选修3-5 第一章 动量守恒定律及其应用

知识点 1 动量 Ⅱ 1.定义 运动物体的_____和_____的乘积，通常用p来表示。 2.表达式 p=___。 3.单位 ________。 4.标矢性 动量是矢量，其方向和_____方向相同。 质量 速度 mv kg·m/s 速度

5.动量、动能、动量变化量的比较 名称 项目 动量 动能 动量变化量 定 义 物体的质量和_____的乘积 物体由于_____而具有的能量 物体末动量与初动量的_______ 定义式 p=____ Ek= Δp= _____ 矢标性 _____ 标量 矢量 特 点 状态量 _______ 关联方程 Ek= ,Ek= ,p= , p= 运动 速度 矢量差 mv p′-p 矢量 过程量

知识点 2 动量守恒定律及其应用 Ⅱ 1.动量守恒定律 (1)内容：如果一个系统_________，或者_______________ ______，这个系统的总动量保持不变。 (2)表达式： ①p=____，系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量 p′。 ②m1v1+m2v2=___________，相互作用的两个物体组成的系统， 作用前的动量和等于作用后的动量和。 ③Δp1=_____,相互作用的两个物体动量的增量等大反向。 ④Δp=__，系统总动量的增量为零。 不受外力 所受外力的矢量 和为0 p′ m1v1′+m2v2′ -Δp2

2.动量守恒定律的守恒条件 (1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零，不是系统内 每个物体所受的合外力都为零，更不能认为系统处于_____状 态。 (2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力_______它所受 到的外力。如碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等现象中系统的动量 近似守恒。 (3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统_____________动量守恒。但值得注意的是，系统 的总动量可能不守恒。 平衡 远大于 在这一方向上

知识点 3 弹性碰撞和非弹性碰撞 Ⅰ 1.碰撞 物体间的相互作用持续时间_____，而物体间相互作用力_____ 的现象。 2.特点 在碰撞现象中，一般都满足内力_______外力，可认为相互碰 撞的系统动量守恒。 很短 很大 远大于

3.分类 动量是否守恒 机械能是否守恒 弹性碰撞 守恒 _____ 非完全弹性碰撞 有损失 完全非弹性碰撞 损失_____ 守恒 最大

知识点 4 实验：验证动量守恒定律 1.方案一：利用气垫导轨完成一维碰撞实验 (1)测质量：用天平测出滑块质量。 (2)安装：正确安装好气垫导轨。 (3)实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞 前后的速度(①改变滑块的质量。 ②改变滑块的初速度大小和方向)。 (4)验证：一维碰撞中的动量守恒。

2.方案二：利用等长悬线悬挂等大小球完成一维碰撞实验 (1)测质量：用天平测出两小球的质量m1、m2。 (2)安装：把两个等大小球用等长悬线悬挂起来。 (3)实验：一个小球静止，拉起另一个小球，放下时它们相碰。 (4)测速度：可以测量小球被拉起的角度，从而算出碰撞前对应小球的速度，测量碰撞后小球摆起的角度，算出碰撞后对应小球的速度。 (5)改变条件：改变碰撞条件，重复实验。 (6)验证：一维碰撞中的动量守恒。

3.方案三：在光滑桌面上两车碰撞完成一维碰撞实验 (1)测质量：用天平测出两小车的质量。 (2)安装：将打点计时器固定在光滑长木板的一端，把纸带穿过打点计时器，连在小车的后面，在两小车的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥。 (3)实验：接通电源，让小车A运动，小车B静止，两车碰撞时撞针插入橡皮泥中，把两小车连接成一体运动。

(4)测速度：通过纸带上两计数点间的距离及时间由v= 算出速度。 (5)改变条件：改变碰撞条件，重复实验。 (6)验证：一维碰撞中的动量守恒。

4.方案四:利用斜槽上滚下的小球验证动量守恒定律 (1)用天平测出两小球的质量,并选定质量大的小球为入射小球。 (2)按照如图所示安装实验装置，调整固定斜槽使斜槽底端水 平。

(3)白纸在下,复写纸在上，在适当位置铺放好。记下重垂线所指的位置O。 (4)不放被撞小球,让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下,重复10次。用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面，圆心P就是小球落点的平均位置。 (5)把被撞小球放在斜槽末端,让入射小球从斜槽同一高度自由滚下,使它们发生碰撞,重复实验10次。用步骤(4) 的方法,标出碰后入射小球落点的平均位置M和被碰小球落点的平均位置N。如图所示。

(6)连接ON,测量线段OP、OM、ON的长度。将测量数据填入表中。 最后代入 ,看在误差允许的范围内是否 成立。 (7)整理好实验器材放回原处。 (8)实验结论:在实验误差范围内,碰撞系统的动量守恒。

【思考辨析】 (1)质量大的物体动量一定大。( ) (2)两物体动能相等，动量一定相等。( ) (3)运用动量守恒定律解题时，所列方程中的速度必须是相对同一参考系的速度。( ) (4)系统的动量守恒时，机械能也一定守恒。( ) (5)质量相等的两个物体发生碰撞时，一定交换速度。( ) (6)碰撞过程中若系统所受合外力不等于零，也可以应用动量守恒定律对系统进行分析。( ) (7)利用斜槽做“验证动量守恒定律”实验时，入射小球每次开始滚下的位置是变化的。( )

分析：动量等于运动物体质量和速度的乘积，动量大小与物体 质量大小、速度大小两个因素有关，(1)错。动量和动能的关 系为 ，两物体动能相同，质量关系不明确，并且动 量是矢量，动能是标量，(2)错。动量守恒定律中，系统中各 物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性系，各物体的 速度通常均为相对于地的速度，(3)对。因为两个守恒定律的 守恒条件不同，系统的动量守恒时，机械能不一定守恒，系统

的机械能守恒时，动量不一定守恒，(4)错。只有质量相等的两个物体发生一维的弹性碰撞时，系统的总动量守恒，总动能守恒，才会交换速度，否则不会交换速度，(5)错。若碰撞过程中，系统所受合外力不等于零，由于内力远大于外力，作用时间又很短，所以外力的作用可以忽略，因此也可应用动量守恒定律分析，或系统在某一方向上所受合外力为零时，在这一方向上系统的动量守恒，(6)对。入射小球每次都应从斜槽上同一位置由静止开始滚下，以保证入射小球每次与被碰小球碰撞时的速度保持不变，(7)错。

考点 1 动量守恒定律(三年6考) 深化理解 【考点解读】 1.动量守恒定律的“五性” 矢量性 动量守恒定律的表达式为矢量方程，解题应选取统一的正方向

相对性 各物体的速度必须是相对同一参考系的速度(如没有特殊说明，要选地球这个参考系)。如果题设条件中各物体的速度不是相对同一参考系时，必须转换成相对同一参考系的速度 同时性 动量是一个瞬时量，表达式中的p1、p2……必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，p1′、p2′ ……必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量，不同时刻的动量不能相加 系统性 研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统，而不是其中的一个物体，更不能题中有几个物体就选几个物体 普适性 动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，还适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统

2.碰撞现象满足的三个规律 (1)动量守恒 (2)机械能不增加 (3)速度要合理 ①若碰前两物体同向运动，则应有v后＞v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥ v后′。 ②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。

3.对反冲现象的三点说明 (1)系统内的不同部分在强大内力作用下向相反方向运动,通常用动量守恒来处理。 (2)反冲运动中,由于有其他形式的能转变为机械能,所以系统的总机械能增加。 (3)反冲运动中平均动量守恒。

4.爆炸现象的三个规律 (1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒。 (2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸前后系统的总动能增加。 (3)位置不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动。

【典例透析1】(2012·山东高考)光滑水平轨道上有三个木块A、B、C，质量分别为mA=3m、mB=mC=m，开始时B、C均静止，A以初速度v0向右运动，A与B碰撞后分开，B又与C发生碰撞并粘在一起，此后A与B间的距离保持不变。求B与C碰撞前B的速度大小。

【解题探究】(1)碰撞过程满足什么规律？ 提示：碰撞过程满足动量守恒。 (2)指出碰撞结束后“A与B间的距离保持不变”的含义。 ①碰后A与(B+C)整体的速度方向：_________。 ②碰后A与(B+C)整体的速度大小：_________。 方向相同 大小相等

【解析】设A与B碰撞后，A的速度为vA，B与C碰撞前B的速度为vB，B与C碰撞后粘在一起的速度为v，由动量守恒定律得 对A、B木块：mAv0=mAvA+mBvB ① 对B、C木块：mBvB=(mB+mC)v ② 由A与B间的距离保持不变可知vA=v ③ 联立①②③式，代入数据得vB= v0 答案： v0

【总结提升】应用动量守恒定律的解题步骤 (1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)； (2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒); (3)规定正方向，确定初末状态动量； (4)由动量守恒定律列出方程； (5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明。

【变式训练】如图所示，滑块A、C质量均为m,滑块B质量为 m。 开始时A、B分别以v1、v2的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的 挡板运动，现将C无初速度地放在A上，并与A粘合不再分开，此 时A与B相距较近，B与挡板相距足够远。若B与挡板碰撞将以原速 率反弹，A与B碰撞后将粘合在一起。为使B能与挡板碰撞两次，v1、v2应满足什么关系？

【解析】设向右为正方向，A与C粘合在一起的共同速度为v′，由动量守恒定律得mv1=2mv′ ① 为保证B碰挡板前A未能追上B，应满足v′≤v2 ② 设A、B碰后的共同速度为v″，由动量守恒定律得2mv′- mv2= mv″ ③ 为能使B与挡板再次相碰应满足v″>0 ④ 联立①②③④式解得 1.5v2<v1≤2v2或 v1≤v2< v1 答案：1.5v2<v1≤2v2或 v1≤v2< v1

考点 2 动量守恒与机械能守恒综合(三年5考) 拓展延伸 【考点解读】动量守恒定律与机械能守恒定律的比较 定律名称 比较项目 动量守恒定律 机械能守恒定律 相 同 点 研究对象 相互作用的物体组成的系统 研究过程 某一运动过程

定律名称 比较项目 动量守恒定律 机械能守恒定律 不 同 点 守恒条件 系统不受外力或所受外力的矢量和为零 系统只有重力或弹力做功 表达式 p1+p2=p1′+p2′ 表达式的 矢标性 矢量式 标量式 某一方向上应用情况 可在某一方向上独立使用 不能在某一方向独立使用 运算法则 矢量运算 代数运算

【典例透析2】(2012·新课标全国卷) 如图,小球a、b用等长细线悬挂于同一 固定点O,让球a静止下垂,将球b向右拉 起,使细线水平。从静止释放球b,两球 碰后粘在一起向左摆动,此后细线与竖 直方向之间的最大偏角为60°。忽略空气阻力,求： (1)两球a、b的质量之比; (2)两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比。

【解题探究】(1)试分析碰前球b及碰后(a+b)整体受到哪些力，哪些力不做功？ ①受到的力：___________。 ②不做功的力：_____。 (2)球b与球a碰撞前、碰撞后满足什么规律？ 提示：满足机械能守恒。 (3)球b与球a碰撞过程满足什么规律？ 提示：满足动量守恒。 重力、弹力 弹力

【解析】(1)设小球a、b质量分别为m1、m2，细线长为L，b球摆至最低点与a球碰撞前的速度为v0，碰撞后的速度为v，则对b球摆至最低点,由机械能守恒得 m2gL= m2v20 ① 最低点小球a、b碰撞由动量守恒定律得 m2v0=(m1+m2)v ② 小球a、b一起摆至最高点，由机械能守恒得 (m1+m2)v2=(m1+m2)gL(1-cosθ) ③ 联立①②③式得 ④

并代入题给数据得 ⑤ (2)两球在碰撞过程中损失的机械能是 Q=m2gL-(m1+m2)gL(1-cosθ) ⑥ 联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek=m2gL之比为 ⑦ 联立⑤⑦式，并代入数据得 ⑧ 答案：(1) (2)

【总结提升】利用动量和能量的观点解题的技巧 (1)若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)。 (2)若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理。 (3)因为动量守恒定律、能量守恒定律(机械能守恒定律)、动能定理都只考查一个物理过程的始末两个状态有关物理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的方便之处。特别对于变力做功问题，就更显示出它们的优越性。

【变式训练】(2013·青岛模拟) 如图所示，质量M=4 kg的滑板B静止 放在光滑水平面上，其右端固定一根 轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0.5 m，这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ=0.2，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑。木块A以速度v0=10 m/s由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动。已知木块A的质量m=1 kg，g取10 m/s2。求： (1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度； (2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能。

【解析】(1)弹簧被压缩到最短时，木块A与滑板B具有相同的速度，设为v，从木块A开始沿滑板B表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中，A、B系统的动量守恒： mv0=(M+m)v 解得v= 代入数据得木块A的速度v=2 m/s

(2)木块A压缩弹簧过程中，弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大。 由能量关系，最大弹性势能 代入数据得Ep=39 J。 答案：(1)2 m/s (2)39 J

考点 3 动量守恒与其他知识的综合(三年11考) 拓展延伸 【考点解读】 (1)动量守恒与动能定理、功能关系、圆周运动、运动学知识、牛顿运动定律综合。 (2)动量守恒与机械能守恒、运动学公式、牛顿运动定律综合。 (3)动量守恒与机械能守恒、平抛运动规律综合。 (4)动量守恒与能量守恒、核反应知识综合。 (5)动量守恒与运动学知识综合。 (6)动量守恒与混合场(重力场和电场)、向心力、平抛运动、能量综合。

【典例透析3】(2012·安徽 高考)如图所示，装置的左 边是足够长的光滑水平台面， 一轻质弹簧左端固定，右端 连接着质量M=2 kg 的小物块A。装置的中间是水平传送带， 它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带始终以u= 2 m/s的速率逆时针转动。装置的右边是一光滑曲面，质量m= 1 kg的小物块B从其上距水平台面高h=1.0 m处由静止释放。

已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ=0. 2，l=1 已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，l=1.0 m。设物块A、B间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A静止且处于平衡状态。取g=10 m/s2。 (1)求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小。 (2)通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边的曲面上？

【解题探究】(1)如何判断物块B在传送带上运动时所受摩擦力的方向？ (3)分析“物块A、B间发生的是对心弹性碰撞”的含义： ①动量方面：_____________。 ②能量方面：_____________。 满足动量守恒 满足动能守恒

【解析】(1)对B，自开始至曲面底端时，由机械能守恒定律得： mBgh= mBvB2 ① ② 设B在传送带上速度减为2 m/s时经过的位移为x， 则： ③ 故B在传送带上一直做减速运动，设B到达传送带左端时速度大 小为vB′由vB2-vB′2=2μgl得： vB′= =4 m/s。 ④ 此后B以4 m/s的速度滑向A 即物块B与物块A第一次碰前的速度大小为4 m/s。

(2)设物块B与物块A第一次碰撞后的速度大小分别为vB1、vA1， 由动量守恒定律得：mBvB′=mAvA1-mBvB1 ⑤ 由能量守恒定律得： mBvB′2= mBvB12+ mAvA12 ⑥ 由以上两式解得： vA1= vB′= m/s，vB1= vB′= m/s ⑦

即第一次碰撞后，B以 m/s的速度滑上传送带，设B向右减速为0时经过的位移为x′： 则： ⑧ 所以B不能运动到右边的曲面上。 答案:(1)4 m/s (2)见解析

【总结提升】动量守恒与其他知识综合问题的求解方法 动量守恒与其他知识综合问题往往是多过程问题。解决这类问题首先要弄清物理过程，其次是弄清每一个物理过程遵从什么样的物理规律。最后根据物理规律对每一个过程列方程求解，找出各物理过程之间的联系是解决问题的关键。

【变式训练】(2012·天津高考) 如图所示,水平地面上固定有高 为h的平台,台面上有固定的光滑 坡道,坡道顶端距台面高也为h, 坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下,到达水平光滑的台面后与静止在台面上的小球B发生碰撞,并粘连在一起,共同沿台面滑行并从台面边缘飞出,落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半。两球均可视为质点,忽略空气阻力,重力加速度为g。求: (1)小球A刚滑至水平台面的速度vA; (2)A、B两球的质量之比mA∶mB。

【解析】(1)小球从坡道滑至水平台面的过程中，机械能守恒, 则:mAgh= mAv2A 解得:vA= (2)设两球碰撞后共同的速度为v，由动量守恒定律得: mAvA=(mA+mB)v 粘在一起的两球飞出台面后做平抛运动，设运动时间为t， 则在竖直方向上有:h= gt2 在水平方向上有: =vt 由以上各式联立解得:mA∶mB=1∶3 答案:(1) (2)1∶3

考点 4 实验：验证动量守恒定律(三年1考) 深化理解 【考点解读】 1.实验时应注意的几个问题 (1)前提条件：碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。 (2)方案提醒： ①若利用气垫导轨进行实验，调整气垫导轨时，注意利用水平仪确保导轨水平。

②若利用摆球进行实验，两小球静放时球心应在同一水平线上，且刚好接触，摆线竖直，将小球拉起后，两条摆线应在同一竖直平面内。 ③若利用长木板进行实验，可在长木板下垫一小木片用以平衡摩擦力。 ④若利用斜槽进行实验，入射球质量要大于被碰球质量，即：m1＞m2，防止碰后m1被反弹。 (3)探究结论：寻找的不变量必须在各种碰撞情况下都不改变。

2.对实验误差的分析 (1)系统误差：主要来源于装置本身是否符合要求，即： ①碰撞是否为一维碰撞。 ②实验是否满足动量守恒的条件：如气垫导轨是否水平，两球是否等大，长木板实验是否平衡掉摩擦力等。 (2)偶然误差：主要来源于质量m和速度v的测量。 (3)减小误差的措施： ①设计方案时应保证碰撞为一维碰撞，且尽量满足动量守恒的条件。 ②采取多次测量求平均值的方法减小偶然误差。

【典例透析4】(2011·北京高考)如图，用“碰撞实验器”可以验证动量守恒定律，即研究两个小球在轨道水平部分碰撞前后的动量关系。 (1)实验中，直接测定小球碰撞前后的速度是不容易的。但是，可以通过仅测量_________(填选项前的符号)，间接地解决这个问题。 A.小球开始释放高度h B.小球抛出点距地面的 高度H C.小球做平抛运动的射程

(2)图中O点是小球抛出点在地面上的垂直投影，实验时先让入射球m1多次从斜轨上S位置静止释放，找到其平均落地点的位置P，测出平抛射程OP，然后，把被碰小球m2静置于轨道的水平部分，再将入射球m1从斜轨上S位置静止释放，与小球m2相碰，并多次重复。 接下来要完成的必要步骤是________。(填选项前的符号) A.用天平测量两个小球的质量m1、m2 B.测量小球m1开始释放高度h C.测量抛出点距地面的高度H D.分别找到m1、m2相碰后平均落地点的位置M、N E.测量平抛射程OM、ON

(3)若两球相碰前后的动量守恒，其表达式可表示为_______________［用(2)中测量的量表示］； 若碰撞是弹性碰撞，那么还应满足的表达式为________________________［用(2)中测量的量表示］。

(4)经测定，m1=45.0 g，m2=7.5 g，小球落地点的平均位置距O点的距离如图所示。碰撞前、后m1的动量分别为p1与p1′，则p1∶p1′=______∶11。若碰撞结束时m2的动量为p2′，则p1′∶p2′=11∶________。 实验结果说明，碰撞前、后总动量的比值 为__________。

(5)有同学认为，上述实验中仅更换两个小球的材质，其他条件不变，可以使被碰小球做平抛运动的射程增大。请你用(4)中已知的数据，分析和计算出被碰小球m2平抛运动射程ON的最大值为___________cm。

【解题探究】(1)平抛初速度利用什么来代替？ 提示：利用平抛运动的射程。 (2)验证动量守恒和动能守恒需要知道哪些物理量？ 提示：相碰的两个小球的质量和碰撞前后的速度。 (3)分析被碰小球获得的速度最大时满足的两个规律： ①_________；②_________。 动量守恒 动能守恒

【解析】(1)在落地高度不变的情况下，水平位移就能反映平抛初速度的大小，所以，仅测量小球做平抛运动的射程就能间接地测量速度。因此选C。 (2)找出平均落地点的位置，测量平抛的水平位移，因此必须有的步骤是D、E，且先D后E，至于用天平测质量先后均可。所以答案是ADE或DAE或DEA。

(3)设落地时间为t，则v1= ，v1′= ，v2′= ，动量守恒的表达式是m1v1=m1v1′+m2v2′，动能守恒的表达式是 m1v12= m1v1′2+ m2v2′2，所以若两球相碰前后的动量守恒，则m1·OM+m2·ON=m1·OP成立，若碰撞是弹性碰撞，动能守恒，则m1·OM2+m2·ON2=m1·OP2成立。

(4)碰撞前、后m1动量之比 ，

(5)发生弹性碰撞时，被碰小球获得的速度最大，根据动量 守恒和动能守恒，m1v1=m1v1′+m2v2′， m1v12= m1v1′2+ m2v2′2 ，联立解得v2′= ，因此， 最大射程为 ×44.80 cm=76.80 cm 答案：(1)C (2)ADE或DAE或DEA (3)m1·OM+m2·ON=m1·OP m1·OM2+m2·ON2=m1·OP2 (4)14 2.9 1～1.01均可 (5)76.80

【总结提升】利用斜槽小球碰撞验证动量守恒的注意事项 (1)斜槽末端的切线必须水平； (2)入射小球每次都必须从斜槽同一高度由静止释放； (3)选质量较大的小球作为入射小球； (4)实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持不变。

【变式训练】(2013·潍坊模拟)某同学用如图所示装置来研究碰撞过程，第一次单独让小球a从斜槽某处由静止开始滚下。落地点为P，第二次让a从同一位置释放后与静止在斜槽末端的小球b发生碰撞。a、b球的落地点分别是M、N，各点与O的距离如图所示。该同学改变a的释放位置重复上述操作。由于某种原因他只测得了a球的落地点P′、M′到O的距离分别为 22.0 cm、10.0 cm。求b球的落地点N′到O的距离。

【解析】设a球的质量为m1，b球的质量为m2,碰撞过程中满足动量守恒定律， ，解得m1∶m2=4∶1。 改变a的释放位置，有 ， 解得： =48.0 cm。 答案：48.0 cm