第 2 讲 Maxwell方程Yee算法 本讲介绍K.S. Yee提出的FDTD算法，它是电磁场FDTD分析的基础。 Yee的独特之处是在空间为每一个电场和磁场分量的空间取样选择一种特殊的网格—称之为Yee网格，在时间上，采用了蛙跳算法，使得利用一阶导数的二阶中心差分近似从Maxwell方程获得的FDTD公式，既满足Maxwell方程的微分形式又满足其积分形式。 因此，Yee的FDTD算法非常稳固，具有很广的应用领域。
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（1） 一维Maxwell方程 利用一阶导数的二阶中心差分近似，上面的方程变为
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（2） 采用归一化磁场 使得电场与归一化磁场有相同的数量级，于是可以得到FDTD迭代公式为 式中， 为自由空间中的光速。
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（3） 用计算机语言表示的FDTD公式 式中，时间变量已隐含在迭代公式中，以及 只要给定了所有空间点上电/磁场的初值，就可以一步一步地求出任意时刻所有空间点上的电/磁场值。
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（3） 1 2 3 电场与磁场分量的空间-时间分布图
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（4） Main loop in 1D FDTD C-program: for (k=0;k<=kmax;k++) { Hy[k]=0; Ex[k]=0;} for (n=1;n<=nmax;n++) { Ex(0)=Source(n); for (k=0;k<kmax;k++) { Hy[k]=Hy[k]-ca[k]*(Ex[k+1]-Ex[k]); } for (k=1;k<kmax;k++) { Ex[k]=Ex[k]-cb[k]*(Hy[k]-Hy[k-1]); } Ex(kmax)=Boundary; }
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（1） 考虑非时变、线性、各向同性媒质填充的无源区域， Maxwell旋度方程为
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（2） 以及
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（3） Yee 首先将空间按立方体分割，电磁场的六个分量在空间的取样点分别放在立方体的边沿和表面中心点上，电场与磁场分量在任何方向始终相差半个网格步长。 Ey ( i, j, k ) x y z Ez Hx Ex Hz Hy
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（4） 在时间上，Yee 把电场分量与磁场分量也差半个步长取样。 x Ez t=2t Hy
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（5） 于是，利用一阶导数的二阶中心差分近似就可以导出旋度方程的FDTD公式。如：
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（6） 将上述公式代入相应的方程，得
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（7） 采用时间平均近似 最后，忽略高次项，得
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（8） 同理，可以得到其他2个磁场分量的FDTD方程
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（9） 上面公式之间有明显的规律，便于记忆，如： 系数Da和Db在空间的位置就是方程左边项的场分量的空间位置； 右边第一项的场分量与左边的相同，但为n时间步，而左边场分量的时间步为n+1； 右边第二、第三项的场分量与左边的相反（电场与磁场）三者的坐标分量满足循环关系：x-y-z-x; 右边第二、第三项为空间差分形式。右边第二项分子上场量的坐标分量与分母上空间步长的坐标分量也满足x-y-z-x的循环关系。而右边第三项分子上场量的坐标分量和空间步长坐标分量与第二项恰好对调。 第三项符号为负。
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（10） 利用对偶原理： ，并注意到E与H在时间上差半个步长，可以直接从磁场FDTD公式得到电场的FDTD公式。如：
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（11） 给出n=0时刻电磁场的初值和媒质参数； 由磁场FDTD公式，根据n时间步的电场值和磁场值求得n+1时间步空间所有点的磁场分量； 由电场FDTD公式，根据n时间步的电场值和n+1时间步的磁场值求得n+1时间步空间所有点的电场分量； 如此迭代，可获得任何时刻空间所有点的电磁场值。每一过程常称为蛙跳法(leapfrog)。 对于连续变化的媒质，FDTD法需储存的量有n时间步和n+1时间步的六个场分量，六个D参数和六个C参数，所以总储存量近似为24N, N为空间网格数。但对于均匀媒质，D参数和C参数为常数，故总储存量减少为12N。
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（12） 媒质参数赋值 在所有空间点给电磁场分量赋初值 求所有空间离散点上n+1时间步的磁场 n=n+1 n>nmax 结 束 No Yes
2.3 以积分形式的Faraday和 Ampere 定理解释Yee算法（1） 上面介绍的FDTD算法是从点的观点对Maxwell方程微分形式中的两个旋度方程直接进行导数二阶中心差分近似得到的。 这种观点对理解FDTD如何模拟波在媒质中的传播是有用的。但是，当模拟细几何结构如导线、槽和曲面时，点的观点对于指导为了获得适当解需要作怎样的算法修正却帮助甚少。 为了解决这一问题，我们从积分形式的Ampere和Faraday定理出发来解释Yee算法。
2.3 以积分形式的Faraday和 Ampere 定理解释Yee算法（2） ( i+1/2, j+1/2, k-1/2 ) C2 S2 Ey ( i , j, k ) C1 S1 Ez Hx Hz 仅讨论自由空间的情况。考虑右图中实线网格的y-z平面上包围面积S1的矩形围线C1。 沿C1应用Faraday定理:
2.3 以积分形式的Faraday和 Ampere 定理解释Yee算法（3） 整理后便可得到自由空间中FDTD公式。
2.3 以积分形式的Faraday和 Ampere 定理解释Yee算法（4） 应用于图中虚线网格的x-z平面上包围面积S2的矩形围线C2，并作类似的假设，也可以得到相应的FDTD公式。 所以，FDTD公式既是微分形式的Maxwell旋度方程的中心差分近似，也自然满足积分形式的Ampere和Faraday定律。
2.4 Yee算法的无散性（1） 对于无源区域，满足Maxwell两个旋度方程的场也一定满足Maxwell的两个散度方程或它们的积分形式 下面证明对于从旋度方程近似而来的FDTD 公式也满足两个散度方程。
2.4 Yee算法的无散性（2） 在自由空间的一个Yee网格上考虑 ，有 利用磁场分量的FDTD公式，把与磁场分量时间导数相关 的电场空间有限差分代入上式中各项，可得
2.4 Yee算法的无散性（3） 于是 设初始时磁场为零，则 所以，对于无源区域，FDTD公式满足磁场Gauss定理，即对于磁场是无散的。
结 论 2 （1） 本讲介绍了求解矢量Maxwell方程的FDTD Yee算法，归纳起来，Yee算法的主要特点有： 结 论 2 （1） 本讲介绍了求解矢量Maxwell方程的FDTD Yee算法，归纳起来，Yee算法的主要特点有： Yee算法采用耦合的Maxwell旋度方程，同时在时间和空间求解电场和磁场，而不是采用波动方程只求解电场或磁场。 同时使用E和H信息比只使用其中一个的优点是获得的解更稳固（robust），即算法可以适用非常广泛的电磁波物理结构，并且电场和磁场的特性可以用更直接的方式模拟。 如果同时使用电场和磁场，每一种场的独立特性，如边沿和角处切向磁场的奇异性、细线附近磁场的奇异性以及靠近点、边沿和细导线处径向电场的奇异性就能够独立地模拟。
结 论 2 （2） Yee网格在三维空间这样安排E和H分量，使得每一个E或H分量由四个H或E循环的分量所环绕。 结 论 2 （2） Yee网格在三维空间这样安排E和H分量，使得每一个E或H分量由四个H或E循环的分量所环绕。 这提供了一幅三维空间中由相互交链的Faraday定理和Ampere定理围线阵列构成的优美而简单的图画。保证了Yee算法同时模拟了Maxwell方程点意义上的微分形式和宏观的积分形式。后者对于处理边界条件和奇异性是极其有用的。 旋度算子中空间导数的差分公式是二阶精度的中心差分。 如果不同材料的交界面平行于Yee网格的一个坐标轴，在交界面上切向E和H的连续性自然保持。 在Yee算法隐含地执行了两个高斯定律。所以，同时保证了无源区域中电磁场的无散性。
结 论 2（3） Yee算法以蛙跳算法在时间上安排E和H分量。在某一时刻，使用前一时刻的E数据计算所有H分量。然后，再使用刚计算的H数据计算所有的E分量。如此循环，直至完成时间步进过程。 蛙跳时间步进过程是全显式的，所以完全避免了因求解联立方程和矩阵求逆所带来的问题。 旋度方程中时间导数的差分公式是二阶精度的中心差分。 时间步进算法是无数值损耗的，即在网格中传播的数值波并不产生寄生衰减。
习 题 2 2.1 证明对于电场，Yee算法也满足Gauss定理，即对于电场Yee算法也是无散的。 习 题 2 2.1 证明对于电场，Yee算法也满足Gauss定理，即对于电场Yee算法也是无散的。 2.2 试推导二维TE模（Ez=0）和TM模（Hz=0）的FDTD Yee 算法。 2.3 编制二维TM模Yee 算法的程序。假设模拟区域为自由空间单位正方形，时间步为 ，x方向与y方向步长相等。模拟区域的边界为理想电导体。设在区域的中心电场分量Ez随时间按高斯或正弦变化。在外向波到达区域边界之前和之后的一些时刻求区域内的电场和磁场分布。对于正弦激励的情况，确定外向波振幅离开源点随径向距离的衰减特性，并与二维解析Green函数相比较。