第18讲 欧氏空间 主要内容： 1.向量的内积 2. 欧氏空间的定义 3.正交矩阵

5.3 欧氏空间 借助于正交变换讨论二次型的标准形，需要在欧式空间进行. 定义了实向量内积进而有向量长度以及两向量夹角概念的向量空间就是欧氏空间.

5.3.1 向量的内积 在空间解析几何中, 给定两个R3中3维向量 在讨论力所做的功时用到内积:  = || ||cos. 将其推广到Rn中, 有

Def 5.3 给定两个n维实向量 称为x1 y1 + x1 y1 +…+ xn yn向量与的内积(或点积) , 记为(, )([, ]或).

根据內积的定义,容易验证內积满足下列性质,其中, , 是n维向量,是实数. (1)交换性：(, ) = (, ). (2)数乘性：(, ) = (, ). (3)可加性：( + , ) = (, ) + (, ). (4)非负性：(, )≥0且(, )=0 = 0.

最前面的3条性质在今后计算內积的过程中常用到,而非负性是定义向量长度的依据. 有很多的书将数乘性称为齐次性, 实际上,它是一条关于向量数乘与内积的性质. 定义了向量内积,就可以类似于空间解析几何去定义向量长度以及两向量夹角.

Def 5.4 给定n维向量 为向量的长度(length/norm of the vector ), 记为|| ||, 也可以记为| |.

在R2及R3中, 确为向量的长度. 在Rn中, 向量的范数. 范数是长度和距离概念的一种推广. 向量的长度满足下面的3条性质,它们是公理化定义向量范数的3个条件. (1)非负性: || || ≥0且|| || = 0 = 0. (2)数乘性： ||   || = || || ||. (3)三角不等式： ||  +  ||≤ || || + ||  ||.

长度为1的向量称为单位向量. 给定非零向量, 因为向量 的长度为1, 所以它是一个与向量方向一致的单位向量, 通过这种方式可以将向量单位化(normalizing).

对于两个非零向量和, 由于对于任意数, 有 其关于的二次代数方程的判别式应小于等于0, 于是有Cauchy-Schwarz不等式 进而

Def 5.5 给定两个n维非零向量和, 称 为向量和的夹角(angle between  and ). 这与解析几何中定义 = || ||cos时出现的和的夹角一致.

当(, ) = 0时,称和正交(orthogonal),这时和之间的夹角为/2,因此正交即垂直之意.

零向量与任何向量正交. 若(, ) = 0,则(, ) = 0. 特别地,对于非零向量和,若(, ) = 0,则 两两正交的向量组称为正交向量组,按这种较自然的一种定义方式,正交向量组中可以含零向量. 但可以证明 Theorem 5.1 不含零向量的正交向量组是线性无关的.

Proof 设1, 2, …, r是正交向量组, i  0(i =1, 2, …, r), 若存在一组数k1, k2, …, kr使得k11 + k12 + …+ krr = 0,于是(k11 + k22 + …+ krr, i) = (0, i) = 0. 根据内积的性质,有 k1(1 , i) + k2 (2 , i) + …+ ki-1 (i-1, i) + ki (i, i) + ki+1 (i+1, i) +…+ kr (r, i) = 0. 由已知条件知, ki (i, i) = 0. 因为i非零,所以ki= 0(i =1, 2, …, r). 因此线性无关.

例5.4 已知向量 验证1与2正交,并求一个非零向量3使1, 2, 3为正交向量组. Solution 因为(1 , 2) = 0,所以1与2正交. 设

且同时满足(1 , 3) = 0, (2 , 3) = 0: 令x3 = 1,得一个非零解 这时1, 2, 3为正交向量组.

5.3.2 欧氏空间的定义 Def 5.6 设V是向量空间, 若在V上定义了两个向量的内积, 则称V为欧氏空间(Euclidean space). 由于在欧氏空间V中定义了两个向量的内积, 进而有向量长度以及两向量夹角概念.

设1, 2, …, n是欧氏空间V的一个基,若满足下列两个条件, 则1, 2, …, n称是欧氏空间V的一个单位正交基(orthonormal basis)或标准正交基或规范正交基.

为何要考虑欧氏空间V的单位正交基? 假设1, 2, …, n是欧氏空间V的一个单位正交基,对于任意向量有 对于任意i (i =1, 2, …, r),因为 所以k1, k2, …, kn的计算较简单. 若是V的基而不是V的单位正交基,要得出k1, k2, …, kn需要求解线性方程组.

设1, 2, …, r是线性无关的向量组, 则由1, 2, …, r生成一个向量空间V, 假定在V上定义了两个向量的内积, 显然1, 2, …, r是V的基. 如何根据1, 2, …, r得出V的单位正交基? 简言之, 就是要根据线性无关的向量组1, 2, …, r , 得出一个单位正交向量组e1, e2, …, er, 使其与1, 2, …, r等价.

现对R2中两个线性无关的向量组1, 2做一个简单的分析如下：关键是找出与1, 2等价的正交向量组1,  2 现对R2中两个线性无关的向量组1, 2做一个简单的分析如下：关键是找出与1, 2等价的正交向量组1,  2. 再分别将1,  2单位化得e1, e 2. 由于1, 2与1,  2等价, 容易知道e1, e 2与1, 2等价. 不妨取1 = 1. 由于1, 2线性无关， 1和2确定一个平面，与1正交的向量可在该平面内与1垂直的方向上找. 为了保证2可由1,  2线性表示，将2往1,  2这两个互相垂直的方向上分解.

对于线性无关的向量组1, 2, …, r, 得出一个单位正交向量组e1, e2, …, er, 使其与1, 2, …, r等价的步骤如下. Step 1 正交化.

Step 2 单位化. 将1, 2, …, r单位化,得

上述方法称为格拉姆-施密特方法(Gram-Schmidt method)，简称为施密特方法，包括了正交化(Orthogonalizing)和单位化(normalizing)两个步骤. 2在1上的投影为

例5.5 已知线性无关的向量组 用施密特方法将其单位正交化. Solution 先正交化. 取

例5.6 已知向量 求非零向量2, 3,使1, 2, 3是正交向量组. Solution 向量2, 3的分量x1, x2, x3应满足x1- x2- x3 = 0,其基础解系为

将2, 3正交化,得

5.3.3 正交矩阵 与单位正交向量组密切相关的概念是正交矩阵. Def 5.6 设A是n阶方阵, 若 则称A是正交矩阵(orthogonal matrix).

根据定义知,若A是正交矩阵,则A-1 = AT且|A| = 1或-1. 很容易验证：若A是正交矩阵，则 (1) (Ax, Ay) = (x, y). (2) ||Ax|| = ||x||. (3) (Ax, Ay) = 0  (x, y) = 0.

现将正交矩阵A按列分块,即A = (1, 2,…, n),于是 因此,有 这时, 1, 2,…, n是单位正交向量组.

由A是正交矩阵,可得出A-1 = AT,于是AAT = 0. 类似的讨论可知,由A得到的行向量组也是单位正交向量组. 是正交矩阵.