图与程序 （一）程序标识符的说明（p42) （二）框图 （三）连续梁静力分析源程序 （FORTRAN） 开始 （1）输入原始数据 （三）连续梁静力分析源程序 （FORTRAN） （2）形成结点荷载列阵 （3）形成整体刚度矩阵 （4）引入支承条件 （5）解方程并打印位移 （6）计算并打印杆端力 结束