第三章 概率

第三章 3.3　随机数的含义与应用 3.3.2　随机数的含义与应用

课前自主预习 1 课堂典例讲练 2 思想方法技巧 4 易错疑难辨析 3 课后强化作业 5

课前自主预习

如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算半圆面积，并估计π值．

1．随机数 随机数就是____________________产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的______一样． 2．产生随机数的方法 (1)用函数型计算器产生随机数的方法 每次按________________键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是________． 在一定范围内随机　 机会 相同的　

(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生的随机数的方法) ①Scilab中用________函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数． ②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换__________________得到． rand(　) rand(　)*(b－a)＋a

1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需进行的变换为(　　) A．a＝a1＋8　　 B．a＝a1*8＋2 C．a＝a1*8-2 D.a＝a1*6 [答案]　C [解析]　将[0,1]内的随机数转化为[a，b]内的随机数需进行的变换为a＝a1*(b-a)+ a.

2．天气预报说，在接下去的一个星期里，每天涨潮的概率均为20%，这个星期里恰好有2天涨潮的概率是(　　) A．20%　　 B．30%　　 C．40%　　 D．50% [答案]　A [解析]　通过设计模拟实验的方法来解决这个问题．利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为是一周，所以每7个随机数作为一组，例如产生20组随机数：

3．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于(　　) A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数 C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法 [答案]　B [解析]　用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高，故选B.

4．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的概率． [解析]　一级品和二级品的数量不相等，所以抽取时得到一级品还是二级品的可能性不同，但是每支笔被取到的可能性相等，我们可以用1～10内的整数随机数x表示抽取圆珠笔．用1～7内的整数随机数x表示一级品，用8～10内的整数随机数x表示二级品．

设事件A＝“取得一级品” (1)用计算器的随机函数RANDI(1,10)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取得一级品，用8,9,10表示取得二级品； (2)统计试验总次数N及其中出现1～7之间的数的次数N1； (3)计算频率fn(A)＝N1/N即为事件A的概率的近似值．

课堂典例讲练

用随机数进行排序 [解析]　S1　n＝1； S2　用int(rand( )*6)＋1产生一个[1,6]内的整数随机数x表示学生的座号； S3　执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1； S4　如果n≤6，则重复执行S3，否则执行S5； S5　按座号的大小排列，程序结束．

[点评]　此题的排序方法是给每人一个座号，当人数很多时(如安排考场)，我们可以用同样的方法给每名学生一个座号(即考号)，然后按照考号排成一列，分配到考场中去．

某校高二全年级共有20个班1200名学生，期末考试时应如何把学生随机地分配到40个考场中去． [解析]　S1　n＝1； S2　用int(rand()*1200)＋1产生一个[1,1200]内的整数随机数x表示学生的座号；

S3　执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，再执行S2；否则n＝n＋1； S4　如果n≤1200，则重复执行S3，否则执行S5； S5　按座号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束.

用随机模拟方法估计古典概型的概率操作步骤及方法

[点评]　如果改为投掷三枚(四枚)骰子，则可以把3个(4个)随机数作为一组，统计总组数与满足条件的组数即可．如求投掷三枚时两枚6点一枚1点的概率时只要统计两个6一个1的组数即可．

一个口袋中有大小相等的5个白球和3个黑球，从中有放回地取出一球，共取两次，求取出的球都是白球的概率．

用随机模拟方法估算几何概型的概率 [解析]　在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,6]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,6]上的均匀随机数，其中取得[2,4]内的随机数就表示剪得两段长都不小于2m.这样取得的[2,4]内的随机数个数与[0,6]内个数之比就是事件A发生的频率．

[点评]　用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．解法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．

如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问： (1)投中大圆内的概率是多少？ (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多 少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？

[解析]　以圆心为原点，平行于正方形边的直线为坐标轴建立直角坐标系，则大、中、小圆的方程依次为x2＋y2＝36，x2＋y2＝16，x2＋y2＝4，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以用两个随机数一组来表示点的坐标，确定点的位置． 记事件A＝{投中大圆内}， 事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}， 事件C＝{投中大圆之外}．

易错疑难辨析

[错解]　C

[辨析]　处理解随机数的意义时，数据统计错误，从而导致错选C.

思想方法技巧

[分析]　由条件可知取得[2,4]内的随机数个数与[0,6]内的随机数个数之比就是事件A发生的频率． [解析]　记事件A＝{灯与两端的距离都不小于2 m}． (1)利用计算器或计算机产生一组0～1之间的均匀随机数，a1＝rand()； (2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．

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