[中國醫藥學院醫務管理研究所] [馬作鏹 助理教授] 計量學之技巧應用於醫院 [中國醫藥學院醫務管理研究所] [馬作鏹 助理教授]

自我簡介 學歷： 國立台灣科技大學工業管理系 美國田納西曼菲斯大學(The University of Memphis)企業管理碩士(MBA/Finance) 。 美國愛荷華大學(The University of Iowa)醫院管理博士(Ph.D.) 經歷： 日月光半導體製程工程師 國立中山大學管理學院助理研究員 亞東關係企業財務部研究員

計量學之簡介 一般醫療計量學乃泛指使用數量之方法包含作業研究之技巧協助醫療管理者解決營運或策略之問題。 發源於二次世界大戰，美軍採用各項計量技巧於軍事計畫、戰略問題及武器之應用。 於1950‘s末期及1960’s初期被首次用於醫療產業。 台灣應用於近幾年開始萌芽。

計量技巧如何幫助醫療管理人員 改進醫療產業營運之效能及效率。 使策略規劃之工作更加完善。 改善預算工作及資源分配之績效。 在競爭之環境中，為醫院在生存及使命中找尋一平衡點。 評估服務、專案與計畫之優劣。

當今醫療管理所面臨之問題 臨床結果(outcomes)之分析。 病例組合(Case-mix)分析。 持續品質改善。 以病人為中心之醫療服務(Patient-focused care)及流程設計與改善 個案(Case management)或疾病管理(Disease management)及資源分派與排程

計量分析應用於決策之架構 初步的觀察。 定義問題。 建立模型。 決定所需資料及可近性。 資料初步檢定。 選擇分析技巧及電腦軟體。 分析及解釋結果。 應用此結果於管理決策。 事後衡量。

醫療計量之分類 規劃與決策：問題包含策略規劃、營運改善、商業規劃等。 損益平衡分析(Break-even Analysis)。 報酬矩陣之決策分析(Decision Analysis with Payoff Tables) 。 決策樹之決策分析(Decision Analysis with Decision Tree) 。

醫療計量之分類(續) 資源分配：問題包括資源與人力之分派。 線性規劃(Linear Programming) 。 運輸及指派問題(Transportation and Assignment Models) 。 等候理論(Queuing Models) 。 控制：專案排程、永續品質改善及物料管理。 計畫評核術/緊要路徑(PERT/CPM) 。 存貨管理(Inventory Control) 。 統計品質控制(Statistical Quality Control) 。 動態規劃(Dynamic Programming)。

醫療計量之分類(續) 其他 模擬(Simulation) 預測(Forecasting) P-Medium

計量方法一：損益平衡分析 損益平衡分析可協助管理者瞭解一組織應提供多少服務單位才能達到損益平衡。 若新購一醫療設備，應每月或每年提供多少服務方能達到不賺不賠。 它點出收益、成本、和利潤之間的關係。 為計算損益平衡點(BE) ，管理人需要知道產品或服務之銷售價格(P) 、每單位變動成本(VC) 、以及總固定成本。 一個組織的損益平衡其總收益正好等於其總成本

損益平衡分析(續) 總成本一般分為二部分：固定成本、變動成本 固定成本是指短期不隨著數量變動的費用，如折舊費用或利息費用 變動成本是隨著產出比例而變動，如藥品、醫療材料消耗或醫師之提成 損益平衡的公式可由以下圖中得知

70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 總收入 總成本 損益平衡點 變動成本 虧損區域 固定成本 獲利區域 總成本 收 入 成 本 損益平衡點 變動成本 $(000) 虧損區域 固定成本 10 20 30 40 50 60 70 產出(000)

損益平衡之公式 醫務收入-醫務成本=利潤 醫務收入-（變動成本+固定成本）＝利潤 醫務收入-變動成本- 固定成本=利潤 醫務收入-變動成本-固定成本=0 (損益平衡時利潤為零) 醫務收入-變動成本=固定成本

損益平衡之公式(續)

損益平衡之公式(續) 該公式告訴我們： (1)當我們以一個高於變動成本的價格銷售到一定數量單位的時候，總收益會等於總成本： (2)價格和變動成本的差乘銷售單位，正好等於固定成本。

如何利用損益平衡分析增加醫院利益 安全率 邊際利益 找出能增加利潤的科別 如何求算下期之損益平衡點 目標存益下所需要的醫務收入 如何降低損益平衡點 損益平衡點與成本之降低

實例 若有甲乙二醫院，其損益表如下： 甲醫院 乙醫院 醫務收入 1,000 100% 1,000 100% 甲醫院 乙醫院 醫務收入 1,000 100% 1,000 100% 變動成本 400 40% 600 60% 邊際利益 600 60% 400 40% 固定成本 500 50% 300 30% 純益 100 10% 100 10%

損益平衡點之計算 甲醫院之損益平衡點： 乙醫院之損益平衡點： 由於乙醫院之750萬較甲醫院之833萬為低， 故乙醫院較甲醫院為佳。

安全率 所謂安全率乃指當醫院收入尚有多少空間下降在達到損益兩平點之前。 其公式如下：

安全率之計算 甲醫院之安全率： 乙醫院之安全率： 安全率越高顯示該醫院越容易達成損益 平衡點。

邊際利益 邊際利益＝醫務收入-變動成本 邊際利益率代表每一單位之提供服務可貢獻醫院多少利益(為考量固定成本) 。 若醫院控制成本得宜則邊際利益將較高。 當邊際利益大於固定成本時，其差額即為純益否則為純損。

找出能增加利潤的科別 一家醫院或醫院各部門應分別計算每個科別或單位之邊際利益，以擬定經營策略增加醫院利潤。 就經營效率而言，邊際利益高之單位若能增加銷售額可貢獻較多之利益，有限之資源應分配至邊際利益較高之單位。 如下表所示一醫院有四個科別，其邊際效益如右行所示

科別 醫務收入 變動成本 邊際利益 內科 10,000 55% 4,500 外科 7,000 56% 3,080 小兒科 2,000 96% 80 復健科 1,000 22% 780 合 計 20,000 8,440 固定成本 7,000 利潤 1,440

找出能增加利潤的科別(續) 如表中之小兒科其邊際效益較低，既使其醫務收入增加一倍，也只能貢獻80,000元，而邊際利益較高的復健科之醫務收入只要增加10%，80,000元。 上述例子顯示醫院若投資於邊際利益較低之科別對醫院純益之提升幫助有限。

目標純益下所需之醫務收入 若醫院定下純益目標，亦可藉由損益平衡計算出所需之醫務收入。 其公式如下：

目標純益下所需之醫務收入(續) 若甲乙兩家醫院之純益目標訂為200萬元，則它們所需之醫務收入分別為： 由上述結果得知經濟規模後甲醫院較乙醫 院獲利佳。

如何降低損益平衡點 欲降低損益平衡點，則應 縮減固定成本 提升邊際利益率 欲提高安全餘額率，則應 增加醫務收入

損益平衡點與成本之降低 降低固定成本之方法： 財務面各項指標之探討。 個別調查固定經費支出，減少不必要之開支。 重新檢討醫療儀器之使用，確實做好成本預算之工作。

損益平衡點與成本之降低(續) 提升邊際利益之方法： 控制變動成本如藉由臨床路徑之實施– --等等 提高生產力，減少不必要之人力並從事流程改善。

計量方法二：計畫評核術與緊要路徑法(PERT/CPM)

計畫評核術與緊要路徑法(PERT/CPM)(續) 僅要路徑乃是在計畫評核術所繪的網路上寬放時間為零的路徑 在僅要路徑上的作業若有延遲會對總完工時間有所影響，在非僅要路徑上之作業若有延遲但不超過寬放時間，將不會影響到最後完工的時間

目的 使計畫在事先能有周密的規畫，並有效的控制進度而達到目標。 詳細且逐步的陳列與估計，增加計畫的合理性與可靠性。 以網圖的方式呈現，便於觀察與審視，若在進行中有疑問時，可就該負責單位進行改善。 預知計畫的瓶頸所在，可事先規劃因應策略而不致影響工作進度。 識別計畫中各部門的重要性，可集中注意力於要徑作業上，而不必處處追蹤。 資源及人力等能獲得合理的調配及運用，而節省不必要的開支。 應用網圖分析，利於計畫的評核與檢討。

結構 符號 名稱 意義 箭線 1.表示一個需要時間的作業(activity) 2.箭尾表示作業的開始，箭頭表示作 業的完成 符號 名稱 意義 箭線 1.表示一個需要時間的作業(activity) 2.箭尾表示作業的開始，箭頭表示作 業的完成 3.箭線的長短與作業所需的時間長短 無關 虛線 1.為不需時間的作業，用來表示作業 間的關係 結點 1.用來表示時間的點，是作業的開始 或完成的表示 （尾） （頭） 或

種類 由於PERT的發展，是在短期內迅速的同時流行，因此形成各種不同表示方法的作業網。通常可分為二種型態： (一)事項型 (二)箭線型

事項型(event diagram; activity –on-mode, A-O-N) 只將作業的完成標示在節點內，而完成所需的時間則表示在箭線上 4 領藥 15 2 30 10 1 掛號 2 醫師看診 3 批價 2 5 離院

箭線型(arrow diagram; activity-on-arrow, A-O-A) 將作業寫在箭線上面，作業其間寫在箭線下面，而最早開始的時間寫在箭線的左方。 5 25 35 40 40 等候醫師 看診 20分 醫師診察 10分 批價 5分 掛號 5分 離院 1 2 3 4 5 6

基本規則 網圖的畫法需遵循以下幾項規則： 1.箭線的方向：除了草案階段之外，正式的網圖呈現實時其箭線的方向均為由左向右劃，不可由右向左，如下圖所示： (錯誤) (正確)

基本規則(續) 2.進到同一節點的作業全部完成後，才能繼續下一個作業，如下圖A與B兩個作業完成後，才能繼續C的作業： A C B

基本規則(續) 3.箭線二端的節點需予以編號，其原則為左邊的編號較右邊的編號小，號碼可以連號也可以跳號，但須注意不要有重複編號 4.虛線(dummy)的繪製用來表示作業與作業間的關係，而無實際的作業，所以在繪製時，線上不註明作業的編號，線下也不加註時間，如下圖所示：

基本規則(續) 5.兩結點之間只能有一箭線，若有多數作業時需以虛線加以分隔開來，如下圖所示： A 3 A B B 1 2 1 2 C (錯誤) C 1 (正確)

基本規則(續) 6.寬裕時間(float) ：以波折線表示之，且寬裕時間可依實際作業的需要而調整於不同的時段。如下圖：其寬裕時間是後兩天，但也可以是前兩天，或是前後各一天作為寬裕時間： A 1 2 5天 3 B 3天(2天)

基本規則(續) 7.作業網的繪製不應出現有循環作業的現象：即使面臨到病患在醫院內有重複做同一檢查的情形，也不可將作業網繪製成循環作業現象而永無休止之日，如下圖所示： A B A B D C C (正確) (錯誤)

作業網(network)時間之計算方法與意義 作業網時間的計算方法與意義，分述如下： (一)單時估計法 (二)三時估計法 1.樂觀時間(optimistic time) 2.最可能時間(most-likely time) 3.最悲觀時間(pessimistic time) 4.期望時間(expected time)

作業網(network)時間之計算方法與意義(續) 單時估計法 即每一作業在正常狀態下能完成時間的時間，主要根據過去的工作經驗來加以估計。 三時估計法 是對每一作業所需的作業時間分為四項(樂觀時間、最可能時間、最悲觀時間、期望時間)

作業網(network)時間之計算方法與意義(續) 樂觀時間(optimistic time) ：在最順利的情形下完成作業所需要的時間，即最短的時間。 最可能時間(most-likely time) ：在作業進行時間統計中或期望中出現頻率最高的時間，或是作業的平均時間。 最悲觀時間(pessimistic time) ：在最不順利的情形下完成作業所需要的時間，即完成該作業所需最長的時間

作業網(network)時間之計算方法與意義(續) 期望時間(expected time) ：為應用統計學中之機率理論所求得的時間。根據經驗統計，每一作業的樂觀時間、最可能時間與悲觀時間之機率分配，常為分配。

作業網(network)時間之計算方法與意義(續) 依照統計學中分配求平均值的公式為：

實際應用上的注意事項 時間單位大小的選擇：究竟如何訂定最小的最業時間單位，需視實際操作時的最小單位為主。如病患住院其間以『天』為最小單位較適合，但若是急救或手術後照護可能要以「分」或「小時」為最小時間單位。 對上取得高階主管的支持，對下加強宣導與訓練：以醫療單位來說，一般都還習慣於使用甘特圖來作為作業規劃的基礎，因此應讓主管有充分的瞭解，進一步的獲得其支持，並對實際操作的執行單位加強宣導，讓他們有徹底的認識，才能達到預期的效果。

實際應用上的注意事項(續) 制度的配合：由於PERT的應用常用於整合型計畫，因此強調多科的整合規劃與控制，各部門之間的協調與聯繫更顯困難且重要。故制度的配合便很重要，唯有明確的制度才能減少不同部門之間不必要的困擾。 繪製作業網的問題： 作業網的繪製要精簡或細分到什麼程度，應以實際的作業需要為主，因為過度的簡易或細分都可能會造成實務單位在操作時的困擾。 對於較大的計畫無法以網圖來完整表示時，可以利用主圖(master network)與分圖(sub network)的方式來表示，才能解決問題。

實際應用上的注意事項(續) 單時估計與三時估計的抉擇：此乃關係到要將PERT視為或有的(probabilistic)體系或是肯定的(deterministic)體系而定。採用三時估計法的好處在於可以記算出整個計畫在工期以內完成的機率有多少。不過PERT中的機率問題在實務上有多少用途則甚有疑慮，還是用單時估計來謀求工期的正確較為有利與方便。這也可以從CPM之採取肯定的體系，而PERT採取或有的體系上看出來。因為二者的背景不同，前者是為了控制企業中的計畫(project)而發端，而PERT則為了大規模的研究發展而產生。

實際應用上的注意事項(續) 適時的提出管理報告：計畫執行的過程控制可經由管理報告中呈現出來，以作為各管理者檢討與改進的參考。

實例分析：血液透析室 若某醫院之血液透析室因牽涉到醫師、護士、病患、家屬與醫院相關部門人員等各種人的因素，與各項設備儀器衛材消耗品藥品床位等物項因素，作業時間極適合PERT/CPM之應用。 經過成員討論及收集過去歷史資料之後，共列出11項重要作業及其先後關係；並列出樂觀時間、最可能時間及悲觀時間如下表所示：

血液透析室重要作業 作業 項目 前置作業 樂觀時間 最可能時間 悲觀時間 平均時間 標準差 A 開會表決班別 - 1 1.00 0.00 B 被足夠的衛材及消耗品 6 7 9 7.17 0.50 C 填志願分批上班 4 8 6.00 0.67 D 確定各員班別及放假日 10 14 15 13.50 0.83 E 調查病患可到達時間及聯絡方式 2 5 4.83 F 與各相關單位聯繫 5.00 0.33 G 確定值班人員 B,F 3 2.00 H 備藥 I 確定機器使用狀態 J 排定病患班別及床位 G,I 4.00 K 被足夠被服 5.17

專案計畫重要作業網路圖 3 9 H B (8.17,10.83) (15.83,24.83) (EF, LF) (0,0) 5.0 7.17 1 2 4 6 8 10 12 A E F I J K 1.0 4.83 5.0 4.83 4.0 5.17 (1.0,1.0) (5.83,5.83) (10.83,10.83) (15.67, 15.67) (19.67, 19.67) (24.83, 24.83) G 2.0 C 7 6.0 (12.83,15.67) 5 11 D 13.5 (7.0,11.33) (20.5,24.83)

ES(Earliest Starting): 最早開始時間 EF(Earliest Finish) : 最早完成時間 SL(Slack time) : 寬放時間 LS(Latest Starting): 最遲開始時間 LF(Latest Finish) : 最遲完成時間

重要作業之專案管理資料 作業 項目 ES LS EF LF SL CPM A 開會表決班別 0.00 1.00 × B 被足夠的衛材及消耗品 3.67 8.17 10.83 2.67 C 填志願分批上班 5.33 7.00 11.33 4.33 D 確定各員班別及放假日 20.50 24.83 E 調查病患可到達時間及聯絡方式 5.83 F 與各相關單位聯繫 G 確定值班人員 13.67 12.83 15.67 2.83 H 備藥 19.83 15.83 9.00 I 確定機器使用狀態 J 排定病患班別及床位 19.67 K 被足夠被服

管理者如何應用PERT/CPM？ 緊要作業為A-E-F-I-J-K，監督並控制各緊要作業即可於期望時間24.83天內完工。 編制作業檢核表，指定跟催人員，便於控制各項作業進度(如下圖)。 有寬放時間之作業，雖無需要時時跟催，亦必須確定於最遲完成時間前完成。 管理者可根據人力情形作適度調整。 使用此法提升品質降低成本。

表四、春節連續假期前透析室各項準備作業檢核表 最早開始 最遲完成 作業項目 作業明細 完成 負責人 後續可進行作業 1/11* A開會表決班別 1.病房會議討論表決 □ 甲 B，C，E 1/12 B備足夠衛材及消耗品 1.人工腎臟請購量 乙 － 2.Tubbing請購量 3.透析液請購 4.衛材請購 5.消耗品請購 1/22 C填志願分批上班 1.資格分配：年資 丙 D 2.資格分配：Leader 3.公告自填批次 1/23 2/5 D確定各員班別及放假日 1.依志願分批，超過則以抽籤決定 2.排班 3.公告確定班表：護士 4.公告確定班表：技術員 5.公告確定班表：護佐 6.換班結束 1/12* 1/16* E調查病患可到達時間及聯絡方式 1.詢問病患可到達時間 F 2.詢問病患聯絡電話 3.將時間與電話製成表格 1/17* 1/21* F與各相關單位聯繫 1.輸送組 G，H，I 2.警衛室 3.藥局 4.各加護病房 5.醫工組 6.洗衣部 7.急診室 8.機器維修廠商 9.庫房 1/26 Ｇ確定值班人員 1.醫師 2.醫工 3.行政值班人員 H備藥 1.病患備藥 丁 2.單位備藥 戊 1/22* 1/26* I確定機器使用狀態 1.可使用機器 J 2.備機 3.總檢測 4.R.O.系統 5.電擊器 1/27* 1/30* J排定病患班別及床位 1.原班別及原床位備份 K 2.有更動的名冊 3.病歷動向明細 1/31* 2/5* K備足夠被服 1.床罩 2.被套 3.枕套 4.工作服

PERT/CPM之應用於臨床路徑：以全膝關節置換手術為例 臨床路徑於國內之發展：是將病患因疾病或手術由住院至出院過程之中所經歷的治療過程加以標準化，以追蹤、管制每日療程之進行來管理住院日。 一般採用工具有： 甘特圖 緊要路徑 負荷圖 管制圖

緊要路徑之優點 管理者只需管制較少項目(只需管制緊要路徑上之項目) ，可達同樣效果。 緊要路徑提供欲改進、提升績效，宜修訂或改變之項目的參考。 可管制或縮短住院日數。

發展臨床路徑之步驟 列出全膝關節置換術病患於住院過程中所經過之處置項目。 依各項目之其先後關係，以計畫評核術(PERT)繪製流程圖(A-O-N or A-O-A) 。 依三時估計法(由病例回溯、臨床觀察、專家意見評估) 計算每一作業之期望完成天數。 計算每一作業之最早開始、最早完成、最遲開始、最遲完成及寬放時間。 由流程圖中依定義找出緊要路徑。 管制緊要路徑上之每一項作業。

全膝關節置換術病患住院過程各項作業及先後關係

全膝關節置換術病患住院過程各項作業所需時間估計值(續) 符號 項目名稱 樂觀時間 最可能時間 悲觀時間 預期工時 標準差 A 確定手術日期 1 2 3 0.3 B 入院護理 0.5 0.1 C1 入院常規檢查-血液檢查 0.2 C2 -生化檢查 C3 -胸部 X光 C4 -心電圖chk D1 術前準備-手術同意書填寫 D2 -麻醉同意書填寫 D3 -手術前護理指導完成 D4 -備血完成 E 手術 F Hgb>10gm/dL G 引流管留置天數(HV<50ml/8) H 病床上肢體運動

全膝關節置換術病患住院過程各項作業所需時間估計值(續) 符號 項目名稱 樂觀時間 最可能時間 悲觀時間 預期工時 標準差 I 疼痛在可忍受狀況 1 2 3 0.3 J 患肢血循,感覺,活動,溫度正常 0.5 0.1 K 導尿管留置天數 6 0.7 L PP Splint移除天數 4 7 M CPM開始時間 N 會診復健科 0.2 O 復健科醫師來診 P 至復健科走路訓練 5 Q 等傷口癒合判定滿意時間 10 8 R 在病房走路訓練下床活動判定滿意時間 9 S 膝關節復健判定滿意(on CPM後)(膝關角度大於900)

全膝關節置換術病患住院過程各項作業及先後關係 符號 項目名稱 前項工作 作業時間 最早 最晚 寬放時間 緊要工作 開始 完成 A 確定手術日期 - 2 1 × B 入院護理 0.5 1.5 C1 入院常規檢查-血液檢查 C2 -生化檢查 C3 -胸部 X光 C4 -心電圖chk D1 術前準備-手術同意書填寫 D2 -麻醉同意書填寫 D3 -手術前護理指導完成 D4 -備血完成

全膝關節置換術病患住院過程各項作業及先後關係(續) 符號 項目名稱 前項工作 作業時間 最早 最晚 寬放時間 緊要工作 開始 完成 E 手術 A-D 0.5 3 - × F Hgb>10gm/dL 1 4 7 G 引流管留置天數(HV<50ml/8) 2 5 H 病床上肢體運動 I 疼痛在可忍受狀況 6 J 患肢血循,感覺,活動,溫度正常 K 導尿管留置天數 L PP Splint移除天數 9 M CPM開始時間 10 N 會診復健科

全膝關節置換術病患住院過程各項作業及先後關係(續) 符號 項目名稱 前項工作 作業時間 最早 最晚 寬放時間 緊要工作 開始 完成 O 復健科醫師來診 N 1 4 × P 至復健科走路訓練 E,O,I 5 8 - Q 等傷口癒合判定滿意時間 E,J 3 10 15 R 在病房走路訓練下床活動判定滿意時間 7 9 S 膝關節復健判定滿意(on CPM後)(膝關角度大於900) M 12 11 2

路徑圖

結論 由上述可知緊要路徑為：A-確定手術日期; E-接受手術; N-會診復健科; O-復健科醫師來診; P-開始走路訓練; R-下床活動判定滿意 個案醫院將目前20.2天的住院天數縮短為14.4天，比期望時間還要低。醫院除了可降低住院天數外，亦可提升病床週轉率，減少病患的平均等待時間，提升滿意度，並降低病房的照護人力成本。 醫院可監控各醫師實施臨床路徑間之變異程度，找到瓶頸之點予以改進；此項臨床路徑也可以用來向病人解釋治療流程，改善醫病關係。

結論(續) 緊要路徑的實施為一連續性的工作，路徑及時間的估計需逐年檢討。如實施後第二年應再調整各項時間估計，若出現新的儀器、科技或療程改變對現有的路徑有影響時應再檢討。 在給付制度逐漸走向論人計酬時，臨床路徑的推廣實為醫院不可忽視的工作。

計量方法三：線性規劃(linear programming) 線性規劃是一種常用的技巧，可幫助管理者在有限的資源下，讓組織的運作達到最佳化。 目的包含： 在有限的人力或其他資源下提供最大的服務 以最低的成本提供服務 使員工的效率達到最高 使醫院有最大利潤

線性規劃之模型 包含下列幾個數學方程式： 目標方程式(objective function) ：以一個線性方程式來表示極大或極小的目標 限制式(constraints) ：將現實環境中的限制條件以線性方程式的方式來表達 目標方程式和限制式都是由決策變數(decision variables)所組成

簡例 一個醫院的檢驗室提供二種類型的篩檢X1、X2其目標是以現有的設施及人力提供最多數量的服務，所以目標方程式可寫成如下： SVC表示每天所做的x1檢驗或x2檢驗之總和， x1,x2為 決策變數。

簡例(續) 由於專業人員與技術員之人力限制，這二個檢驗所能作的數目也受到限制。第一種檢驗需要二小時的專業人員時間及一個小時的技術員時間，第二種檢驗需要一個小時的專業人員時間及二個小時的技術員時間；目前該部門每天可提供10小時的專業人員時間及8小時的技術員時間，所以組成其限制式如下 專業人員時間限制 技術員時間限制 非負限制

上例之圖解法 2x1+x2<10 x2 B(X1=4, X2=2) x1+2x2<8 x1

線性規劃之求解 由於現實環境中決策變數多超過二個以上，甚至多達數十個，圖解法無法求得三元以上的解；一般多藉助於電腦，電腦目前可提供求得線性規劃之求解如下列： EXCEL 不同的套裝軟體

線性規劃之應用於醫院管理：以整數規劃求解醫院護理人員排班問題 範例：某大型教學醫院之小兒科病房共有15位護士，一位護理長。該護理人力符合該病房之護理人力需求，依該病房護理長之預估，白班需要7位護理人員(含休假人力，以下同) ，小夜班需要4人，大夜班需要4人。為了瞭解每一位護理人員在下一個工作週期各班次上班之優先意願，該護理長請每位護士填寫優先班次申請表，作為排班之依據。另一方面，護理長也將上二個班次各護理人員優先班次是否如願的統計資料整理出來，護理長期望此次的排班能在符合各班次的護理人力需求下，使得總體的不滿意度最小。

求解：優先班次申請表如下 人員編號/班次 白班 優先班次小夜班 大夜班 1 v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 優先班次總供給人力 各班次總需求人力 供需狀況 供給>需求 供給=需求 供給<需求

求解(續) ：前期優先班次執行狀況統計表(目前為第 t期，v表示如願上到該班次) 護理人員編號 第t-1期 第t-2期 加權分數 1 v 2* 10 3 100 4* 5 6 7 8* 9 10* 11 12* 13 14 15

目標方程式及限制式 優先權數之決定 其中：

目標方程式及限制式(續) 該護理長之目標：所有護理人員之總體 不滿意度最小。 限制： 符合各班次護理人力之需求。 該護理長之目標：所有護理人員之總體 不滿意度最小。 限制： 符合各班次護理人力之需求。 每一護理人員每天最多只上一個班次。 所有決策變數皆為0或1。

符號定義 Dj 第j個班次之人力總需求 Sj 第j個班次之人力總供給 j 班次別。1為白班；2為小夜班； 3為大 夜班 i 護理人員編號 Xij 第j個班次第i位護理人員之實際排班之指標變數 Xij’第j個班次第i位護理人員之優先選定班次之指標變數 Wi 第i位護理人員之優先權數 Ii(t) 第i位護理人員本期前之第t期護理人員是否如願上優先班次之指數變數

目標方程式及限制式(續) 目標方程式：

目標方程式及限制式(續) 目標函數：

目標方程式及限制式(續) 限制式 限制式

目標方程式及限制式(續) 限制式

*：0表不排該班次；1表排該班次 j I 白班(j=1) 實際排班結果 (j=2) 大夜班(j=3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0* *：0表不排該班次；1表排該班次

結論 線性規劃可協助管理者在有限的資源下，對資源做最有限的分配。 亦可協助醫院經營者解決困難的排程問題。 其他如疾病組合等之問題亦適用於線性規劃。 線性規劃之另一有效工具為敏感度分析，因較困難及耗時不在此詳述。