现代数学概览专题报告 数学与信息科学学院 现代数学概览 黄福生

目录 现代数学概览 当代数学的若干基础理论 1 现代数学学科发展趋势 2

第一篇 当代数学的若干基础理论 第一篇 当代数学的若干基础理论 在很长的历史时期里，人们把数学看做是关于现实世界数量关系与空间形式的经验，以及对经验的归纳、总结和抽象；而这些经验和在经验之上生成的理论则如实地反映世界。 直至19世纪罗巴契夫斯基几何建立，人们的数学观发生变化。籍借于逻辑，人们不仅研究那些已知其存在的关系与形式，而且研究可能存在的关系与形式。为此：人们寻求数学统一的理论基础。 　三个方面：无限集合论的创立；形式公理化思想的发展；结构主义数学观的产生。

第一篇 当代数学的若干基础理论 第一篇概要 第一篇主要介绍 一、集合论 二、公理化 三、结构主义

一、集合论 第一篇 当代数学的若干基础理论 1、康托集合论的建立 （1）无限观的两种表达形式： 潜无限和实无限 潜无限： 实无限： 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 一、集合论 1、康托集合论的建立 （1）无限观的两种表达形式： 潜无限和实无限 　　潜无限： 认为无限是不可被“达到”的。 正如我们无法“遍历”时空，无法“数尽”一条直线上的点，甚至无法“数尽”自然数序列，无限仅仅是一种永无终结的进程。 　　实无限： 主张无限可以被“实现” 无论我们能否“遍历”时空，能否“数尽”自然数序列或其他什么无限对象，它们作为一个固定的整体而确实存在着。

爱奥尼亚学派哲学；亚里斯多德；高斯；柯西 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 1、康托集合论的建立 （2）历史上知名数学家和哲学家的观点 潜无限： 爱奥尼亚学派哲学；亚里斯多德；高斯；柯西 实无限： 柏拉图；牛顿；莱布尼兹；黑格尔 芝诺对两种无限观的异议： 芝诺悖论

从1874到1897年，康托在发表系列论文，用同一标题：“关于无穷的线性点集”，建立了集合论的概念体系，创立了无限集合论。 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 1、康托集合论的建立 （3）康托以无限集合的形式给出实无限概念 从1874到1897年，康托在发表系列论文，用同一标题：“关于无穷的线性点集”，建立了集合论的概念体系，创立了无限集合论。 按无限集理论，康托用有理数的无限序列，最终完成了分析基础的精确化。

第一篇 当代数学的若干基础理论 续上 一、集合论 格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于Kummer、维尔斯特拉斯（Weierstrass，和Kronecker。1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。 康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。

（c）构造数学对象：（二元）关系，等价关系，等价类，商集，偏序，函数，映射…… 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 2、康托集合论的基本内容 （１）集合论方法 (a)集合的生成 康托：把在我们直观或思维中的某些确定的、彼此区别的对象作为一个整体来考虑，称之为集合，而称这些对象为该集合的元素。 （b）集合的运算---并、交、补 （c）构造数学对象：（二元）关系，等价关系，等价类，商集，偏序，函数，映射…… （d）表述逻辑关系 是 --- ， 或 --- ， 与 --- ， 非 --- 若 则 --- ，不存在 --- 等等。

第一篇 当代数学的若干基础理论 2、康托集合论的基本内容 (a)无限集的生成 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 2、康托集合论的基本内容 （2）实无限思想 (a)无限集的生成 康托认为：无限集的生成须经由元素按概括原则不断聚汇的过程，而这个过程可以籍助理性（理想化抽象）而完成，所有适合给定要求的元素组成一个确定的整体---无限集。

③（0,1）区间全体实数所成集合基数 （称为连续统基数）大于可数基数。 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 2、康托集合论的基本内容 （2）实无限思想 （b）基数理论 ①可数基数 是最小的基数。 ②可数个可数集的并集是可数集。 ③（0,1）区间全体实数所成集合基数 （称为连续统基数）大于可数基数。 ④任意集合A的幂集P(A)的基数大于A的基数（即不存在最大基数） ⑤ = （c）序数理论 连续统假设---- =

19世纪的最后几年和20世纪的头几年，康托、罗素相继提出关于集合论的悖论。 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 3、公理集合论简介 19世纪的最后几年和20世纪的头几年，康托、罗素相继提出关于集合论的悖论。 　　康托悖论：一方面，没有一个集合的基数能比“一切集合的集合”的基数更大；另一方面，又已证明结论“不存在最大基数” 罗素悖论：全体集合按是否属于自身分为A,B两个集合，A是属于自身的集合生成的子集，B是不属于自身的集合生成的子集。则B是属于A呢还是属于B呢？(理发师的故事） 　　策梅洛和费兰克尔： “一切集合的集合”这样的含糊不清的概念导致悖论。

集合论的ZF(策梅洛和费兰克尔)公理体系包括： 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 3、公理集合论简介 集合论的ZF(策梅洛和费兰克尔)公理体系包括： 1.外延公理 2.空集存在公理 3.并集公理 4.幂集公理 5.无限集存在公理 6.代换公理

集合论ZFC公理体系（ ZF公理+选择公理）： 第一篇 当代数学的若干基础理论 一、集合论 3、公理集合论简介 集合论ZFC公理体系（ ZF公理+选择公理）： 1.外延公理 2.空集存在公理 3.并集公理 4.幂集公理 5.无限集存在公理 6.代换公理 7.选择公理

二、公理化 第一篇 当代数学的若干基础理论 1、公理系统的概念及要求 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 二、公理化 1、公理系统的概念及要求 概念：某一学科的基本概念和公理逻辑地组织为一个系统，称之为某一学科或某一理论的公理系统。 要求： 1、相容性（相互间无矛盾） 2、独立性（最简单,互不推出） 3、完备性（能推出所有结论） 如何建立某一学科或某一理论的公理体系，即如何引进若干基本概念和确立一组公理，经历了漫长的历史过程，这也就是公理化思想和方法的发展过程。

公元前300年左右古希腊---欧几里得《原本》 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 2、实质公理化 公理化思想和方法的最早产生： 公元前300年左右古希腊---欧几里得《原本》 欧几里得《原本》包括： 23个基本概念 5个公设 5个公理 欧几里得区分公理与公设的原则至今不明。 欧几里得几何公理的特点： 以经验为基础，以数学实体及关系为对象，以诉诸直觉为方法，而具有实质意义。

19世纪初，罗巴契夫斯基和鲍埃（匈牙利）几乎同时建立了一种区别于传统欧氏几何的几何学，称此为罗巴契夫斯基几何，又称为双曲几何。 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3、形式公理化 （1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 19世纪初，罗巴契夫斯基和鲍埃（匈牙利）几乎同时建立了一种区别于传统欧氏几何的几何学，称此为罗巴契夫斯基几何，又称为双曲几何。 罗巴契夫斯基几何不仅逻辑上无矛盾，而且具有确定的物理意义，反映了现实空间的性质，这一点在爱因斯坦的广义相对论中得到证实。 罗巴契夫斯基几何的建立从根本上改变了人们关于几何的观念。

第一篇 当代数学的若干基础理论 2什么是代数 二、公理化 罗巴切夫斯基是俄国伟大的数学家。1792年12月1日生于下诺伏哥罗德（今高尔基市），1856年12月24日卒于喀山。1807年入喀山大学，1811年获硕士学位。毕业后留校任职，历任教授助理、非常任教授、常任教授、物理数学系主任、校长等职。1846年以后任喀山学区副督学。 　　罗巴切夫斯基与雅诺什及高斯等人彼此独立地创立了一种非欧几何，即罗巴切夫斯基几何学。对几何学和整个数学的发展都起了巨大的作用。 罗氏几何的创立没有立即引起重视，直到他去世后12年意大利数学家贝尔特拉米证明了在欧氏空间的伪球面上有着片断罗巴切夫斯基于面的几何学，这样罗氏几何在欧氏空间的曲面上才得到解释，并在数学上得到确认。

黎曼-德国数学家，物理学家 。1826年9月17日生于汉诺威布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加。 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 黎曼-德国数学家，物理学家 。1826年9月17日生于汉诺威布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加。 对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。

欧几里得第5公设：若两直线与第三条直线相交，而其一侧的两个内角之和小于两个直角之和，则把这两条直线向该侧充分延长后必定相交。 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3、形式公理化 （1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 （Ⅰ）关于欧氏几何公理体系平行公设（第5公设）的讨论 欧几里得第5公设：若两直线与第三条直线相交，而其一侧的两个内角之和小于两个直角之和，则把这两条直线向该侧充分延长后必定相交。 数学家试图从其他公理和公设推出这一公设，均失败。得到了一批与第5公设等价的命题。 其中最有名的是普洛菲尔（苏格拉人）得到的： 过已知直线外一点能且仅能引一条直线平行于已知直线。

第一篇 当代数学的若干基础理论 3、形式公理化 （1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 二、公理化 （Ⅱ）罗巴契夫斯基几何的建立 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3、形式公理化 （1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 （Ⅱ）罗巴契夫斯基几何的建立 ★1826年，罗巴契夫斯基首次对欧几里得几何第5公设的“真实性”表示异议。他认为：既不可能证明第5公设，也无理由认为第5公设关于平行关系的断言是绝对精确的。 ★罗巴契夫斯基假设：过已知直线外一点至少可引两条直线与已知直线不相交。 ★罗巴契夫斯基在论文《关于平行线理论的几何研究》中，以上述假设代替第5公设，获得系列定理，而形成一种完全异于欧氏几何的、逻辑上无矛盾且内容丰富的几何理论-----罗巴契夫斯基几何

第一篇 当代数学的若干基础理论 3、形式公理化 （1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 罗巴契夫斯基几何的若干基本定理： 二、公理化 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3、形式公理化 （1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 （Ⅱ）罗巴契夫斯基几何的建立 罗巴契夫斯基几何的若干基本定理： ★平面P上两不相交直线与第三条直线都相交，生成的同位角可以不等。 ★三角形内角和小于两个直角。 ★过平面P上已知直线a外一点A,可以引无穷多条直线与已知直线不相交。

第一篇 当代数学的若干基础理论 3、形式公理化 （1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 二、公理化 （Ⅲ）罗巴契夫斯基几何的相对相容性 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3、形式公理化 （1）罗巴契夫斯基（俄国）几何的建立 （Ⅲ）罗巴契夫斯基几何的相对相容性 ★罗巴契夫斯基几何如此有悖于直觉，虽然已作的讨论未见矛盾，但无法推知进一步的展开中是否会出现矛盾。罗巴契夫斯基作了大量天文观测和计算，希望在以天文尺度度量的空间中证实自己的理论比欧式几何更精确，但未如愿。 ★1868年，Beltrami（意大利）开始考虑罗巴契夫斯基几何公理系统关于欧式几何公理系统的相对相容性。首先在欧式几何的伪球面上建立了罗巴契夫斯基几何的局部模型 ★1870年，F.Klein(德国）在通常的欧式平面上建立了罗巴契夫斯基几何整体的模型。 ★此后不久，J.Poincare（法国）又给出罗巴契夫斯基几何的另一个著名模型。

第一篇 当代数学的若干基础理论 3、形式公理化 （2）形式公理化的历程 （Ⅰ）希尔伯特的工作 二、公理化 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3、形式公理化 （2）形式公理化的历程 （Ⅰ）希尔伯特的工作 希尔伯特改善欧式几何公理体系的工作，则在真正意义上创立了形式公理化方法。 希尔伯特观点：基本概念是无法定义的，但它们具有确定的数学意义；而公理则是对基本概念本质内涵的限定和确认。 希尔伯特改善欧式几何公理体系的工作主要包括： ①首先给出不予定义的基本概念：点；线；面；在…之上；在…之间；重合。 ②然后建立了5组共20条公理

第一组8条公理被称为结合公理，是关于“在……之上”的存在性公理： 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 第一组8条公理被称为结合公理，是关于“在……之上”的存在性公理： 1.对任意两点A、B，有一条直线a存在，使A、B在a上。 2.对任意两点A、B，仅有一条直线a存在，使A、B在a上。 3.在任一条直线a上至少存在两个点；又至少存在三个点，它们不在同一直线上。 4.对任一不在同一直线上的三点A、B、C，有一个平面存在，使A、B、C在平面上。 5.对任一不在同一直线上的三点A、B、C，仅有一个平面存在，使A、B、C在平面上。

第一组8条公理被称为结合公理，是关于“在……之上”的存在性公理： 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 第一组8条公理被称为结合公理，是关于“在……之上”的存在性公理： 6.在任一平面上至少存在三个点；又至少存在四个点，它们不在同一平面上。 7.若一直线上的两个点在某平面上，则该直线的点都在该平面上。 8. 若两平面有一个公共点，则它们至少还有一个公共点。

第二组4条公理被称为顺序公理，是关于“在……之间”，即关于点和线的相对顺序的公理： 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 第二组4条公理被称为顺序公理，是关于“在……之间”，即关于点和线的相对顺序的公理： 1.若A、B、C是直线a上三个点，且B在A与C之间，则B也在C与A之间。 2. 对直线a上任意两点A、C，在a上至少存在一点B，使B在A与C之间。 3.直线上任意三点中，至多只有一点在其余两点之间。 4（在给出“线段”、“线段内部的点”和“线段的端点”的定义之后），A、B、C是不在同一直线上的任意三点，a是A、B、C所在平面上的一条直线，若a过线段AB内部的点，则a还过线段AC或线段BC内部的点。（Pasch公理）

第三组5条公理是关于移动和重合的规定，被称为移动公理或合同公理，用记号“≡”表示重合关系： 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 第三组5条公理是关于移动和重合的规定，被称为移动公理或合同公理，用记号“≡”表示重合关系： （在给出“线段在某一线段内部”、“直线上两点在某一点的同侧、异侧”、“射线（半直线）及其原点”、“平面上两点在某一直线的同侧、异侧”、“空间中两点在某一平面的同侧、异侧”、“角、角的边与顶点”、“角的内部”等定义后） 1.若A、B是直线a上两个点，C是a上（或另一直线b上）一点，则在直线a上（或b上）C的指定一侧，有且仅有一点D，使线段AB≡CD。 2. 若AB≡CD 且 AB≡EF， 则 EF≡CD 。

第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3.若AB和BC是直线a上无公共内部点的线段，MN和NL是直线a或另一直线b上无公共内部点的线段，AB≡MN，BC≡NL，则AC≡ML 。 4.设∠（h，k）在平面α上，给定平面α或另一平面β上的直线b，并指定其一侧，f是b上以O为原点的射线，则在平面β上以O为原点有且仅有一条射线g，使∠（f，g）≡∠（h，k），且 ∠（f，g）内部的点在直线b指定的一侧；又∠（k，h）≡ ∠（h，k）。 5.设点A、B、C不共线，点E、F、G也不共线，若AB≡EF， AC≡EG且∠BAC≡∠FEG，则∠ABC≡∠EFG ，∠ACB≡∠EGF。

第四组2条公理被称为连续公理，分别规定直线应具备阿基米德性和连续性： 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 第四组2条公理被称为连续公理，分别规定直线应具备阿基米德性和连续性： 1.设AB、CD是任意两条线段，则在直线AB上存在有限个点 ，使线段 都与CD重合，且使点B在A和 之间。 2. 设 是直线a上线段的无穷序列，每一条线段都在前一条线段的内部，且不存在这样的线段，它在所有上述线段的内部，则直线a上有且仅有一个点在所有上述线段的内部。

第五组1条公理即平行公理，采用普莱费尔的命题形式： 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 第五组1条公理即平行公理，采用普莱费尔的命题形式： 设a是任意直线，A是不在直线a上的任意一点，则在a和A所在的平面，有且仅有一条直线经过A且与a不相交。

第一篇 当代数学的若干基础理论 2什么是代数 二、公理化 大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862年1月23日—1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国哥廷根逝世。他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家。希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献。他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一。 希尔伯特热忱地支持康托的集合论与无限数。他在数学上的领导地位充分体现于：1900年，在巴黎举行的第2届国际数学家大会上，38岁的大卫·希尔伯特作了题为《数学问题》的著名讲演，提出了新世纪所面临的23个问题。这23个问题涉及了现代数学的大部分重要领域，著名的哥德巴赫猜想就是第8个问题中的一部分。对这些问题的研究，有力地推动了20世纪各个数学分支的发展.

第一篇 当代数学的若干基础理论 3、形式公理化 （2）形式公理化的历程 （Ⅱ）欧氏几何公理体系的相容性问题 二、公理化 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3、形式公理化 （2）形式公理化的历程 （Ⅱ）欧氏几何公理体系的相容性问题 ①希尔伯特首先证明了欧式几何公理体系关于实数系统的相对相容性。 ②希尔伯特还分别构造了满足他的5组公理中的任意4组而不满足另一组公理的模型，证明了这样的系统的相容性，也证明了每一组公理的独立性。 ③平行公理的独立性正表明了非欧几何的可能性。 ④由于实数系统是自然数算术系统的扩充，因此欧式几何系统的相容性取决于算术系统是否相容。 ⑤由于用集合论的概念和方法可给出自然数及其运算，因此算术系统是否相容取决于集合论的相容性（而集合论的相容性问题至今未有最终的解决）。

第一篇 当代数学的若干基础理论 3、形式公理化 （2）形式公理化的历程 （Ⅲ）哥德尔不完备性定理及其意义 二、公理化 第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 3、形式公理化 （2）形式公理化的历程 （Ⅲ）哥德尔不完备性定理及其意义 ①1931年，奥地利数学家哥德尔给出关于形式系统的不完备性定理，证明了：任何形式系统中不可判定命题的存在性。 ②哥德尔不完备性定理表明，形式系统不足以证明所有在系统中可以作出的判断。这就要求重新考虑什么是公理系统的完备性。 ③20世纪初，数学的许多分支相继实现公理化，从而建立了严格的逻辑基础而实现了自身的严密化，而获得了巨大的发展。 ④任何公理化都无法取代实践而作为数学的基础，恰恰相反，实践是公理化的基础。公理系统的相容性最终有赖于实践检验。 ⑤实践在发展，认识在发展，数学公理化的内容、思想和方法也必定将发展，人类将继续走下去。

第一篇 当代数学的若干基础理论 二、公理化 库尔特·哥德尔（Kurt Godel）（1906年4月28日—1978年1月14日）是位数学家、逻辑学家和哲学家。其最杰出的贡献是哥德尔不完全性定理和连续统假设的相对协调性证明。生于捷克的布尔诺，卒于美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读修读理论理、基础数学，后来又转研数理逻辑、集合论。哥德尔是个要求严格的人。因此，他很多的想法在生前都没有正式发表甚至记录，要逝世后从其手稿找出。 在普林斯顿时，哥德尔和爱因斯坦成了很好的朋友。后人常将他们比较。哥德尔和爱因斯坦都在自己的范畴有极为重大的贡献，很聪明，有好奇心，直率。但爱因斯坦性格开朗外向，这点和哥德尔大相迳庭。爱因斯坦的死对哥德尔的情绪有很大打击。

三、结构主义 第一篇 当代数学的若干基础理论 1、数学结构主义的背景 三、结构主义 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 三、结构主义 1、数学结构主义的背景 ①20世纪40至60年代，法国布尔巴基学派的数学家们陆续推出了近40册的巨著《数学原理》。在这部著作中，布尔巴基学派提出“结构”概念。 ②布尔巴基学派认为：通常人们研究数学、学习数学，无非是考察对象的运算关系、次序关系和相互间的位置关系等，称这些关系为数学结构。 ③按布尔巴基学派的观点，传统意义下数学的各领域、各分支，可视为运用各自的语言研究某些具体对象的具体关系，即研究某个具体的数学结构。 ④布尔巴基学派用结构的观点和方法来看待数学、整理数学、研究数学，而建立了数学世界的一种新秩序。

第一篇 当代数学的若干基础理论 法国布尔巴基学派的传说 三、结构主义 第一篇 当代数学的若干基础理论 2什么是代数 三、结构主义 法国布尔巴基学派的传说 20世纪30年代后期，法国数学期刊上发表了若干数学论文，所论问题深刻，内容详尽，署名为尼古拉·布尔巴基。1939年出版了一本《数学原理》这是一套关于现代数学的综合性丛书的第一卷，作者也是尼古拉·布尔巴基。这逐渐引起人们的重视，到底谁是布尔巴基，数学界议论纷纷。没有一个寻找布尔巴基的人真正遇见过他，于是布尔巴基成了法国数学界的一个谜。关于“布尔巴基”曾经有过各种玩笑和传说，但布尔巴基实际上是一批年轻的法国数学家，这已经是众所周知的了。无论是布尔巴基这个名字还是他的存在都无关紧要，重要的是他做了什么？他造成了什么影响？而这是实实在在的。

第一篇 当代数学的若干基础理论 法国布尔巴基学派的传说 三、结构主义 第一篇 当代数学的若干基础理论 2什么是代数 三、结构主义 法国布尔巴基学派的传说 布尔巴基学派是一个对现代数学有着极大影响的数学家的集体。其中大部分是法国数学家，主要的代表人物是魏伊、迪多涅、嘉当、薛华荔，等人。他们的活动从20世纪30年代中期开始，曾先后在数学杂志上发表过一些文章，但主要工作是致力于编写多卷集的《数学原理》。这一著作对现代数学产生了不可忽视的作用。布尔巴基学派对数学的主要影响在于他们首先引进了数学结构的概念，并用这个概念来统一数学。数学结构主要是一些对象的集合，对这些对象并没有预先指定其特征，而是着重考虑他们之间的关系。正是这个体系，构成了现代数学的核心。布尔巴基的结构主义观点，在50—60年代盛极一时，在中学教材改革中曾经奉为经典。但是布尔巴基学派认为数学只是研究结构的科学，因此只对抽象的数学结构感兴趣而对对象本身究竟是数、是形、是函数还是运算并不关心，因此70年代以来，结构主义观点开始走下坡路了。

数学结构概念：在非空抽象集合上定义了适合一组公理的抽象关系，称这个集合连同定义于其上的关系为一个（抽象的）数学结构。 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 1、数学结构主义的背景 数学结构概念：在非空抽象集合上定义了适合一组公理的抽象关系，称这个集合连同定义于其上的关系为一个（抽象的）数学结构。 数学结构主义产生的必然性：19世纪至20世纪初，数学迅速发展，新的学科、新的分支不断出现。如函数空间、李群等概念，兼具代数、几何或分析的特征与性质，对此，以往把数学分为算术、代数、几何、分析等领域的学科分类方法已无法适应，并导致对有关对象的深入研究与合理表述的困难。因此，需要有一个新的概念来统一数学。

第一篇 当代数学的若干基础理论 1、数学结构主义的背景 数学结构主义产生的理论支撑： ①康托的集合理论。 ②希尔伯特的公理化方法。 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 1、数学结构主义的背景 数学结构主义产生的理论支撑： ①康托的集合理论。 ②希尔伯特的公理化方法。 许多抽象数学结构事实的出现： 1824年E.Galois（法国）提出群和域；19世纪末抽象群论建立；1910年左右抽象域论基础形成；1843年Hamilton（英国）发现四元数；1914年一般拓扑学的公理化初步完成；20世纪30年代，泛函分析已成为一门独立的学科。等等……

第一篇 当代数学的若干基础理论 2、数学结构的类型 Ⅰ、代数结构 Ⅱ、序结构 Ⅲ、拓扑结构 Ⅳ、测度结构 Ⅴ、多重结构、复合结构 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 2、数学结构的类型 Ⅰ、代数结构 Ⅱ、序结构 Ⅲ、拓扑结构 Ⅳ、测度结构 Ⅴ、多重结构、复合结构

含义：在非空集合S上定义一个或几个（二元）运算，满足一组公理，则称这个集合连同定义于其上的运算为一个代数结构。 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 2、数学结构的类型 Ⅰ、代数结构 含义：在非空集合S上定义一个或几个（二元）运算，满足一组公理，则称这个集合连同定义于其上的运算为一个代数结构。 常见类型：群、环、域……

含义：在非空集合S上定义一个序关系﹤，则称序对 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 2、数学结构的类型 Ⅱ、序结构 含义：在非空集合S上定义一个序关系﹤，则称序对 （ S，﹤）为一个序集。并按序关系﹤是全序或半序分别称序集（ S，﹤）为全序集（线性序集）或半序集（偏序集）。 常见类型：自然数集、整数集、格……

第一篇 当代数学的若干基础理论 2、数学结构的类型 Ⅲ、拓扑结构 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 2、数学结构的类型 Ⅲ、拓扑结构 含义：数学中某些数量关系（如距离、极限、连续性等）仅与对象的位置关系或包含关系相关，考察这样一些关系导致“位置几何学”的产生，称这门学科为拓扑学（topology音译）。准确地说，应是一般拓扑学或点集拓扑学。 常见类型：度量空间、拓扑空间……

含义：在 中，讨论一般点集的“体积”的计算，便产生了可测集和测度的概念。 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 2、数学结构的类型 Ⅳ、测度结构 含义：在 中，讨论一般点集的“体积”的计算，便产生了可测集和测度的概念。 常见类型：Lebesgue测度、测度空间……

多重结构：在一个集合上同时定义两种或两种以上结构，这些结构具有一定的关系，彼此相容，就得到一个多重结构。 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 2、数学结构的类型 Ⅴ、多重结构、复合结构 多重结构：在一个集合上同时定义两种或两种以上结构，这些结构具有一定的关系，彼此相容，就得到一个多重结构。 如：序群，偏序环等。 复合结构：两个或两个以上结构通过映射、运算等关系复合在一起，各结构保持自身的独立性，而结构的复合则满足一组公理，就得到一个复合结构。 如：线性空间、模等。

第一篇 当代数学的若干基础理论 3、布尔巴基学派的兴衰 三、结构主义 第一篇 当代数学的若干基础理论 三、结构主义 3、布尔巴基学派的兴衰 Ⅰ、布尔巴基学派运用结构方法阐释数学，揭示了数学内部的某些规律与联系，充实了数学的理论基础，据此将以往的数学组织为一个统一的整体，并建立了许多新的数学理论。 Ⅱ、但结构方法毕竟只是数学的一种方法，它立足于数学内部，着眼于逻辑演绎，因此不可避免地与数学的外部环境距离较远，无法就数学与自然和社会的关系及联系、就数学的技术意义与应用价值作出令人满意的解释。 Ⅲ、结构方法已难以适应数学新的发展，1968年，布尔巴基学派宣布终止活动。

第二篇 现代数学学科发展趋势概要 第二篇 现代数学学科发展趋势 第二篇 概 要 一、综述 二、数学学科发展现状和趋势 三、数学学科简介

一、综述 第二篇 现代数学学科发展趋势 1、数学的地位： 整个科学技术的基础。 一、综述 第二篇 现代数学学科发展趋势 一、综述 一、综述 1、数学的地位： 整个科学技术的基础。 ①数学物理、数学化学、生物数学、数理经济学、数理地质学、数理语言学、数值天气预报、数学考古……，一系列边缘学科的涌现。 ②拉东（Radon)变换应用于CT扫描；小波分析应用于通讯技术；工业数学的兴起……，数学在越来越直接地为人类生活与物资生产作出贡献。 ③数学科学，已成为推进人类文明的不可或缺的重要因素。

第二篇 现代数学学科发展趋势 2、现代数学的研究内容： 一切可能的数量关系与空间形式。 一、综述 第二篇 现代数学学科发展趋势 一、综述 2、现代数学的研究内容： 一切可能的数量关系与空间形式。 ①数学早已不再仅仅是数论、代数、几何与分析等经典分支的集合，而成为领域越来越宽广的学科族。 ②现代数学活动的三大方面：数学核心领域（即核心数学）的扩展、数学的广泛应用、计算机与数学的相互影响。 ③数学科学，在更广的意义上，已被看作是关于“模式”的科学，也就是说，它寻求尽可能简单的、适用的模式，以揭示和描述现实世界或数学自身的抽象世界所具有的各种结构。

核心数学所创造的许多高度抽象的语言、结构及理论，不仅已成为数学内部联系、统一各分支的纽带，而且被反复证实是其他科学技术领域中普遍适用的工具。 第二篇 现代数学学科发展趋势 一、综述 3、现代数学的特征： ①数学的核心部分高度抽象化。 核心数学所创造的许多高度抽象的语言、结构及理论，不仅已成为数学内部联系、统一各分支的纽带，而且被反复证实是其他科学技术领域中普遍适用的工具。 ②数学与计算机的相互影响。 计算机本身是抽象数学成果应用的最光辉的例证之一。可以说，没有哥德尔(Godel)、图灵(Turing)等人对数理逻辑的基本研究，就没有现代的程序储存计算机。反过来，计算机日益成为数学研究本身的崭新手段，它不仅极大地扩展了数学的应用范围与能力，而且通过科学计算、数值模拟与图像显示等改变着理论数学研究的面貌。

二、数学学科发展现状和趋势 第二篇 现代数学学科发展趋势 1、纯粹数学 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 二、数学学科发展现状和趋势 1、纯粹数学 ①在过去的一个世纪里，纯粹数学经历了一系列激动人心的发展，19世纪以来积累的一些重大问题有许多已获解决或是取得了重要进展。 ②20世纪标志性成果： 连续统假设的科恩证明； 有限单群完全分类的完成； 阿蒂亚-辛格（Atiyah-Singer)指标定理的建立； 费尔马(Fermat)大定理的最终证明。 这些辉煌的智力成果不断地使科学界震惊，反映了数学中最抽象的核心部门充满着生机与活力。

第二篇 现代数学学科发展趋势 1、纯粹数学 ③研究特点： 对高维、多变量以及非线性数学、大范围数学等的日益重视。 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 1、纯粹数学 ③研究特点： 对高维、多变量以及非线性数学、大范围数学等的日益重视。 对离散型结构与随机化模型给予更多的关注。 研究内容越来越分化、越来越专业化，使得不同领域的研究者往往难以沟通和理解。 不同学科相互渗透、结合，不同分支领域的数学思想与方法相互融合，导致了一系列重大发现，数学内部综合交叉学科不断兴起并成为人们研究的热点。

第二篇 现代数学学科发展趋势 2、应用数学 ①数学的应用大致经历了4个阶段 A、简单计算、定量描述、数学普遍语言的采用。 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 2、应用数学 ①数学的应用大致经历了4个阶段 A、简单计算、定量描述、数学普遍语言的采用。 B、数学分析与微分方程的广泛使用。 C、20世纪初，数学开始走在物理学等其他学科之前，进入相对独立的发展阶段。 D、20世纪60年代末、70年代初开始，形成数学与其他学科相互作用、相互促进的大一统趋势，相应地纯粹数学与应用数学的差异在缩小。更重要的是数学在向其他学科渗透的同时，日益起着统一、综合各种科学知识的作用。从某种意义上说，数学似乎成为科学发展的决定因素。

拓扑学（特别是扭结理论）已成为生物学中了解DNA结构的有效工具，拓扑不变量正在成为物理的量。 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 2、应用数学 ②数学的应用在新时代的特点 Ⅰ、纯粹数学的几乎所有的分支都获得应用。 拓扑学（特别是扭结理论）已成为生物学中了解DNA结构的有效工具，拓扑不变量正在成为物理的量。 数论方法在计算机科学、密码技术、卫星信号传输等许多方面发挥重要的甚至是关键的作用。 事实上，仅在理论物理中的应用而言，涉及的数学除了经典的分支与方法（如数学物理方程、富氏分析、无穷维空间论、群论、概率统计等），还包括了微分拓扑学、大范围分析、代数几何、李群与李代数、代数数论、非交换数学、非线性数学、计算数学等，几乎覆盖了核心数学的整个领域。

第二篇 现代数学学科发展趋势 2、应用数学 ②数学的应用在新时代的特点 Ⅱ、几乎所有的科技领域都在应用数学，并越来越多地应用更高深的数学 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 2、应用数学 ②数学的应用在新时代的特点 Ⅱ、几乎所有的科技领域都在应用数学，并越来越多地应用更高深的数学 数学在力学、物理学中的应用是经受了历史考验的。而当今数学的应用则早已突破这一传统的范围，正在向包括从粒子物理到生命科学、从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军。 除了自然科学，在经济学及其他过去认为不适用数学的社会学、历史学等社会科学领域内，数学方法也在崭露头角。 数学在向外渗透的过程中越来越多地与其他领域相结合而形成交叉学科。与数学相关的词大量出现在各门学科之前后，如“数学的”、“数理的”、“计量的”、“统计的”、“计算的”以及“……数学”、“……统计学”等等。

第二篇 现代数学学科发展趋势 2、应用数学 ②数学的应用在新时代的特点 Ⅲ、数学对生产技术的应用变得日益直接 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 2、应用数学 ②数学的应用在新时代的特点 Ⅲ、数学对生产技术的应用变得日益直接 以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器设计的有效工具，类似的数值模拟方法正被许多计算部门以替代耗资巨大的试验。 以调和分析为基础发展起来的小波分析直接应用于通讯与石油勘探等广泛的领域。 现代医学扫描技术（CT扫描，核磁共振成像等）主要也是建立在拉东积分理论的基础上。 现代大规模生产的管理决策、产品质量控制也密切依赖于数学中的线性规划算法和统计方法。

第二篇 现代数学学科发展趋势 2、应用数学 ②数学的应用在新时代的特点 Ⅳ、数学在学科发展中的份额及力度越来越加大 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 2、应用数学 ②数学的应用在新时代的特点 Ⅳ、数学在学科发展中的份额及力度越来越加大 数学是一种关键的、普遍适用的、并赋予人以能力的技术。 数学方法作为普遍适用的方法和技术，在21世纪将成为科学研究中重要的组成部分，成为许多领域的通用语言和工具。

第二篇 现代数学学科发展趋势 3、计算科学 ◆计算机是数学与工程技术结合的产物，而在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作用。 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 3、计算科学 ◆计算机是数学与工程技术结合的产物，而在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作用。 ◆通用计算机的概念最先是由数学家巴贝奇(Babbage)提出； ◆图灵从数学上证明了制造通用数字计算机的可能性； ◆冯.诺依曼的程序储存等思想至今仍是现代计算机的设计指南。

第二篇 现代数学学科发展趋势 3、计算科学 计算数学主要包括： 科学计算、计算机符号运算与机器证明 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 3、计算科学 计算数学主要包括： 科学计算、计算机符号运算与机器证明 Ⅰ、科学计算---即数值计算，是指应用计算机处理科学研究和工程技术中所遇到的数学计算。 科学计算已经同理论与实验共同构成当代科学研究的三大支柱。 当前一系列科学与工程领域的发展都依赖于计算机与计算方法（天气预报、航空航天等），这导致了大规模科学计算的迅猛发展。 科学计算的研究内容：计算方法的研究，科学可视化。

第二篇 现代数学学科发展趋势 3、计算科学 计算数学主要包括： 科学计算、计算机符号运算与机器证明 Ⅱ、计算机符号运算与机器证明 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 3、计算科学 计算数学主要包括： 科学计算、计算机符号运算与机器证明 Ⅱ、计算机符号运算与机器证明 正如算术发展为代数，数值代数也发展为计算机代数---用计算机进行符号运算，不仅包括代数运算，而且包括微积分、微分方程、微分几何等等。 这构成机器证明以及计算几何问题的基础，定理机器证明已经取得重要进展，并发展成为更普遍的数学机械化领域。

第二篇 现代数学学科发展趋势 4、统计学与运筹学 Ⅰ、统计学 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 4、统计学与运筹学 Ⅰ、统计学 统计学----是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。

第二篇 现代数学学科发展趋势 4、统计学与运筹学 统计学21世纪面临的挑战： 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 4、统计学与运筹学 统计学21世纪面临的挑战： ①大规模的信息处理所遇到的诸如信息压缩、特征检测、可靠性分析，以及数字、符号、图形乃至语言的加工等一系列问题，都要依靠统计方法与计算技术的结合来解决。 ②其他领域如生命科学、物理学、天体物理学、医学、计量经济学等，以及在遥感、环境监测、气象、医学、军事、人口控制、质量控制等方面不断提出的大量的统计难题，也都迫切需要引进新的统计概念、方法甚至理论体系。 ③生命科学是最富挑战的领域，如DNA结构分析、艾滋病流行病学、大范围生态模型乃至针灸机理等的探讨，都为新统计学的发展带来诱人的前景。

第二篇 现代数学学科发展趋势 4、统计学与运筹学 Ⅱ、运筹学 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 4、统计学与运筹学 Ⅱ、运筹学 ◆运筹学----是一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。 ◆运筹学本质上是数学寻优（最优化）的技术，从线性规划的单纯形法开始到最近的内点法等，一整套寻优算法已经发展起来，大型计算机更使某些复杂的多因素（有时多达百万）系统的最优化问题得以解决。 ◆运筹学未来将更加关注：离散最优化、随机规划、参数规划等

第二篇 现代数学学科发展趋势 5、数学教育 数学科学的发展与数学教育密切相关。 第二篇 现代数学学科发展趋势 二、数学学科发展现状和趋势 5、数学教育 数学科学的发展与数学教育密切相关。 数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，还有另一个训练全面、严密考虑科学系统的头脑的开发功能。 要搞好从小学到中学、大学以至研究生的数学教育的改革。

三、数学学科简介 第二篇 现代数学学科发展趋势 1、算术代数几何 三、数学学科简介 第二篇 现代数学学科发展趋势 三、数学学科简介 三、数学学科简介 1、算术代数几何 ◆寻求统一的方法研究代数几何与代数数论，形成了称之为“算术代数几何”的新学科。 ◆算术代数几何交织着代数几何、代数数论、代数拓扑、微分几何、调和分析、群表示论与微分方程等众多领域的方法与结果。 ◆辉煌成就：Deligne用Grothendieck理论证明高维韦伊(Weil)猜想；Drinfeld模理论被用于证明Langlands猜想；Wiles（英国）1994年证明了费尔马大定理。

第二篇 现代数学学科发展趋势 2、几何分析 3、无穷维拓扑、低维拓扑与微积分的变革 三、数学学科简介 第二篇 现代数学学科发展趋势 三、数学学科简介 2、几何分析 几何分析---把各种分析方法（特别是偏微分方程和非线性分析方法）与几何、拓扑方法结合起来，用以解决微分几何与微分拓扑中的重大问题。 标志成果：丘成桐用非线性偏微分方法，解决了卡勒几何中著名的Calabi猜想；唐纳森(Donaldson)理论的发展—用于解决四维流形拓扑分类。 3、无穷维拓扑、低维拓扑与微积分的变革

第二篇 现代数学学科发展趋势 4、动力系统 5、概率论 6、随机微分几何与无穷维随机分析 三、数学学科简介 第二篇 现代数学学科发展趋势 三、数学学科简介 4、动力系统 动力系统---是一门有关系统演化规律的数学学科，源于微分方程的定性论，就是不通过解析地求解而直接几何地研究微分方程的解的性质，尤其是当时间趋于无穷时解的极限性质。 5、概率论 6、随机微分几何与无穷维随机分析

第二篇 现代数学学科发展趋势 7、离散应用数学 8、数学物理 三、数学学科简介 第二篇 现代数学学科发展趋势 三、数学学科简介 7、离散应用数学 离散应用数学 ---是指那些以离散的代数、几何与组合结构为研究对象并有实际应用前景的那些数学分支。 主要包括：组合数学与图论、现代数论与算术几何、代数学、离散动力系统、离散规划、离散控制和优化、算法理论和计算复杂性理论、离散的随机统计模型。 8、数学物理

第二篇 现代数学学科发展趋势 9、生物数学 10、经济数学和金融数学 三、数学学科简介 第二篇 现代数学学科发展趋势 三、数学学科简介 9、生物数学 生物数学（数理生物学） ---是一门交叉学科，主要涉及数学在生物科学各个领域的应用。 主要包括四个大分支：统计生物学；群体动力学、群体遗传学；拉东变换。 10、经济数学和金融数学 经济数学---经济学中所用到的数学，也称数理经济学。 金融数学---是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融学内在规律并用于指导实践。

第二篇 现代数学学科发展趋势 11、工业数学 12、机械化数学（机器证明） 13、科学计算（数值计算） 14、有限元算法 15、统计学 第二篇 现代数学学科发展趋势 三、数学学科简介 11、工业数学 12、机械化数学（机器证明） 13、科学计算（数值计算） 14、有限元算法 15、统计学 16、离散最优化

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