第七章 位能

Ch07 位能

位能 位能是一種與組成系統各物體間相互作用力有關的能量 此處所指的力為系統內部的作用力 Ch07 位能

7.1 系統的位能

位能的形成 位能的種類有下列幾種： 重力位能 電磁位能 化學能 核能 於系統內，某種形式的位能有可能轉變成另一種形式的位能 Ch07 位能

以一個系統為例 此一系統包含地球與書 以將書舉高 Dy 的方式對系統做功 所做的功等於 mgyb－mgya Ch07 位能

位能 儲存有力學能的能量稱為位能 任一位能只和特定的力相關 位能通常存在於二個或更多個相互作用物體的系統中 Ch07 位能

重力位能 重力位能反應出物體距離地球表面某一高度所對應的能量 假設物體處在平衡條件下，且以等速度運動 對物體所做的功是由力 與向上的位移 二者運算得來 Ch07 位能

重力位能 mgy三者相乘的結果稱為重力位能 Ug 重力位能的單位是焦耳(J) Ch07 位能

重力位能 重力位能只和物體距地面的垂直高度有關 在解題時，首先需建構一個參考平面，將某一位能值設定在該平面上，通常都會將它定為零 對參考平面所選定的位能，可以為任意值，通常我們有興趣的是位能差值，這與所選擇的參考平面位能為多少沒有關聯。 Ch07 位能

簡答題 7.1 選擇正確的答案。系統的重力位能 (a) 總是正的；(b) 總是負的；或 (c) 可能負或正。 Ch07 位能

簡答題 7.2 一物體從桌上掉至地板。我們希望藉由動能和位能分析此狀況。討論系統的位能下，我們所定義的系統為 (a) 物體和地球兩者；(b) 只有物體；(c) 只有地球。 (a)。如果我們要討論重力位能的行為，則我們必須包含地球。 Ch07 位能

7.2 孤立系統

力學(機械)能守恆 系統的力學能為系統的動能與位能的代數和 對於一個孤立系統而言，其力學能守恆可表示成 Kf + Ugf = Ki+ Ugi Emech = K + Ug 對於一個孤立系統而言，其力學能守恆可表示成 Kf + Ugf = Ki+ Ugi 所謂的孤立系統，是指能量無法穿越系統的邊界 Ch07 位能

力學能守恆的例題 來看看一本書自某一較高的高度落到較低點時，書本所做的功。 Won book = DKbook 又，W = mgyb – mgya 所以，DK = –DUg Ch07 位能

簡答題 7.3 從建築物的頂端把三個相同的球丟出去，三個都有相同的初速率。第一個球被水平丟出，第二個球以高於水平線某一個角度拋出，第三個球是以低於水平線相同的角度拋出，如互動圖7.3。忽略空氣阻力，比較當它們落地時的速度。 Ch07 位能

簡答題 7.3 Ch07 位能

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簡答題 7.3 v1 = v2 = v3。第一球和第三球在它們丟出後加速，然而第二球一開始減速然後在到達高點後加速。這三個球的路徑皆為拋物線，且到達地面的時間皆不同，因為它們有不同的初速度。但是，所有的三個球在碰到地面的當時有相同的速率，因為它們一開始具有相同的動能和因為在此三種情形下，球－地球的系統遭受相同的重力位能改變。 Ch07 位能

例題7.1 一質量 m 的球從高於地面 h 的高度落下，如圖7.4所示。 A.忽略空氣阻力，求距地面為 y 高度時的速率。 解答 Ch07 位能

例題7.1(續) Ch07 位能

例題7.1(續) B.若在起始高度 h 時有初速率 ，試求在高度 y 時的速率。 解答 Ch07 位能

例題7.2 你設計一套裝置用來支持一位65 kg的演員，他在演出期間飛降至舞台上。演員的鎧甲附上一130 kg的沙包，藉由一輕鋼纜繞過兩個無摩擦的滑輪平順的滑動，如圖7.5a所示。在鎧甲和最近的滑輪間的纜線需3.0 m，以便滑輪能藏於布簾內。當這個裝置能成功的運轉，則演員從舞台上方飛至地板時，沙包絕不能離開地板。當演員從靜止開始運動時，演員上的纜線和垂直線的夾角定義為 。則在演員飛行時，沙包未離開地板， 的最大值為何？ 解答 Ch07 位能

例題7.2(續) Ch07 位能

例題7.2(續) Ch07 位能

例題7.2(續) Ch07 位能

例題7.2(續) Ch07 位能

7.3 保守力和非保守力

保守力 構成系統的任二物體之間，它們相互作用的力若不會導致系統內力學能的移轉時，此力稱為保守力。 保守力對一物體作用時，其所做的功和物體移動所經過的路徑無關。 保守力對一物體（質點）所做的功，當該物體移動的路徑為一封閉迴路時，所做的功為零。 Ch07 位能

非保守力 所有不符合保守力條件的力均為非保守力 非保守力對一系統作用，會導致系統的力學能改變 Ch07 位能

關於非保守力的例子 摩擦力是非保守力中的一個 摩擦力所做的功與物體移動的路徑有關 圖中紅色路徑所做的功較藍色路徑為多。 Ch07 位能

彈力位能 彈力位能是彈簧的一種能量， 外力對彈簧－木塊系統所做的功可表示成 此力所做的功等於系統最初與最後二種狀態間能量的差值 Ch07 位能

彈力位能 彈力位能可表示為： 彈力位能可看作是彈簧變形時儲存在彈簧內的能量 這些儲存在彈簧內的能量可以轉變為動能 Ch07 位能

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彈力位能 當彈簧沒有變形時，儲存在彈簧內的彈力位能為零 (當 x = 0 時 U = 0 ) 只有當彈簧被拉長或被壓縮時，彈簧才具有彈力位能 在彈簧處於其最大伸長量或最大壓縮量時，儲存在彈簧內的彈力位能最大。 彈力位能永遠大於零 這是因為 x2 恆為正 Ch07 位能

能量守恆 將目前為止我們所介紹過的所有能量一併考量，能量守恆的數學式可表為 或 動能 K 是系統中所有物體的動能 U 是所有各種不同形式位能的總和 Ch07 位能

孤立系統的解題步驟 概念：對所謂的孤立系統加以定義，同時對系統的初、末狀態加以界定。 系統可能包括二個或二個以上相互作用的質點。 系統也可能含有彈簧或其他類似的裝置，它們可以儲存彈力位能 也可能包含那些系統中相互作用的各個部分 Ch07 位能

孤立系統的解題步驟 分類：判定是否有能量穿越系統的邊界 分析：確定系統的零位能位置 若有，則採用非孤立系統形式，DEsystem = ST 判別題目中是否有保守力的存在 分析：確定系統的零位能位置 這些位能包含重力位能與彈力位能 假如系統中有一個以上的作用力，每一作用力都要有一個對應的位能表示方法。 Ch07 位能

孤立系統的解題步驟 如果出現摩擦力或空氣阻力，那麼，系統的力學能不守恆。 能量方程式需以非保守力的特殊關係加以取代 系統的最初與最後狀態的能量差，等於非保守力作用下轉變成的內能，或由內能提供出來的能量。 如果系統的力學能守恆，則系統的初、末狀態總能可寫成： Ei = Ki + Ui　系統初狀態的總能 Ef = Kf + Uf　系統末狀態的總能 由於力學能守恆，如 Ei = Ef ，可以由此一等式中求得未知量 Ch07 位能

力學能與非保守力 一般而言，如果系統有摩擦力作用時， 式中 DU 是所有形式的位能變化量 若摩擦力為零，上式即與力學能守恆式相同 Ch07 位能

簡答題 7.4 一球以一輕彈簧連接且垂直懸掛著。當球從平衡位置往下移動並釋放，則球上下震盪。(i) 在球、彈簧和地球的系統下，在運動期間有何能量形式？(ii) 在球和彈簧的系統下，在運動期間有何能量形式？(a) 動能和彈性位能；(b) 動能和重力位能；(c) 動能、彈性位能和重力位能；(d) 彈性位能和重力位能。 Ch07 位能

簡答題 7.4 (i)，(c)。此系統表示出動能的改變和兩種形式的位能改變。(ii)，(a)。因為地球並未包含於系統內，將沒有和系統相關的重力位能。 Ch07 位能

例題7.3 在一裝卸貨物的地點，一個3.00 kg的條板箱從斜板滑下，斜板是1.00 m長，30.0° 傾斜角，如圖7.8所示。條板箱由斜坡頂點靜止滑下，受到一固定的摩擦力5.00 N。利用能量的方法求出條板箱到達底部的速率。 解答 Ch07 位能

例題7.3(續) Ch07 位能

例題7.3(續) Ch07 位能

非保守力例題（滑行） Ch07 位能

例題7.4 如圖7.9所示，一個質量為 m 的小孩在一不規則形狀，高度為 h = 2.00 m的曲線滑梯上滑下。起先，小孩子靜止在頂端。 A.求出孩子在底部的速率，假設沒有摩擦力。 解答 Ch07 位能

例題7.4(續) Ch07 位能

例題7.4(續) B.假設有一摩擦力作用在20.0 kg的小孩身上，且他到達底部的速率 vf = 3.00 m/s，有多少系統的力學能因此損失掉？ 解答 Ch07 位能

非保守力例題(彈簧－質量系統) 若沒有摩擦力作用，能量就一直在動能與彈力位能間相互轉換，系統的總能量保持一定 如果有摩擦力作用，系統的力學能會越來越少 Ch07 位能

例題7.5 如圖7.10所示，一質量為 0.800 kg，初速度 vA = 1.20 m/s向右的方塊與一條輕的彈簧，常數 k = 50.0 N/m，發生碰撞。 A.若平面為光滑的，計算在碰撞後，彈簧的最大壓縮量。 解答 Ch07 位能

例題7.5(續) Ch07 位能

例題7.5(續) B.若一固定的動摩擦力作用於物體與表面之間，其 mk = 0.500，而假設物體在與彈簧碰撞瞬間前的速率 vA = 1.20 m/s，則彈簧壓縮的最大量為何？ 解答 Ch07 位能

例題7.5(續) Ch07 位能

7.4 保守力和位能

保守力與位能 若將位能以 U表示，那麼由保守力所做的功等於系統位能淢少的量 由保守力 F 所做的功 W 可表為 當力 F 與位移 x 同方向時 DU 小於零 Ch07 位能

保守力與位能 保守力可經由對位能函數的微分得到 保守力沿某一方向的分量等於位能在該方向的變化率的負號 這一表示法可以同樣運用於其他二個方向 (y, z) Ch07 位能

保守力與位能－核對 來看看一個位於參考點上方，高度為 y 的物體： 此一表示法即為重力在 y (垂直)方向的分量 Ch07 位能

7.5 穩定狀態下的非孤立系統

在穩定狀態下的非孤立系統 一個非孤立系統也有可能 DT = 0 此種情況發生在進入系統的能量與同一時間由系統流失的能量相同時。 有時候這種能量的流入與流出是經由多重方式來進行的。 Ch07 位能

在穩定狀態下的非孤立系統 －以房子為例 Ch07 位能

7.6 重力位能和電位能

重力位能 一般來說，如果用牛頓萬有引力Fg來描述萬有引力位能 Ch07 位能

重力位能 則位能的表示法為 Ch07 位能

重力位能 之前提及的地球－物體的系統，可以將其引伸至任何由 m1 與 m2 二物體所構成的系統： 對於三個或以上的質點系統來說，系統的總位能可表示成 Ch07 位能

例題7.6 一質量為 m 的質點在地球表面附近，有一垂直方向的小位移 Dy。證明重力位能變化量的方程式可以導出關係式 。 解答 解答　 Ch07 位能

電位能 庫侖定律描述二靜電荷之間的作用力 此力對應出電位能 Ue 來 Ch07 位能

7.7 能量圖和平衡的穩定性

能量圖與穩定平衡 在圖中 x = 0 處，是穩定平衡的位置 在能量圖的圖形構造上，穩定平衡的位置是出現在位能 U(x) 最小的地方 在 與 二處位置，稱為轉捩點 Ch07 位能

能量圖與穩定平衡 Ch07 位能

能量圖與非穩定平衡 在 x = 0 處， Fx = 0，質點在該處可保持平衡 一旦離開了x = 0 的位置，質點就會朝遠離平衡點的方向運動 這種現象就是非穩定平衡 能量圖中，非穩定平衡位置都是出現在能量U(x) 為最大處 Ch07 位能

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隨意平衡 隨意平衡都是處在能量圖中，能量U保持定值的那些範圍內 在此區域中給予質點一個很小的位移，此質點既不會受到回復力作用，也不會受到推開的力作用 Ch07 位能

7.8 延伸議題：燃料中的位能

燃料中的位能 燃料儲存有力學能中的位能 燃料經由化學反應釋放能量，汽車通常用此法來行駛 Ch07 位能