高等代数课件 陇南师范高等专科学校数学系 2008年制作

第八章 欧氏空间 8.1 欧氏空间的定义及基本性质 8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换 8.4 子空间与正交性 第八章 欧氏空间 8.1 欧氏空间的定义及基本性质 8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换 8.4 子空间与正交性 8.5 对称矩阵的标准形

8.1 欧氏空间的定义及性质 一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 8.1 欧氏空间的定义及性质 一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离

一. 解析几何内容回顾 　　在空间解析几何里, 我们在曾在空间V3中定义了两个向量的内积的概念. V3中的两个向量,的内积是=||||cos, 其中||和||分别表示和的长度, 表示和的夹角. 内积是用长度和夹角定义的.反之, 向量长度和夹角也可用内积来刻划: 　　向量空间是平面空间和立体空间的推广. 本章的目的是把平面空间和立体空间中的类似于长度,夹角等的度量性质推广到一般的向量空间中. 我们的思路是先把内积的概念推广到一般的向量空间, 再用内积定义向量的长度,夹角,距离等概念. 为此先回顾V3中内积的性质: 对中的任意向量 , ,  和任意实数a都有: = ; (+)= +; (a)= a(); 若0则 >0.

二. 欧氏空间的定义 　　定义 1 设V是实数域R上的一个向量空间. 如果对V中任一对向量 , 都有一个确定的记作<  , >的实数与它们对应, 并满足条件: 　　1) < , >=<, >; 　　2) <+, >=<,  >+<,  >; 　　3) <a , >=a< ,  > 　　4) 当0时, < , >＞0. 此处, , 是V中的任意向量, a是任意实数, 那么称< , >为向量与 的内积, 称V为关于这个内积的一个欧几里得空间(简称欧氏空间). 　　例 1 在Rn中, 对任意向量=(x1, x2, …, xn), =(y1, y2, …, yn)规定<,>=x1 y1+x2 y2 +…+xn yn. 则Rn关于这个内积是欧氏空间. 　　例 2 在Rn中, 对任意向量=(x1, x2, …, xn), =(y1, y2, …, yn)规定<,>=x1 y1+2x2 y2 +…+nxn yn. 则Rn关于这个内积也是欧氏空间. 　　例 3 对C[a, b] 中任意函数f(x), g(x), 规定<f , g>= 则C[a, b]对如此规定的内积来说作成欧氏空间.

三. 内积的性质 设V是一个欧氏空间.  V, 都有<0, > = <, 0> = 0 　　由定义中 1), 2), 3)得 < , +>=<  ,  >+< ,  >; < , a>=a< ,  >; 因此对1, 2,…, r , 1, 2,…, sV, a1, a2,…, ar , b1, b2,…, bsR,有

<,>2<,><,>. 四. 向量的长度 　　定义 2 设是欧氏空间的一个向量, 　　　　叫做的长度，记作||. 对任意实数a和向量,有 |a|=|a|||, |+|||+||. 　　例 5 令Rn是例1中的欧氏空间, 向量=(x1, x2, …, xn)的长度是: 　　定理8.1.1 在欧氏空间中, 对任意向量,都有: <,>2<,><,>. 当且仅当与线性相关时等号成立. 　　例 6 (Cauchy不等式)考虑例1的欧氏空间Rn, 由定理8.1.1可知: 对任意实数a1, a2,…, an, b1, b2,…, bn都有: 　　例 7 (Schwartz不等式) 考虑例3的欧氏空间C[a, b], 对区间[a,b]上的任意连续函数f(x), g(x)都有:

五. 向量的夹角 定义 3 设与是欧氏空间的两个非零向量. 与的夹角由以下公式定义: 　　定义 3 设与是欧氏空间的两个非零向量. 与的夹角由以下公式定义: 　　定义 4 设与是欧氏空间的两个向量, 如果<,>=0则称是与 是正交的. 　　定理8.1.2 在欧氏空间中, 如果向量与向量1, 1,…, r中的每一个都正交, 那么与向量1, 1,…, r的任意线性组合都正交.

六.向量的距离 在一个欧氏空间中, 两个向量与的距离是指向量的长度||, 记作d(,). 向量的距离具有如下性质: d(,)=d(,); d(,)d(,)+d(,).

8.2 度量矩阵与正交基 一. 正交基的基本概念 二. 向量在标准正交基下的坐标和距离 三. 正交化方法 四. 正交补与向量的正射影 8.2 度量矩阵与正交基 一. 正交基的基本概念 二. 向量在标准正交基下的坐标和距离 三. 正交化方法 四. 正交补与向量的正射影 五. 标准正交基之间的过渡矩阵 六. 欧氏空间的同构

一. 正交基的基本概念 　　定义 1 是欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组. 如果正交组中的每一个向量都是单位向量, 则称此正交组为一个标准正交组. 　　例 1 向量 是R3中的一个标准正交组. 　　例 2 函数 1, cosx, sinx, …, cosnx, sinnx, …是C[0,2]的一个正交组. 　　定理 8.2.1 设{1, 2,…, n}是欧氏空间的一个正交组, 则1, 2,…, n 线性无关. 　　如果n维欧氏空间V中n个1, 2,…, n向量构成一个正交组, 则由定理8.2.1这n个向量构成V的一个基. 这种两两正交的向量构成的基叫做V的正交基. 两两正交的单位向量构成的基叫做标准正交基.

二. 向量在标准正交基组的坐标和距离 　　例 3 欧氏空间Rn的的基 i=(0,…,0,1,0,…,0), i=1,2,…n,是Rn的标准正交基.. 容易看出一个向量=(x1, x1,…, xn)的坐标 xi 就是它与 i 的内积<, i >. 　　设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则 因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i 基向量的内积.

三. 正交化方法 　　定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表示, k=1,2,…,m. 　　正交化方法: 　　定理 8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间必有正交基, 因而必有标准正交基.

W={V |<, W>=0} 四. 正交补与向量的正射影 　　设W是欧氏空间V的一个非空子集,是V的一个向量. 如果与 W的每一个向量正交, 则称 与 W正交, 记作< , W >=0. 令 W={V |<, W>=0} 则W是V的一个子空间. 若W是V的一个子空间, 称W为W的正交补. 　　定理 8.2.4 设W是V的一个有限维子空间, 那么V=WW. 因而V的每一向量可以唯一地写成=+, 其中W,<, W>=0. 称为在子空间W上的正射影. 　　定理 8.2.5 设W是V的一个有限维子空间, 是V的任意向量, 是在W上的正射影, 那么对W中任意向量', 都有 ||<|-‘|.

五. 标准正交基之间的过渡矩阵 　　设U=(uij)是从标准正交基{1, 2,…, n}到标准正交基{1, 2,…, n}的过渡矩阵. 则 于是:U 'U=UU '=I.我们把满足U 'U=UU '=I的实矩阵U称为正交矩阵. 　　定理 8.2.6 在欧氏空间中从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.

< , >=<f(), f()>. 六. 欧氏空间的同构 　　定义 3 设V与V' 是两个欧氏空间, 如果 　　(i) 作为实数域上的向量空间, 存在V 到V' 的一个同构影射 f: V V'. 　　(ii) 对任意,V, 都有: < , >=<f(), f()>. 则称V与V' 是同构的. 　　定理 8.2.6 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等. 　　推论 8.2.6 任意n维欧氏空间都与Rn同构.

8.3 正交变换与对称变换

一 、 正交变换的定义及性质 定义1 欧氏空间V的线性变换称为正 交变换, 如果它保持任意两个向量的内积不 变, 即对任意, V，有  (),  ()＝, .

例1 在欧氏空间V2 中， 是把V2 中任意向量 都沿逆时针方向旋转θ 角的变换， 则是正交变换.

例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个 平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射， 则 是正交变换.

(ii) 如果{1, 2, …, n}是规范正交基, 那么 { (1),  (2), …,  (n)}也是规范正交基； 定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变 换, 则下面四个命题等价. (i) 是正交变换； (ii) 如果{1, 2, …, n}是规范正交基, 那么 { (1),  (2), …,  (n)}也是规范正交基； (iii)  在任一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵； (iv) 任意的V, | ()|＝| |.

(i)(ii) 证明： 设{1, 2, …, n}是一规范正交基, 即 i, j＝ 因为是正交变换, 那么

( (1),  (2), …,  (n))＝(1, 2, …, n )A (ii) (iii) 即 (ii) 如果{1, 2, …, n}是规范正 交基, 那么 { (1), (2), …,  (n)} 也是规范正交基; (iii)  在任一个规范正交 基下的矩阵是正交矩阵. 设在{1, 2, …, n }下的矩阵为A, 即 ( (1),  (2), …,  (n))＝(1, 2, …, n )A 因为{1, 2, …, n }与{ (1),  (2), …,  (n)}都是规 范正交基, 所以A是正交矩阵.

( (1),  (2), …,  (n))＝(1, 2, …, n )A (iii)(iv) (iv) 任意的V, | ()|＝| |. 即(iii)  在任一个规范正交 基下的矩阵是正交矩阵； 设在V的规范正交基{1, 2, …, n }下的矩阵是A=(aij)n×n， 即 ( (1),  (2), …,  (n))＝(1, 2, …, n )A  (i)＝ , i＝1, 2, … , n 由于A是正交矩阵，因此  (i),  (j)＝ k, l ＝ ＝

而 是矩阵ATA(＝In)的第i行第j列交点处的元素，故 任意V, 设 〈, 〉 那么 另一方面, 由 〈 (),  ()〉 得 所以 即

(iv) (i) (i) 是正交变换. 对任意, V，由(iv)知, 把最后一个等式展开, 得 利用前两个等式, 就有 即 (iv) 任意的V, | ()|＝| |; 对任意, V，由(iv)知,  (),  ()＝, ,  (),  ()＝, ,  (＋),  (＋)＝＋, ＋. 把最后一个等式展开, 得  (),  ()＋2 (),  ()＋ (),  ()＝, ＋2, ＋, . 利用前两个等式, 就有  (),  ()＝, . 也就是说 是正交变换. 这样,就证明了(i), (ii), (iii), (iv)的等价性.

定义2 是欧氏空间V的一个线性变换. 二、对称变换的定义及性质 如果对V中任意两个向量, , 都有 〈 (), 〉＝〈,  ()〉， 那么称为一个对称变换.

例3 在欧氏空间R2 中，\是把R2中任意向 量作χ轴的正投影， 则 是对称变换.

例4 在欧氏空间 R2中, 是把R2中任意 向量变换成关于直线 Y=X的对称向量, 则 是一个对称变换.

定理8.3.2 n维欧氏空间V的线性 变换为对称变换的充分必要条件是 在任一规范正交基下的矩阵为对称 矩阵.

证明： （必要性） 如果是n维欧氏空间V的一个对称变 换, {1, 2, …, n}是V的一个规范正 交基, 且在这个基下的矩阵是

〈 (i), j〉＝〈a1 i1＋a2i2＋…＋anin , j〉＝aji, 于是 〈 (i), j〉＝〈a1 i1＋a2i2＋…＋anin , j〉＝aji, 〈i,  (j) 〉＝〈i , a1j1＋a2j2＋…＋anjn〉＝aij. 由〈 (i), j〉＝〈i,  (j) 〉, 得 aij＝aji，i, j＝1, 2, …, n. 这说明A是一个对称矩阵, 这个条件也是为对称变换的 充分条件.

课 堂 小 结 本节内容主要讲解两个问题： 1．正交变换的定义和性质； 2．对称变换的定义和性质.

8.5 对称矩阵的标准形 　　定理 8.5.1 对于数域F上的任何一个n阶对称矩阵A, 总存在F上的一个n阶矩阵P使得:P'AP是一个对角矩阵. 即数域F上的任何一个n阶对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 　把一个对称矩阵对角化的方法是: 对 i=1,2,..,n : 　第一步 如果第 i 行(第 i 列)中的元素都是零, 则处理i+1. 　第二步 如果 aii0, 则转第三步; 否则, 在第 i 行中找一个非零元素aij, 把第 j 行加到第 i 行,把第 j 列加到第 i 列. 　第三步 把第 i 行的适当倍数加到其它行,把第 i 列的适当倍数加到其它列, 以使第 i 行和第 i 列中除 aii 外的元素都是零. 　　注: 在进行完上述变换后, 得到的对角矩阵中, 对角线上的零元素和非零元素可能是交叉出现的. 再进行适当的行交换与列交换, 就可使对角线上所有的非零元素都在零元素的前面. 例如 aii=0, ajj0, i<j, 则可交换第 i 行和第 j 行, 交换第 i 列和第 j 列.

演示计算过程 注: 以上变换是对A的行和列同时进行的. 把其中的列变换施加到一个单位矩阵上, 就可以从这个单位矩阵得到定理中的P. 　　例 1 设 求矩阵 P 使 P'AP是一个对角矩阵, 且对角线上所有的非零元素都排在零元素的前面. 演示计算过程