四川省省级精品课程 《实变函数论 》 绪 论 主讲人：魏勇

1.《实变函数论》的内容（一） 顾名思义： 《实变函数论》即讨论以实数为变量的函数 中学学的函数概念都是以实数为变量的函数 　《实变函数论》即讨论以实数为变量的函数 中学学的函数概念都是以实数为变量的函数 　大学的数学分析，常微分方程也是研究的以实数为变量的函数 　《实变函数论》还有哪些内容可学呢？ 即任务： 　　简单地说,《实变函数论》只做一件事: 恰当的改造积分定义使得更多的函数可积，使得操作更加灵活。

Rieman积分的究竟有何缺陷（找病症)： 　　分化呆板、苛刻：必须将定义域分成区间，无论区间多么小Ｄ(x)的最大值都是１，最小值都是０导致Ｄ(x)的大小和之差恒为１，无法任意小。

克服Rieman积分的缺陷的新思路（对症下药）： yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度”

改造积分定义的步骤及课程内容体系 1. 规定 即第三章内容 (表达式稍有变化) 验证操作更加灵活 要克服的典型困难: 1. 规定 即第三章内容 (表达式稍有变化) 验证操作更加灵活 要克服的典型困难: 如何求不规则集合的长度(测度)? 在发现无法对所有集合规定恰当测度时 如何退而求其次,哪些函数能求 的测度,我就如上规定积分,不能求就管不了! 即第二章内容 3. 测度的规定对象是集合,是空间中的点集,必须 有相关基础作为准备 即第一章内容

2.《实变函数论》的特点（一） 高度抽象，防不胜防： 抽象到什么程度呢？有人用八个字概括为：“似是而非，似非而是”。在此举以下两例说明之： 　抽象到什么程度呢？有人用八个字概括为：“似是而非，似非而是”。在此举以下两例说明之： 　例１：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能，但男女生个数至多相差一个。任意两个有理数中有无理术，任意两个无理数中间有有理数似“是”类似，而任取一个片段，无理数却比有理数多得多，即“似是而非” 　例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而《实变函数论》通过严密论证该结论无可非议。这就是所谓“似非而是”。

2.《实变函数论》的特点（二） 例题少、定理、定义、引理、推论，注释多，理论性强： 　　例题少、定理、定义、引理、推论，注释多，理论性强： 　　理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的原因。 但从另一个角度讲，实变函数论的习题几乎全是证明题，而定理、引理、推论的证明本身就是一些典型的，带证明示范性的例子。

2.《实变函数论》的特点（三） 《实变函数论》对近代数学方法有较多体现， 对数学创新思维从多角度训练 可测函数可以表成简单函数极限，连续函数的极限，简函数全 体到可测函数全体的扩充，由连续函 数全体到可测函数全体的扩 充，完全类似于《泛函 分析》、《拓扑学》中度量空间、拓扑空间 的完备化。 可测集合簇对“交”、“并”、“余”、“差”、“上极限”、“下极限”、“极 限”运算的封闭性，可测函数对“加”、“减”、“乘”、“除”四则运算、 “最大值”运算、“最小值”运算、“上确界”运算、“下确界”运算、“上 极限”、“下极限”、“极限”运算的封闭性类似近世代数讨论“群”、 “环”、“域”等代数结构的研究。 基于各种结构定理（如开集结构、可测集结构、可测函数结构、 有界变差函数结构等定理）和各种运算封闭性的证明和应用，对“通 过有限把握无限，通过简单把握复杂，通过具体把握抽象”作了全 方位、多角度的示范。

3.学习《实变函数论》的方法（一） 注重严谨： 否则就有可能出现例１、例２类似的错误。 　　 由于《实变函数论》高度抽象、理论性强，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例， 否则就有可能出现例１、例２类似的错误。

3.学习《实变函数论》的方法（二） 务必理解证明 　　对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证明，只有理解其证明才能借鉴其方法。 有人将“可数集并上至多可数集仍为可数集”记得烂熟，但无法自己证明“无限集并上一个至多可数集后其势不变”，能看懂证明。但对直接建立（0，1）与[0，1]之间的1—1对应仍束手无策。 原因:根本想不到用证明的思想方法而不是直接用结论。未消化其证明，从而不能借鉴其方法以达解决类似问题之目的。 同理:有人知 “可数个可数集之并仍为可数集”，不知如何将一个可数集分解成可数个互不相交的可数集之并

3.学习实变函数论的方法（三） 尽量直观剖析 　　尽管凭直观想象可能会出现例1、例2那样“似是而非，似非而是”的结论，但不能因噎废食，在每一个定理、引理、推论的证明之前都应尽量想象其合理的直观意义。直观解释虽然不能代替严格的论证，却会给我们的证明带来开阔思路的启迪，直观想象永远是数学各分支发现联系、揭示规律、猜测命题的重要依据和行之有效的手段之一。

3.学习实变函数论的方法（四） 温故而知新 　　既然《实变函数论》是《数学分析》研究范围、内容的扩展，研究结果的改进和完善，新旧知识之间就难免存在诸多内在联系，及时复习相关旧知识以达温故而知新的目的，注重体会如何借鉴旧方法来解决新问题的思路，同时特别注意新方法与旧方法实质区别之处，把握创新点。

3.学习《实变函数论》的方法（五） 　　 “下连上串，左顾右盼”。 如在学习R 中点之间的距离时，请先复习初中学的直线上两点间的距离公式，高中平面解析几何学的平面上两点间的距离公式，大学空间解析几何学的立体空间中两点间的距离公式即“下连”，然后浏览本课程的后继课程《泛函分析》的度量空间中的距离即“上串”，从而把握距离概念的实质。 又如，在学习抽象测度的定义时,验证概率统计中的概率是一种测度，子集中元素的个数是一种测度，非负可测函数关于任一种抽象测度在子集上的积分都是测度，并思考还有哪些问题实质上是测度，即“左顾右盼”。

3.学习《实变函数论》的方法（六） 注重方法的上升、平移、联系 无论是个案形式出现的例题解法，还是为主线服务 的定理、引理、推论，还是本门课程的核心结论出现的 方法，如果感觉深奥难懂，就尝试在常见思维中寻找共 同或相似之处，尽力使自己感觉方法自然。如果感觉简 单、常见，千万别不屑一顾，要尽量将此具体方法通过 抽象化、一般化转变成带普遍性的方法，从而通过一门 课、甚至仅仅只是一个定理、公式的学习，达到掌握一 类问题的解决方法之目的。

3.学习《实变函数论》的方法（七） 注重顾名思义，忌讳望文生义。 　　顾名思义有利于理解记忆，有利于已有知识梳理和融会贯通。通过顾名只能思义，不能断言是义。数学是一门非常严谨的科学，所有概念都有严格的逻辑界定，不能凭主观臆测，如“几乎”在日常语言中是“差不多”的意思，那么数学中的“几乎处处”成立通过顾名思义顾名思义理解成“差不多”每处都成立，既然是“差不多”就应允许有例外点不成立，例外点允许有多少才算“差不多”呢？是1个？2个？有限个？可数个？不能望文生义，必须钻研严格的数学定义，数学没有从例外点的个数（即势）的角度来界定“差不多”，而是从例外点全体的测度角度界定了“差不多”，即“例外点全体的测度为0时”就是严格数学意义下的“差不多”。从而不排除例外点多到c势个。一旦有了严格定义就限制了自由发挥余地，就不能说“例外点全体测度非常非常小时也是几乎处处成立”。

3.学习《实变函数论》的方法（八） 注重思路梳理 　　注重内容初步拉通后的思路梳理，理顺发展脉搏，注重各个概念、命题之间先后顺序、逻辑依承关系，从整体角度体会、把握、回味《实变函数论》基本内容、常见思维方法。并对共性思维方法立足《实函》，上升到一般，平移至相关。

3.学习《实变函数论》的方法（九） 排除障碍宜早不宜迟 间紧迫来不及、或见问题太多而丧失攻克难 关勇气。 遇到困难及时与同学讨论，或请老师释疑，不要拖延到问题成堆才来梳理，造成时 间紧迫来不及、或见问题太多而丧失攻克难 关勇气。