第三章 刚体和流体

§3-1 刚体及其运动规律 刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变 在力的作用下不发生形变的物体

3-1-1 刚体的运动 平动和转动 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。 平动： 注： 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。

转动： 刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转动： 转轴固定不动的转动。

3-1-2 刚体对定轴的角动量 质元：组成物体的微颗粒元 质元对点的角动量为 沿转轴Oz的投影为

刚体对Oz轴的角动量为 令 单位： 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。

刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。 结论： 对于质量连续分布的刚体： （面质量分布） （线质量分布）

例1 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。 解： o x z dx dm x O

例2 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解： o R r dr

若刚体对过质心的轴的转动惯量为JC ，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为JC ，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是 m R Jz JC

回转半径 设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为： z

例3 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。） 解： 摆杆转动惯量： r O 摆锤转动惯量：

3-1-3 刚体对定轴的角动量定理 和转动定律 由质点系对轴的角动量定理，可得 两边乘以dt，并积分 3-1-3 刚体对定轴的角动量定理 和转动定律 由质点系对轴的角动量定理，可得 两边乘以dt，并积分 刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。

转动定律： 转动惯量J是刚体转动惯性的量度 当 J 转动惯量是一个恒量时，有 或 刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 转动惯量J是刚体转动惯性的量度

例4 质量为m0 =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求：（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离；（2）绳子的张力。 解： m0 m mg FT

例5 一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在O点，距A端 l/3 处。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度;（2）垂直位置时的角速度和角加速度。 解： C O B A （1）

（2） C O B A

例6 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为0，绕中O心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为） 解： dr r O R

3-1-4 刚体对定轴的角动量守恒定律 恒量 刚体对定轴的角动量守恒定律： 刚体对定轴的角动量定理 当 时 当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。 注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。

说明： 1. 物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。 2. 几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒

3-1-5 力矩的功 力矩： 力矩对刚体所作的功： 力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。 功率：

3-1-6 刚体的定轴转动动能和动能定理 z 第i个质元的动能： mi 整个刚体的转动动能：

设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功： 由转动定律 有 刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

例7 质量为m0 ，长为2l 的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。 解： 由系统角动量守恒 O u 机械能守恒

y 设碰撞时间为t O u 消去t

例8 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。 解： 角动量守恒： 机械能守恒：

例9 一质量为m0 ，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？ 解： m0 FT m m mg 解得

例10 长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：⑴ 细直杆的质量m0；⑵ 碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力） 解： ⑴ 按角动量守恒定律 系统的动能守恒

解得 系统的机械能守恒，有

§3-2 流体力学简介 流体：液体和气体 流体特征： 具有流动性； 没有固定的形状。 流体力学是研究流体的宏观运动规律的学科

3-2-1 静止流体的压强 1. 静止流体内的压强 结论：F 必定垂直于S 面，且指向S 面。 静止流体内的相互作用力只能是一种压力。 A B A S 1. 静止流体内的压强 结论：F 必定垂直于S 面，且指向S 面。 静止流体内的相互作用力只能是一种压力。 B S B S B S

1atm＝1.013×105 Pa 流体压强： 实验与理论证明： 某一点处的压强大小只取决于该点的位置，而与压强的作用面的取向无关 。 压强的单位： 帕斯卡（ Pa ） 1Pa＝1N·m－2 不推荐使用的压强单位： 标准大气压（atm） 1atm＝1.013×105 Pa

2. 静止流体内的压强分布 结论：在同一静止流体内，位于同一水平面上各点的压强处处相等 。

设流体的密度ρ为恒量 上端压力 下端压力 重力 结论：在同一种静止流体内，高度差为h的任何两点之间的压强差皆等于ρgh 。

设静止液体自由表面上的环境压强为大气压强 绝对压强： p 相对压强： （计示压强） 真空度：

3. 静止流体内压强公式的物理意义 液体中A点的压强： ρ为液体的密度 pamb为环境压强 恒量

对于液体中的任意两点，有 质元重力势能： 单位重量质元的重力势能：z 单位重量的液体质元获得的重力势能： 结论：静止液体内任一点的单位重量流体的重力势能和压力势能之代数和为一恒量。 压力势能

例1 自水塔池引出一条管道向用户供水。今将阀门B关闭，问此时阀门B处的计示压强为多大？设水塔内水面在阀门B以上高h＝22 m处，且塔顶与大气相通。 解

3-2-2 理想流体 理想流体的连续性方程 1. 理想流体 理想流体：不可压缩、又没有粘性的流体。 3-2-2 理想流体 理想流体的连续性方程 1. 理想流体 理想流体：不可压缩、又没有粘性的流体。 理想流体的密度ρ为恒量；在流动时各相邻流层之间就不存在相互作用的切向力（内摩擦力）。 动压强： 运动的理想流体内部的压强。 动压强与静止的实际流体内的压强（即静压强）具有相同的性质，其内部某一点的压强沿各方向都是相等的。

2．定常流动 流线和流管 定常流动：流体流经空间各点的流速不随时间而变化的流动。 流线： 2．定常流动 流线和流管 定常流动：流体流经空间各点的流速不随时间而变化的流动。 流线： 某时刻位于曲线上各点处质元的流速方向沿曲线的切线方向； 垂直通过单位面积的流线条数在数值上等于该处流速的大小。

定常流动时，流管的形状不随时间而变 流管：在流体内任取一条微小的封闭曲线，通过该封闭曲线上各点的流线所围成的细管。 升力 空气流高速 空气流低速 升力 空气流低速、压强较高 空气流高速、压强较低 流管：在流体内任取一条微小的封闭曲线，通过该封闭曲线上各点的流线所围成的细管。 定常流动时，流管的形状不随时间而变

3．连续性方程 A端流入的流体质量 B端流出的流体质量 理想流体有 流量： 单位：

连续性方程： 流体的连续性原理： 理想流体做定常流动时，同一流管中任一横截面通过的流量为一恒量。 结论：同一流管中横截面积越小处，其流速越大；反之，横截面积越大处，其流速越小。

3-2-3 理想流体定常流动的伯努利方程 瑞士物理学家、数学家伯努利（D.Bernoulli，1700 －1782）。1738年撰写和出版了《流体动力学》一书，建立了反映理想流体做定常流动时能量关系的伯努利方程。

通过ΔS1的体积： AA＇ 通过ΔS2的体积： BB＇ 因为 所以 合外力对整段流体所做的功：

设流体的密度为ρ ；进入断面ΔS1的质量为 AA＇： BB＇： 动能增量： 势能增量：

由功能原理 简化后 伯努利方程： 恒量

：压力头 ：速度头 z： 位置头 伯努利方程：理想流体做定常流动时，在同一条流管内任一横截面上，压力头、速度头和位置头三者之和为一恒量。

例2 试分析如图所示喷雾器的工作原理。 解 ：基准面 连续性方程：

伯努利方程： = 恒量 结论：v 越大，p 越小 空吸作用： 当 液体被吸出。