第二章 流体运动的基本方程和基本规律 § 2.1 连续方程 § 2.2 动量方程 § 2.3 能量方程 § 2.4 方程的基本解法 § 2.1 连续方程 第二章 流体运动的基本方程和基本规律 § 2.2 动量方程 § 2.3 能量方程 § 2.4 方程的基本解法 § 2.5 微团运动分析 § 2.6 旋涡运动

§2.1 连续方程 § 2.1.1 连续方程的物理意义 § 2.1.2 连续方程的积分形式 § 2.1.3 连续方程的微分形式 §2.1 连续方程 § 2.1.1 连续方程的物理意义 § 2.1.2 连续方程的积分形式 § 2.1.3 连续方程的微分形式 § 2.1.4 连续方程的物质导数形式

§ 2.1.1 连续方程的物理意义 连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律：流出控制体的质量流量等于控制体内质量随时间的减少率。

§ 2.1.2 连续方程的积分形式

§ 2.1.3 连续方程的微分形式 根据散度定量以及控制体选取的任意性可得连续方程的微分形式为：

§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式

§2.2 动量方程 § 2.2.1 动量方程的物理意义 § 2.2.2 动量方程的积分形式 § 2.2.3 动量方程的微分形式 §2.2 动量方程 § 2.2.1 动量方程的物理意义 § 2.2.2 动量方程的积分形式 § 2.2.3 动量方程的微分形式 § 2.2.4 动量方程的物质导数形式

§ 2.2.1 动量方程的物理意义 动量方程描述的是动量守恒规律：控制体动量随时间的变化率等于作用在控制体上的力。

§ 2.2.2 动量方程的积分形式 等号左边项分别为定常情况的控制体的动量流量和非定常情况下的动力增加率，等号右边项分别为压力、彻体力和粘性力。

§ 2.2.3 动量方程的微分形式

§ 2.2.4 动量方程的物质导数形式

§2.3 能量方程 § 2.3.1 能量方程的引入 § 2.3.2 能量方程的物理意义 § 2.3.3 能量方程的积分形式 §2.3 能量方程 § 2.3.1 能量方程的引入 § 2.3.2 能量方程的物理意义 § 2.3.3 能量方程的积分形式 § 2.3.4 能量方程的微分形式 § 2.3.5 能量方程的物质导数形式 § 2.3.6 方程组封闭的条件

§ 2.3.1 能量方程的引入 对不可压流动，密度是常数。流场的主要变量是压强 和速度 。连续方程和动量方程都是关于 和 方程。因此，对定常的不可压流，连续方程和动量方程已经封闭。 对可压流动，密度 也是一个变量。为了使该系统封闭，还需要一个基本方程，即本节的能量方程。

§ 2.3.2 能量方程的物理意义 能量方程描述的是能量守恒规律：根据热力学第一定律，控制体内能的增加等于外界环境传给控制体的热能 以及外界环境对控制体做功 的和。为简化推导形式，这里取控制体为单位质量， 为单位质量的内能，对于一个静止系统有：

§ 2.3.3 能量方程的积分形式 等号左边分别为非定常情况总能变化率以及定常情况下的能量流量；等号右边分别为热能传输率，粘性热能传输率，压力、彻体力和粘性应力做功功率。

§ 2.3.4 能量方程的微分形式 这里的 表示粘性项在方程中的适当形式。

§ 2.3.5 能量方程的物质导数形式

§ 2.3.6 方程组封闭的条件 在能量方程中，引入了另外一个未知的流场变量 。现在有三个方程，即连续方程，动量方程和能量方程，但它们包含了四个独立的变量： 。引入如下两个方程可以使系统封闭：

§2.4 方程的基本解法 § 2.4.1 方程的解析解 § 2.4.2 方程的数值解—CFD

§ 2.4.1 方程的解析解 方程的解析解 空气动力学中的三大控制方程，都是高度非线性偏微分方程或积分方程，目前为止还没有解析解。但是针对某些应用空气动力学问题，可以对控制方程进行一定程度的简化和近似，从而得到简化方程的解析解。 理论空气动力学的发展过程就是在应用过程中对所有的控制方程进行适当简化，并获得其解析解的过程。

解析解的优点 ： 求解解析解的过程可以使我们更加的熟悉这些气动问题的物理本质。 封闭形式的解直观的告诉我们哪些变量对流动的影响非常重要，而且可以知道这些变量增大或者减小时，会对流场产生什么样的影响。 最后，这些封闭形式的解为快速计算提供了简单的工具。这在设计的初始阶段尤为重要。

§ 2.4.2 方程的数值解－CFD 计算流体力学（CFD)是用代数离散的方式代替方程中的积分或者微分，最终求解出给定空间和时间离散点上的流场变量值的一种方法。 CFD的优点：不做任何几何近似，也可以处理完全非线形的连续方程，动量方程和能量方程。正因为如此，许多以前不能求解的空气动力学的复杂流动，都可以用CFD的方法来解决。

§2.5 微团运动分析 § 2.5.1 迹线、流线 § 2.5.2 角速度、旋度和角变形率 § 2.5.3 流函数、速度位

§ 2.5.1 迹线、流线 迹线：流体微团在流场中的运动轨迹。

流线：流场中的一条曲线，线上各点的切向和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流线形式也不相同。

一般地说，流线和迹线是不重合。对定常流,流场中给定点的速度矢量的大小和方向都是不随时间变化。因此经过流场中同一点的不同微元，其迹线相同；还有，迹线和流线也重合。因此在定常流动中，流线和迹线是没有任何区别；他们是相同的空间曲线

如何求流线方程 笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式： 如上页图中表示的流线是空间曲线 , 用 表示。设 是流线上的一个微段。点2处的速度 和 平行。因此，由矢量叉乘的定义得流线方程为： 笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：

流管 在三维空间，在流场中取一条不为流线的封闭曲线，经过曲线上每一点作流线，所有这些流线集合构成的管状曲面被称为流管，如右图。 由于流管由流线组成，因此流体不能穿出或者穿入流管表面。在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。

§ 2.5.2 角速度、旋度和角变形率 流场中的流体微团,当它沿着流线做平移运动的同时，还可能旋转、变形运动。 微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是用速度场量化分析微元的旋转和变形运动。

分析用图 考虑xy平面内的二维流动。取流场中的一个微元体。假设在时刻 ，流体微元是矩形。其在 时刻的位置和形状如下图。AB和AC分别旋转的角位移是 。

角速度 定义边AB、AC的角速度为 ： 定义流体微团角速度为边AB和AC角速度的平均，并记为 ，则有： 三维空间流体微团的角速度：

旋度 旋度：定义为旋转角速度 的两倍，记为 。 旋度：定义为旋转角速度 的两倍，记为 。 1）如果 在流动中处处成立，流动称为有旋流动。这表明流体微团在流动过程中具有一定的旋转角速度。 2）如果 在流场中处处成立，流动称为无旋流动。这表明流体微团没有角速度，在空间作纯粹的平移运动。 3）二维无旋流动条件：

角变形率 角变形率：设AB和AC之间的夹角为 。在 时间内， 发生变化 。 角变形率 定义为： 笛卡尔坐标系下角变形率表达式：

2.5.3 流函数、速度位 流函数 对于二维不可压流，连续方程为： 所以 是某个函数 的全微分： 又 故有 函数 称为流函数， 为一条流线。

速度位 对无旋流动： 如果是个 标量函数，那么： 对比上面两方程，有： 于是对于无旋流动，存在一个标量函数 ，使得 的梯度等于速度，称 为速度位。 根据梯度和速度位定义有：

流函数和速度位的区别： 1）流场速度可通过对 在速度方向微分得到；而对 在速度的法向求导得到速度。 2）速度位是在无旋条件下定义的。而流函数不管流动有旋还是无旋，都存在。 3）速度位适用于三维流动，流函数只在二维情形存在。

取速度位的梯度和流函数的梯度的点积，有： 流函数和速度位的关系： 取速度位的梯度和流函数的梯度的点积，有： 所以等位线和流线正交

§2.6 旋涡运动 § 2.6.1 涡线，涡管以及旋涡强度 § 2.6.2 速度环量、斯托克斯定理 § 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理

§ 2.6.1涡线，涡管以及旋涡强度 涡线：是充满旋涡流场中的一系列的曲线，在任意瞬时该曲线上微团的旋转角速度向量（旋转轴线方向按右手定则）都和曲线相切，右如图所示。 涡线方程：

涡管：某瞬时，在旋涡场中任取一条非涡线的光滑封闭曲线（曲线不得与同一条涡线相交于两点），过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成得管状曲面称为涡管，见右图。

涡量：通过涡管任一截面得到的涡通量，定义为： 涡管的侧表面是涡面。在这个涡面上流体微团的角速度矢量 与涡面的法向矢量相垂直。这表明涡通量不能穿越涡管表面。涡管截面大小和所取的围线的大小有关，因此涡管可大可小，甚至无限小，涡线是横截面积趋向于零的涡管。

旋涡强度，或称涡量强度：设在涡管上取一截面，截面面积为 ，则定义为 上式就是旋涡强度，旋度则是涡管截面趋向于零时的旋涡强度。

§ 2.6.2 速度环量、斯托克斯定理 速度环量取逆时针积分方向为正。 速度环量：如果积分路径为一封闭曲线，则速度线积分的值定义为速度环量，即： 速度环量取逆时针积分方向为正。

斯托克斯定理： 斯托克斯定理表明：沿空间任一封闭曲线L上的环量，等于贯穿以此曲线所成的任意曲面上的涡强。

诱导速度：由旋涡存在而产生得速度 毕奥-萨瓦公式：确定诱导速度的大小。该公式指出,在不可压流动中，强度是 、长为 的涡线对周围流场所产生得诱导速度为 ：

§ 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理 流场中的旋涡是由流体粘性产生的。旋涡产生以后的效应，可以用理想流体的观点来研究旋涡问题。理想流体里涡线或涡管有如下三条定理。 定理一:在同一瞬间沿涡线或涡管的旋度强度不变。 定理二:涡线不能在流体中中断；只能在流体边界上中断或形成闭合圈。 定理三:在理想流中，涡的强度不随时间变化，既不会增强，也不会削弱或者消失。