數學本質概念 -小數概念 廖俞晴、陳思維

一、數學結構 小數歷史 國內 國外 小數概念 小數、分數與整數的關係 小數的分類 小數點的功能

一、數學結構-小數歷史 國內 國外 魏晉時期的數學家劉徽，在我國和世界上最早提出小數的概念。 直到西元15世紀，中亞地區才有人應用小數；歐洲數學家則遲至16世紀才開始考慮小數。

一、數學結構-小數概念1 小數、分數與整數的關係 小數、分數與整數三者皆有相關，以小數「0.35」為例，它和分數的意義相同，都是等分割後的結果；它的記法也和整數記法相同。 教師在教學時可先引入整數及分數的教材，等學童掌握分數的意義及整數記法的位值概念後，透過分數概念引入小數的記法，再幫助學童類比整數。

一、數學結構-小數概念2 小數的分類 整數 小數 “純小數”，如：0.8； “帶小數”，如：2.3，此兩種小數。 “有限小數”，如：10.16； “無限小數”，如：3.1415926 無限小數中，又分 “無限循環小數”，如： 10.161616……； “無限不循環小數”，如：3.1415926…… 。

一、數學結構-小數概念3 小數點的功能 小數點左右兩邊的位名不對稱。 在小數的記法中，若無小數點 小數點的功能只是告訴我們個位在那裡，個位才是位名的對稱中心。

二、認知結構 認識小數，並理解含義 小數概念的迷思

二、認知結構1 認識小數，並理解含義 皮亞傑的認知發展階段論， 學童具備類化的能力 具體運思期為國小主要階段，主要特徵 面對問題時能循邏輯法則推理思維 根據具體情境或熟悉的經驗，加以分類和學習。 學童具備類化的能力 教師只需針小數特有的規則和學生易感混淆之處，加以澄清、教導。

二、認知結構2 小數概念的迷思 學者劉曼麗（民94）曾提出學童不易掌握小數符號背後的數學意義，因具體運思期階段的學童，雖能根據具體經驗解決問題，但對於抽象思維，還無法完全體會，所以可能使學童在小數比大小單元，產生錯誤或迷思概念。 進行小數教學時，例如連結小數符號與圖形表徵部份，教師可特別強調小數點分隔整數與非整數部份的功用，及小數點兩邊數量大小與大小單位間之關係。

三、綱要結構-能力指標 四階段 小學畢業前 內容主題 一：一～三年級：掌握數、量、形的概念 二：四、五年級：能熟練非負整數的四則與混合計算 三：六、七年級 四：八、九年級 小學畢業前 熟練小數與分數的四則計算 能利用常用數量關係，解決日常生活問題 內容主題 N： 「數與量」 S： 「幾何」 A： 「代數」 D：「統計與機率」

三、綱要結構-階段能力指標 階段能力指標 第一階段能力指標 N-1-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算。 第二階段能力指標 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。

三、綱要結構-分年細目 三年級 說明 對照指標 3-N-10 N-1-10 認識「十分位」 一位小數的讀法。 小數的進位 能認識一位小數，並作比較與加減計算 N-1-10 說明 認識「十分位」 一位小數的讀法。 小數的進位 以直尺（數線）學習一位小數的記號與計算 熟悉小數點的意義，知道小數點區隔了整數和小數的部分 理解在小數加減直式計算中要對齊小數點

三、綱要結構-分年細目 四年級 說明 引入 ＝ ，與小數相連結。 對照指標 4-n-08 N-1-10 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換 N-1-10 說明 引入 ＝ ，與小數相連結。

三、綱要結構-分年細目 四年級 說明 對照指標 4-n-09 N-2-10 認識「百分位」及「千分位」 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較 N-2-10 說明 認識「百分位」及「千分位」 要教導學童「小數點以下2位」或「2位小數」的講法 注意二、三位小數的讀法 二、三位小數的比大小 例：0.27 ＜ 0.5，或 0.3 ＞ 0.299(透過分數的轉換，比較容易理解)

三、綱要結構-分年細目 五年級 說明 對照指標 5-n-08 N-2-10 讓學童知道多位小數，原則上跟大數一樣，可以一再細分下去。 能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。 N-2-10 說明 讓學童知道多位小數，原則上跟大數一樣，可以一再細分下去。 教導學童「小數點以下(後)第4位」的講法。 讓學童理解多位小數的計算，與小位數小數的計算方式相同。 引用自然科學的實際例子，讓學童知道在微小的世界中，小數派得上用場，例如細菌大概是0.0003公分長，

三、綱要結構-分年細目 五年級 說明 對照指標 5-n-10 N-2-05 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。 N-2-05 說明 在應用上計算百分率，經常要用到四捨五入（參見5-n-12）。例如全班有32人，女生有18人，則女生佔全班的0.5625，換成整數值的百分率，則約為56％，若允許到小數一位，則為56.3％。

三、綱要結構-分年細目 五年級 說明 對照指標 5-n-11 N-2-06 N-2-13 在沒有刻度的輔助下標示整數、分數、小數。 能將分數、小數標記在數線上。 N-2-06 N-2-13 說明 在沒有刻度的輔助下標示整數、分數、小數。 小數的標示以一位為原則。

四、教學策略-教學模式 教學目標 教學特質 教學原則 認知 情意 技能 教學主體以學生為主 教學採啟發式教學 採不同教學策略 多元教學評量 準備 類化 自動 努力 個性適應 社會化原則 熟練原則 同時準備原則

四、教學策略-認知領域教學法 五段教學法 發現教學法 水道教學法

四、教學策略-認知領域教學法 五段教學法 以教師為中心，教學步驟清楚，學生學習能按部就班，但比較缺乏彈性 預備 提示 比較 總括 應用

四、教學策略-認知領域教學法 發現教學法（輔導發現法） 實例： 以學生為中心，重視學習活動與過程 教材有結構 重視兒童活動 多數兒童獲利 複習分數概念，導入小數概念 一位小數的認識 多位小數的認識 讓兒童觀察數線，使其發現一位小數、多位小數之間的關係

四、教學策略-認知領域教學法 水道教學法 把數概念與計算分開指導 先概念後計算 教材從一般到特殊 以筆算為中心的學習 使用計算方板 注重算法的一貫性(在小數和分數的計算上，可以獲得圓滿的解釋)

四、教學策略-情意領域教學法 合作學習教學法 編序教學法

四、教學策略-情意領域教學法 合作學習教學法 步驟 有系統、有結構 分四至六人的小組 每一組討論題目，以不超過五題為限。 異質分組 互相協助、合作，提高個人的學習成效並同時達成團體目標 不適用國小低年級 小組活動不理想應馬上停止。 步驟 分四至六人的小組 每一組討論題目，以不超過五題為限。 小組討論時，老師應適時指導協助。 將過於熱烈及沈默的小組重新編組 每次活動不超過三十分鐘 可採競賽方式，請表現較佳的小組分享

四、教學策略-情意領域教學法 編序教學法 將預定的教材依照學生能力細分各單元 每一單元細目教學過後，測驗學習成果，並且給予立即的回饋。

四、教學策略-情意領域教學法 練習教學法 不斷反覆操作，養成正確良好及純熟的反應 步驟 引起動機 教師示範 學生模仿 反覆練習 評量學習結果

四、教學策略-小數概念迷思 【迷思一：精讀】 無法掌握印度─阿拉伯記數系統的位值概念。 例：0.81讀成零點八十一； 0.935讀成零點九百三十五

四、教學策略-小數概念迷思 【迷思二：序列小數進位錯誤 】 例：0.8→0.9→0.10； 0.98→0.99→0.100 策略一：使用計算機0.1 +0.1+…+0.1＝1 策略二：使用積木0.1 +0.1+…+0.1＝1 □□□□□□□□□□＝1 □＝0.1 □□□□□□□□□＝0.9 所以0.9之後是1

策略三：使用圓餅圖0.1 +0.1+…+0.1＝1 ……. 0.1 0.2 0.9

四、教學策略-小數概念迷思 【迷思三分數轉成小數錯誤 】 寫成3.5或5.3 寫成 0.8

四、教學策略-小數概念迷思 【迷思四：小數點後，數字越多值越大】 例：0.9＜0.85； 0.1＞0.111 策略一：將小數化為分數，並以數線表示

五、評量示範 【題一】一位小數大小區辨 今天學校視力檢查後， 小明說他視力0.8 小華說他視力0.9 小英說他視力最好了，她的視力多少呢？ □ 0.10 □ 1.0 你怎麼判斷的呢？

五、評量示範 【題二】一位小數與多位小數大小區辨 小明發燒了，媽媽用耳溫槍幫他量體溫，早上是38.15、下午是38.7，請問小明有退燒嗎？ □ 有 □ 沒有 你怎麼判斷的呢？

謝謝大家