§1. 预备知识：向量的内积 ★向量的内积的概念 ★向量的长度 ★向量的正交性 ★向量空间的正交规范基的概念 ★向量组的正交规范化 §1. 预备知识：向量的内积 ★向量的内积的概念 ★向量的长度 ★向量的正交性 ★向量空间的正交规范基的概念 ★向量组的正交规范化 ★正交阵、正交变换的概念 n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向 量的内积，从而引进n维向量的度量概念：向量的长度， 夹角及正交。 下页 关闭
向量内积的概念 在空间解析几何中，两向量的数量积 在直角坐标系中表示为 推广到 n 维向量即有： 定义1 设有 n 维向量 内积。 上页 下页 返回
内积的运算规律： 上页 下页 返回
向量的长度 由向量内积的性质(v) 自然引入向量的长度。 定义1 令 向量长度的性质： 单位向量。 上页 下页 返回
向量的正交性 夹角。 空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可得向量的正交性概念。 正交向量组：指一组两两正交的非零向量。 上页 下页 返回
定理1 证 上页 下页 返回
例1 已知 3 维向量空间 R 3 中两个向量 解 上页 下页 返回
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向量空间的规范正交基 定义3 就是 R 4 的一个正交规范基。 上页 下页 返回
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向量组的正交规范化 上页 下页 返回
…………………………… 上页 下页 返回
然后只要把它们单位化，即取 就得 V 的一个正交规范基。 上页 下页 返回
试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。 例2 试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。 解 上页 下页 返回
再把它们单位化，取 上页 下页 返回
例 3 解 它的基础解系为 上页 下页 返回
把基础解系正交化，即为所求。取 上页 下页 返回
由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化过程。 以例3中求齐次线性方程组 x1 + x2 + x3 = 0 的基础解系为例， 要求两两正交的基础解系，只要取 使得前两个分量与 的前两个分量对应 乘积之和为零即可， 从而取 容易验证 上页 下页 返回
Ex.1 解 其基础解系可取为 上页 下页 返回
那么称 A 为正交阵。 上式用 A 的列向量表示，即是 定义4 如果 n 阶方阵 A 满足 AT A = E ( 即 A－1 = AT ), 那么称 A 为正交阵。 上式用 A 的列向量表示，即是 上页 下页 返回
解 P 的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以 P 是正交阵。 这就说明：方阵A 为正交阵的充分必要条件是A 的列( 行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵A 的n 个列( 行)向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基。 例4 验证矩阵 是正交阵。 解 P 的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以 P 是正交阵。 上页 下页 返回
定义5 若 P 为正交阵，则线性变换 y = P x 称为正交变换。 这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。 上页 下页 返回
正交矩阵在本章中占有重要的地位，因此，必须牢记正交矩阵的性质： (i). 正交矩阵A 的行列式 |A| = 1 或|A| = －1; (ii). 正交矩阵A 是可逆的，且A－1 =AT ； (iii). 正交矩阵A 的逆矩阵A－1 也是正交矩阵； (iv). 同阶正交矩阵A 与B 的乘积也是正交矩阵。 上页 返回