第四章 动量和动量守恒

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一、基本概念： 1．动量：按定义，物体的质量和速度的乘积叫 做动量：p=mv。 （1）动量是描述物体运动状态的一个状态量， 它与时刻相对应。 （2）动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。 （3）动量的相对性：由于物体的速度与参考系的选取有关，所以物体的动量也与参考系选取有关，因而动量具有相对性。题中没有特别说明的，一般取地面或相对地面静止的物体为参考系。

（4）动量的变化：，由于动量为矢量，则求 解动量的变化时，其运算遵循平行四边形定 则。 A、若初末动量在同一直线上，则在选定正方 向的前提下，可化矢量运算为代数运算。 B、若初末动量不在同一直线上，则运算遵循平行四边形定则。 2．冲量：按定义，力和力的作用时间的乘积 叫做冲量：I=Ft。 （1）冲量是描述力的时间积累效应的物理量， 是过程量，它与时间相对应。

（2）冲量是矢量，它的方向由力的方向决定 （不能说和力的方向相同）。如果力的方向 在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就 和力的方向相同。对于方向不断变化的力的 冲量，其方向可以通过动量变化的方向间接 得出。 （3）高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲 量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动 量定理通过物体的动量变化来求。 （4）要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。

3．碰撞的分类： 一般碰撞——动量守恒、动能有损失； 完全非弹性碰撞（碰后两者速度相同）——动量守恒、动能损失最大； 完全弹性碰撞——动量守恒、动能守恒； 4．反冲运动：在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其它能向动能转化。可以把这类问题统称为反冲。

二、基本规律： 1．动量定理：合外力的冲量（外力冲量的矢量和，积累效应的体现）等于动量的增量，即I=Δp。 （可求变力的冲量）。 （1）动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。 （2）动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。

（3）现代物理学把力定义为物体动量的变化 率： （牛顿第二定律的动量形式）。 （4）动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。 （5）应用： ①定性应用 【例1】 鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？

【例2】某同学要把压在木块下的纸抽出来。 第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动； 第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被 拉动了。这是为什么？ 解析：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力冲量的大小。 F

【例3】 一粒钢珠从静止状态开始自由下落， 然后陷人泥潭中。若把在空中下落的过程称 为过程Ⅰ，进人泥潭直到停止的过程称为过 程Ⅱ， 则( ) A、过程I中钢珠的动量的改变量等于重力的冲 量 B、过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重 力的冲量的大小 C、I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零 D、过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零

②定量计算： 【例4】质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t1到达沙坑表面，又经过时间t2停在沙坑里。求：⑴沙对小球的平均阻力F；⑵小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。 A B C

【例5】 质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？ m M v0 v/

【例6】 一个质量为m=2kg的物体，在F1=8N的水平推力作用下，从静止开始沿水平面运动了t1=5s，然后推力减小为F2=5N，方向不变，物体又运动了t2=4s后撤去外力，物体再经 过t3=6s停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。 ③在F－t图中的冲量： F－t图上的“面积”表示冲量的大小。 t F O

【例7】如果物体所受空气阻力与速度成正比,当以速度v1竖直上抛后,又以速度v2返回出发点。这个过程共用了多少时间? 解析：作出v-t图线，s1=s2=h，由于阻力与速度大小成正比，在图中作出f-t图线，则图线下方的面积一定相等（ ），“面积”表示上升和下降阻力的冲量，即有If 1=If 2，对全过程由动量定理mgt=m（v1+v2），解得t=（v1+v2）/g。

2．动量守恒定律：（普适定律） （1）表述：一个系统不受外力或所受合外力为零（某方向合外力为零），这个系统总动量保持不变（某方向动量守恒）。 即：

（2）动量守恒定律成立的条件 ①系统不受外力或者所受外力之和为零； ②系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略 不计； ③系统在某一个方向上所受的合外力为零，则 该方向上动量守恒。 ④全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。 （3）动量守恒定律的表达形式 ① ，即p1+p2=p1/+p2/，

②Δp1+Δp2=0，Δp1= -Δp2 和 （4）动量守恒定律的重要意义 从现代物理学的理论高度来认识，动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。（另一个最基本的普适原理就是能量守恒定律。）从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发现动量守恒定律有任何例外。相反，每当在实验中观察到似乎是违反动量守恒定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最后总是以有新的发现而胜利告终.

（5）应用： ①完全弹性碰撞（被碰物体初速为零） 解得 若 , 即速度交换； 若 ； 若 。

【例1】 质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m的小球以速度v1向物块运动。不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v。 【例2】 动量分别为5kgm/s和6kgm/s的小球A、B沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A追上B并发生碰撞后。若已知碰撞后A的动量减小了2kgm/s，而方向不变，那么A、B质量之比的可能范围是什么？ v1

②完全非弹性碰撞（作用后两物体速度相等，动能损失最大） 若 ，

【例3】 设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。 s2 d s1 v0 v

③反冲运动（静止的系统M+m，发射出m） 矢量式 或投影式 【例4】 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？ 【例5】 总质量为M的火箭模型 从飞机上释放时的速度为v0，速度方向水平。火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？

④爆炸（质量为M的物体，炸裂为两块，其中一块质量为m） 【例6】 抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s，这时突然炸成两块，其中大块质量300g仍按原方向飞行，其速度测得为50m/s，另一小块质量为200g，求它的速度的大小和方向。

⑤某一方向上的动量守恒 【例7】 如图所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当线绳与A B成θ角时，圆环移动的距离是多少？

【例8】如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M,A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：（1）A、B最后的速度大小和方向； （2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小。

【例9】两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为，，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量的滑块C（可视为质点），以的速度恰好水平地滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为3.0m/s，求： （1）木块A的最终速度； （2）滑块C离开A时的速度。

三、基本方法： 1．确定研究对象（系统）和研究过程：研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。 2．分析物体（系统）的受力（判断合外力是否为零，动量守恒）：对各阶段所选系统内的物体进行受力分析，只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力，所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。

3．分析运动过程及运动特点：明确所研究的相互作用过程，确定过程的始、末状态，即系统内各个物体的初动量和末动量的量值或表达式。 注意：在研究地面上物体间相互作用的过程时，各物体运动的速度均应取地球为参考系。 4．规定正方向，列动量定理或动量守恒定律方程：写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）。确定好正方向建立动量守恒方程求解。

四、实验： 1.碰撞中的动量守恒。验证动量守恒定律 由于v1、v1/、v2/均为水平方向，且它们的竖直下落高度都相等，所以它们飞行时间相等，若以该时间为时间单位，那么小球的水平射程的数值就等于它们的水平速度。在右图中分别用OP、OM和O /N表示。因此只需验证：m1OP=m1OM+m2(O /N-2r）即可。 O O / M P N 2r 重垂线

注意事项： （1）必须以质量较大的小球作为入射小球（保证碰撞后两小球都向前运动）。 （2）小球落地点的平均位置要用圆规来确定：用尽可能小的圆把所有落点都圈在里面，圆心就是落点的平均位置。 （3）所用的仪器有：天平、刻度尺、游标卡尺（测小球直径）、碰撞实验器、复写纸、白纸、重锤、两个直径相同质量不同的小球、圆规。 （4）若被碰小球放在斜槽末端，而不用支柱，那么两小球将不再同时落地，但两个小球都将从斜槽末端开始做平抛运动，于是验证式就变为：m1OP=m1OM+m2ON，两个小球的直径也不需测量了。