第七章 多元函数微积分

前面几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数 前面几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法和积分法.主要讨论二元的情况.

第一节 空间解析几何基础知识

一、空间直角坐标系 1、坐标系的建立 竖轴 在空间中取定一点O， 定点 纵轴 过O点作三条相互垂直的数轴Ox, Oy, Oz, 横轴 各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系。 称O为坐标原点， 称数轴Ox, Oy, Oz为坐标轴， 称由两 坐标轴确定的平面为坐标平面，简称xy, yz, xz 平面.

一、空间直角坐标系 1、坐标系的建立 即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指 从 x 轴正向以 角 度转向 y 轴正向时， 竖轴 1、坐标系的建立 三个坐标轴的正方向符合右手系. 定点 纵轴 即以右手握住 z 轴， 横轴 当右手的四个手指 空间直角坐标系 从 x 轴正向以 角 度转向 y 轴正向时， 大拇指的指向就是 z 轴的正向.

Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限

空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 一个分量为零: 点在坐标面上. 两个分量为零: 点在坐标轴上.

2、简单的几何问题 1º 两点间的距离 为空间两点, 两点间的距离公式： z R2 R R1 M2 M1 Q P N Q2 Q1 y P1 O x y z R Q R1 R2 P2 P1 Q1 Q2 M2 M1 N 为空间两点, 两点间的距离公式：

在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点. 例1 解 设该点为M(0, 0, z) , 由题设 |MA| = |MB| , 即 即所求点为 解得

2º 球面方程 M0 M R 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为

例2 解 即 因此，球心为(1,-2,3)，半径为R = 4.

二、曲面及其方程 定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系: o (1) S上任一点的坐标都满足方程F (x, y, z) =0; (2)坐标满足方程F (x, y, z) =0的点都在S上; 那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .

例3 解 根据题意有 化简得所求方程

三、常见的空间曲面 1º 平面 平面的一般方程: 其中 A,B,C 不全为零. 例如： (0,1,0)

三、常见的空间曲面 1º 平面 平面的一般方程: 其中 A,B,C 不全为零. 例如： z (0,0,2) o y (0,2,0) x (2,0,0) x z (0,2,0) (0,0,2)

2º 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 播放

在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原点O为圆心, 半径为R的圆. z o o 曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面. l

画出下列柱面的图形: 平面 抛物柱面

方程F (x, y) = 0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy 面上的曲线 类似: 方程F (x, z) =0 表示: 母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 , y = 0 . 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 , x = 0 .

例4 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ 斜率为1的直线

3º 二次曲面 三元二次方程 所表示的曲面称为二次曲面， 二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标准形式.

(1) 椭球面 z x y O 用坐标面z = 0 , x = 0和y = 0去截割,分别得椭圆

椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 球面 球面方程可写为

(2) 单叶双曲面 (3) 双叶双曲面 x y o z x y o

(4) 椭圆锥面 特殊情况： --圆锥面.

(3) 椭圆锥面 特殊情况： --圆锥面. 若方程为 则图形如右图

(5) 椭圆抛物面 x y z o z x y o

(5) 椭圆抛物面 x y z o 特殊情况： --旋转抛物面.

(6) 双曲抛物面(马鞍面) x y z o

(6) 双曲抛物面(马鞍面) x z y o

还有三种以二次曲线为准线的柱面： 椭圆柱面 抛物柱面 双曲柱面

四、平面区域的概念及其解析表示 平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集, 记作 例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合可表示为

1.邻域

2.区域 区域是由一条或几条曲线(或直线)所围成的平面的一部分. 不包含边界的区域称为开区域． 例如， 包含边界的区域称为闭区域． 例如，

用不等式(组)表示区域: x y o b a

用不等式(组)表示区域: x y o d c

练习： P324 习题七

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程:

三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: