《解析几何》 乐山师范学院 绪 论

绪论 “解析几何”又名“坐标几何”,是几何学的一个分支。 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，它的基本方法是坐标法。即通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线。 它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。 前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。后一部分除研究平面、直线的有关性质外，主要研究二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面等）的有关性质。

绪论 一、解析几何发展简史 二、本课程的主要内容及基本要求 三、主要参考书 四、学习要求 五、考核方式及成绩评定

一、解析几何发展简史 1、解析几何产生的实际背景和数学条件 2、解析几何的创立 3、解析几何创立的意义 4、解析几何的发展和完善 5、解析几何的进一步发展

1．解析几何产生的实际背景和数学条件 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。 解析几何产生数学自身的条件： 一、几何学已出现解决问题的乏力状态； 二、代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度.

解析几何产生的实际背景 　 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。

解析几何产生的数学条件(一) 解析几何产生前的几何学 平面几何，立体几何（欧几里得的《几何原本》） 圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》） 特点：静态的几何, 既不把曲线看成是一种动点的轨迹,更没有给它以一般的表示方法. 几何学出现解决问题的乏力状态 16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．

解析几何产生的数学条件(二) 16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件． 1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用． Back

2．解析几何的创立 17世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650)和费尔玛（fermat，1601-1665）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2．解析几何的创立 1637年，笛卡尔发表哲学著作《更好地指导和寻求真理的方法论》（简称《方法论》），《几何学》作为其附录之一发表. 笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何． 笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线。

2．解析几何的创立 费尔玛是一位业余数学家，但他的数学成就在17世纪数学史上非常突出，为微积分、概率论和数论的创立和发展都作出了最重要的贡献。 早在笛卡尔的《几何学》发表以前，费尔玛已经用解析几何 的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充． 他通过引进坐标，以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的语言——方程，从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质． 费尔玛所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同，它是斜坐标，而且也没有y 轴． Back

笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。 3．解析几何创立的意义 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。 解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。 恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。” Back

4．解析几何的发展和完善 牛顿对二次和三次曲线理论进行了系统的研究，特别是，得到了关于“直径”的一般理论。 欧拉讨论了坐标轴的平移和旋转，对平面曲线作了分类。 拉格朗日把力、速度、加速度“算术化”，发展成“向量”的概念，成为解析几何的重要工具。 18世纪的前半期，克雷洛和拉盖尔将平面解析几何推广到空间，建立了空间解析几何。 Back

5．解析几何的进一步发展 解析几何已经发展得相当完备，但这并不意味着解析几何的活力已结束。经典的解析几何在向近代数学的多个方向延伸。例如： n 维空间的解析几何学，无穷维空间的解析几何（希尔伯特空间几何学） 20世纪以来迅速发展起来的两个新的宽广的数学分支——泛函分析和代数几何，也都是古典解析几何的直接延续。 微分几何的内容在很大程度上吸收了解析几何的成果。

关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或上网查阅 查关的内容，网址： www.0-100.com.cn/2/22/07/0641.htm Back

二、本课程的主要内容及基本要求 本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步学习空间向量和空间解析几何。主要内容有： 本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：　　 　　第一章　向量与坐标 　　第二章　轨迹与方程 　　第三章　平面与空间直线 　　第四章　柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 　　第五章　二次曲线的一般理论 在本课程中，向量这一有力工具得到充分的利用。

二、本课程的主要内容及基本要求 解析几何是高等师范院校数学专业一门必修的基础课.通 过本课程的学习达到以下基本要求： 掌握解析几何的基本知识和基本理论，善于运用坐标和向量 为工具，把几何问题转化为代数方程以达到解决几何问题的目 的. 培养用形数结合的方法来解决问题的能力； 熟练地掌握一些几何图形的性质及其标准方程，熟练地进行 某些几何量的计算； 会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高空间 想象能力。 Back

三、主要参考书 Back 1.宋卫东.解析几何.北京：高等教育出版社，2003.7 2.杨文茂， 李全英编著.空间解析几何.武汉：武汉大学出版社，2003 3.朱鼎勋，陈绍菱.空间解析几何学.北京:北京师范大学出版社，1984 4.陈鹗.解析几何讲义.北京:高等教育出版社，1983 5.朱德祥，朱纸宗.新编解析几何学.重庆:西南师范大学出版社，1989 6.南开大学数学系编.空间解析几何引论.北京:人民教育出版社，1978 7.方德植.解析几何.北京:高等教育出版社，1986 Back

四、学习要求 １、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内容的理解. Back

五、考核方式及成绩评定 考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30% 　　　　　+期末考试成绩×70%

《解析几何》 乐山师范学院 第一章 向量与坐标

主要内容 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 向量的概念 向量在轴上的射影 向量的加减法 向量的数量积 数量乘向量 向量的向量积 向量的线性关系与分解 4 三向量的混合积 9 标架与坐标 5 三向量双重向量积 10

《解析几何》 乐山师范学院 §1　向量的概念

授课内容 一、向量的概念 二、几种特殊的向量

一、向量的概念 1.向量 2.数量(标量) 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢. 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢. 2.数量(标量) 数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量.

一、向量的概念 3.向量的几何表示 4.向量的模 用有向线段表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 的 始点与终点. 用有向线段表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 的 始点与终点. 有向线段的长度表示向量的大小， 有向线段的方向表示向量的方向. 4.向量的模 向量的大小叫做向量的模，也称向量的长度.记做 . 注：向量之间不可比较大小,但是它们的模可以比较大小. Back

二、几种特殊的向量 1.单位向量 2.零向量 3.相等向量 单位向量就是模为1的向量. （单位向量不惟一） 模为0的向量叫做零向量.记做 .它是起点和终点重合的向量. 3.相等向量 定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量,所有的零向量都相等.向量 与 相等，记为 .

二、几种特殊的向量 4.自由向量 5.相反向量 两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方向决定， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 称为自由向量. 自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量. 5.相反向量 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量. 的反向量记为 与 互为反向量

二、几种特殊的向量 6.共线向量 7.共面向量 定义1.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做共线向量. 零向量与任何共线的向量组共线. 定义1.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做共线向量. 零向量与任何共线的向量组共线. 7.共面向量 定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.零向量与任何共面的向量组共面. 注：1.一组共线向量未必在一条直线上； 一组共面向量也未必在一个平面上. 2.一组共线向量一定是共面向量. 3.两个向量一定是共面向量.

1.1向量的概念(小结) 二、几种特殊的向量 一、向量的概念 1.单位向量 1.向量 2.零向量 2.数量 3.相等向量 3.向量的大小 向量的方向 4.自由向量 5.相反向量 4.向量的模 6.共线向量 7.共面向量

作业： pp.3-4 2, 4, 5