第三章 貨幣時間價值 第一節 單筆金額 第二節 年金 第三節 非等額現金之計算 第四節 有效利率之計算 第五節 貨幣時間價值的運用

貨幣時間價值的計算方式：  利用公式   查表  財務計算機：如 Casio FC-200 或 HP 10B。  電腦軟體：如 EXCEL。

第一節 單筆金額 複利的計算 $1,000  (1.04)4 = $1,169.86。 PV‧(1+i)n = FVn 。 $1,000  (1.04)4 = $1,169.86。 PV‧(1+i)n = FVn 。 PV‧(FVIFi,n) = FVn 。

複利示意圖

未來值的變動 「未來值」大於「現值」；當利率愈高，時間拉長後，「未來值」就愈大

現值的變動 當利率 (或稱折現率) 愈高，時間拉長後，「現值」就愈小。

2. [單一金額未來值]  某人目前在銀行存入 $5,000，年利率固定為 2%，則其 3 年後的存款金額為何？ 答： 0 1 2 3 ├──┼──┼──┤ -$5,000 FV FV = PV  FVIF2%,3 = $5,000  1.0612 = $5,306。

3. [單一金額現值]  若年利率固定為 3%，某人希望 5 年後有 $100,000 收入，則目前應存入的金額為何？ 答： 0 1 2 3 4 5 ├──┼──┼──┼──┼──┤ PV $100,000 PV = FV  PVIF3%,5 = $100,000  0.8626 = $86,260。

4. [單一金額利率]  目前若存入 $86,260 於 C 銀行，以年利率複利計算，5 年後會有 $100,000 之收入，則 C 銀行之年利率為何？ 答：0 1 2 3 4 5 ├──┼──┼──┼──┼──┤ -$86,260 $100,000 FV= PV  FVIFi,5 = $86,260  (1+i)5 = $100,000， i = 3%。

5. [單一金額期數]  H 先生現以固定年利率 4% 存入 67,566 美元於某信託基金，到 n 年之後將可提出 $100,000 作為子女教育經費，試問 n =？ 答： 0 1 2 ... n ├──┼──┼──────┤ -$67,566 $100,000 FV = PV  FVIF4%,n = $67,566  (1.04)n = $100,000， n = 10 (年)。

第二節 年金 1. 一般年金 (Ordinary Annuity) 一般年金示意圖 未來值 0 1 2 3 ... n 第二節 年金 1. 一般年金 (Ordinary Annuity) 0 1 2 3 ... n ├──┼──┼──┼────────┤ 利率 = i PMT PMT PMT ... PMT PVAn FVAn 一般年金示意圖 未來值

[年金之未來值] 如果年金共 5 期，PMT = $100，i = 10%，圖 5-6 描繪其未來值的計算。

現值

 例、[年金之現值] 年金共 5 期，PMT = $100，i = 10%。 一般金年現值示意圖

「給父親的感謝信」的啟示 － 養兒防老？妳/你要準備多少退休金？

 例、[年金之現值]  某房東每年年底必須花費 $10,000 整修房屋，租賃契約 4 年，以整存零付的方式支付整修費，若年利率固定為 8%，則目前應存入多少？ 0 1 2 3 4 ├───┼───┼───┼───┤ 利率 = 3% PV -10,000 -10,000 -10,000 -10,000 PV = FV  PVIF 3%,4 = $10,000  3.7171 = $37,171。

2、[年金之未來值]  L 商店老闆為自己設立退休金：每年年底存款 $100,000，年利率固定為 2%，共存 10 年。在第 10 年年底 L 商店老闆的退休金總額為多少？ 答： 0 1 2 ... 10 ├───┼───┼────────┤ $10萬$10萬 ... $10萬 FVA FVA = $100,000  FVIFA2%,10 = $100,000  10.950 = $1,095,000。

2. 期初年金 (Annuity Due) 期初年金示意圖 0 1 2 3 ... n -1 n ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i PMT PMT PMT PMT ... PMT 0 PVAn FVAn 期初年金示意圖

 例、[期初年金未來值]  每年年初買進一張 (1,000 股) K 公司股票 (面額 $10) ；如果 K 公司每年發放股票股利 $2，到了第 5 年年底會擁有多少K 公司的股票？ 0 1 2 3 4 5 ├───┼───┼───┼───┼───┤ i = 20% -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 FVA FVA = 1,000  FVIFA 20%,5  1.2 = 1,000  7.4416  1.2 = 8,930。

1. [期初年金之利率]  張君購買某儲蓄型保單，自 2006 年起至 2011 年，每年年初存入 $200 (千)，至 2011 年年底將可收回 $1,332.5 (千)，則其存款年利率為多少？ 答：‘06 07 … 11 ├────┼────────┼────┤ -$200 -200 … -200 $1,332.5 $2,263 = $200  FVIFAi,6  (1+i)， 若以查表方式解題，可發現：  $200  FVIFA3%,6  (1+i) = $200  6.4684  (1.03) = $1,332.49。 i = 3%。

3. 分期付款 (Amortization)  每年應還金額為何？  若第三年年底想償還所有貸款，則應還金額多少？  例、[分期付款]  以固定利率 4% 向銀行貸款 $2 百萬，為期 10 年，每年年底須支付相同金額。  每年應還金額為何？  若第三年年底想償還所有貸款，則應還金額多少？ 0 1 2 3 ... 9 10 ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = 9% $2百萬PMT PMT PMT ... PMT PMT  $2 百萬 = PMT  PVIFA 4%,10 = PMT  8.1109， PMT = $246,582。

 第三年年底應還金額： 第三年年底應償還 $246,582 + 1,479,998 = $1,726,580。 － (1) (2) (3) = (1)4% (4) = (2)-(3) (5) = (1)-(4) 項目 期初餘額 (Beginning) 每年金額 (Payment) 利息費用 (Interests) 償還本金 (Principal Paid) 期末餘額 (Ending) 第一年 $2,000,000 246,582 80,000 166,582 1,833,418 第二年 $1,833,418 73,337 173,245 1,660,173 第三年 $1,660,173 66,407 180,175 1,479,998 第三年年底應償還 $246,582 + 1,479,998 = $1,726,580。

4. 永續年金 (Perpetuity)  例、[永續年金]  大大公司發行特別股，每年支付股利 $2,000，必要報酬率 10%，則其理論股價應為何？

第三節 非等額現金之計算 0 1 2 3 ... 9 10 ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i 第三節 非等額現金之計算 0 1 2 3 ... 9 10 ├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i CF1 CF2 CF3 ... CFn-1 CFn PV FV

1、[非等額現金之現值與未來值]  某公司估計 5 年內的現金流量如下圖： 上列現金流量的「現值」與「未來值」各為多少？

2、[非等額現金之現值]  A 先生參加抽獎活動獲得下列收入： 第一年初：$10,000， 第二年初：$20,000， 第三、四、五年初各為 $30,000， 第六、七、八年初各為 $40,000。

第四節 有效年利率之計算  例、[有效利率之計算 ]  某信用卡的名目年利率為 18%，則其「有效年利率」為何？ 第四節 有效年利率之計算  名目年利率 (Nominal Annual Rate)： inom，掛牌利率。  每期利率 (Periodic Interest Rate)： inom /m， m 為計算次數。 有效年利率 (Effective Annual Rate)： EAR (ieff)，實際年利率。  例、[有效利率之計算 ]  某信用卡的名目年利率為 18%，則其「有效年利率」為何？

1. [有效利率之比較]  A 銀行定期存款年利率為 3%，以單利計算；B 銀行年利率 2. 92%，每季計息；C 銀行年利率 2

2、[有效利率之計算] 如果花旗銀行信用卡的名目年利率為 18%，則其「有效年利率」為何？ 2、[有效利率之計算] 如果花旗銀行信用卡的名目年利率為 18%，則其「有效年利率」為何？ 3、[有效利率之應用] 吳先生現存入銀行 $100,000，為期 9 個月，名目年利率為 1.8%，每個月計息一次，則到期時的本金與利息共為多少？

2. 無限次數的有效年利率

[有效利率之比較]  如果 X 銀行定期存款年利率為 1. 60%，每季計息一次；Y 銀行年利率 1

第五節 貨幣時間價值之應用 1、[年金之計算]  林先生的女兒現在高中畢業將進入大學，預計 4 年後出國留學兩年，目前美國研究所每年的教育費用為美金 $40,000，假設每年將上漲 4%。林先生為了支應這些費用，現在每年以 2% 利率存入定期存款 (共 4 期)，以複利計算；則林先生每年應存多少美金？

 例、分期付款年金利率之比較新車，現金售價 $120 萬：  甲公司－交車一個月後每個月月底應付 $73,178 (無頭期款)，共付一年六個月(18 期)。  乙公司－交車兩個月後每二個月月底應付 $132,198 (無頭期款)，共付 10 期。 甲或乙公司之分期付款對消費者較有利？ 甲公司： $1,200,000 = ($73,178)  PVIFAi,18，一個月利率 = 1% 有效年利率 = (1.01)12 - 1 = 12.68%。 乙公司： $1,200,000 = ($132,198)  PVIFAi,10，二個月利率 = 1.8% 有效年利率 = (1.018)6 - 1 = 11.30%。  乙公司利率較低，應選擇乙公司。

3、[非等額現金之報酬率] 張太太 5 年來每年年初買進 1 張 (每張 1,000 股) K 股票，買入的平均股價分別為 $50、$56、$48、$72、$64，如果張太太這 5 年來未曾收到股利，在第 5 年年底時，這些股票的平均股價為 $74 (共 5 張)，則其投資的年平均報酬率為多少？

 例、 [保險的報酬率] 30 歲要保人之壽險 $1,000,000 保額，每年年初需繳費 $12,368，20 年後期滿。  如果要保人繳滿保險金 5 年之後 (第 24 年底) 死亡，則其投保的「年平均報酬率」為多少？  以平均壽命 70 歲計算，忽略作業成本，則該保險公司推出該契約的成本 (百分比) 約為多少？ 0 1 2 3 ... 19 20 24 ├──┼──┼──┼──────┼──┼────┤ -12,638 -12,638 -12,638 -12,638 ... -12,638 0 1,000,000  FV = PMT  FVIFAi,20  (1+i)5， $1,000,000 = ($12,368)  FVIFAi,20  (1+i)5，  利用財務計算機得到 i = 9.17%。

(續前題) 0 1 2 3 ... 19 20 ... 38 39 ├──┼──┼──┼──────┼──┼────┼──┤ 0 1 2 3 ... 19 20 ... 38 39 ├──┼──┼──┼──────┼──┼────┼──┤ -12,638 -12,638 -12,638 -12,638 ... -12,638 0 ... 0 1,000,000  FV = PMT  FVIFAi,20  (1+i)20， $1,000,000 = $12,368  FVIFAi,20  (1+i)20，  利用財務計算機得到 i = 4.72%。