华东师范大学第二附属中学 作者：高二（7）班 顾韬 景琰杰 指导教师：张成鹏 多维随机游走 及应用 华东师范大学第二附属中学 作者：高二（7）班 顾韬 景琰杰 指导教师：张成鹏

研究背景 “随机游走”（random walk）是指基于过去的表现,无法预测将来的发展步骤和方向.随机游走问题最早来源于“梅茵街的醉汉”问题：一个醉汉从酒店出发,向左和向右走分别有一个概率,那么他回到家的概率是多少？这是一个有趣的概率问题,引起了我的兴趣,同时,在思考解决这个问题的基础上,我想是否也可以解决在二维坐标平面内的随机游走问题,甚至是在多维空间内的？在环上进行的随机游走问题呢？于是,我试图去解决这些问题.

一维随机游走 定理1. 假设在一维坐标轴 轴上一维随机游走,从原点出发,向右走的概率为 ,向右走的概率为 ,且 . 定理1. 假设在一维坐标轴 轴上一维随机游走,从原点出发,向右走的概率为 ,向右走的概率为 ,且 . 设事件 为：共走了 步, ,到达了点 . 运用Bernoulli概型，可得：

一维随机游走 推论1. 假设一点从点 出发,在数轴 上一维随机游走, 向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,且 . 推论1. 假设一点从点 出发,在数轴 上一维随机游走, 向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,且 . 设事件 ：共走了 步, ,到达了点 . 则.

一维随机游走 推论2：从零点出发在数轴上一维随机游走, 向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,且 . 推论2：从零点出发在数轴上一维随机游走, 向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,且 . 设事件 ：在 步之内（包括第 步）到达了点 , . 则 ,其中 .

二维随机游走 定理2. 假设一点在二维坐标系 上进行随机游走,从原点出发,每一次沿坐标轴移动一个单位,向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,向上走的概率为 ,向下走的概率为 , 且 设总步数为 . 设事件 ：共走了 步, ,到达了点 （假设 ）, . 运用两次Bernoulli概型的叠加，可得：

二维随机游走 推论3. 一质点在二维坐标系 上进行随机游走,从点 出发,向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,向上走的概率为 ,向下走的概率为 ,且 . 设事件 ：共走了 步, ,到达了点 （假设 ）, .则：

三维随机游走 引理1 一个袋子中有 个白球, 个黑球, 个红球（各球形状大小均无差异）. 现有放回的从袋子中摸球,问：在 次摸球中恰好摸到 个白球, 个黑球,（ 个红球）的概率是多少？ 设上述事件为事件 ,可得： 为方便表示，不妨记 ， ， ， （事实上 ，， 即为每一次摸球摸到白 球、黑球和红球的概率），有 .

三维随机游走 则上式可表示为：

三维随机游走 定理3. 假设一点在一个三维坐标空间 上进行随机游走,从原点出发,每一次沿坐标轴移动一个单位,向 轴正方向移动的概率为 , 向 轴负方向移动的概率为 ,向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,且 , . 设事件 ：共走了 步, ,到达了点 ， （暂时假设 ）.

三维随机游走 推论4：一质点在一个三维坐标空间 上随机游走,从点 出发.向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 , 向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 , 且 , . 设事件 ：共走了 步, ,到达了点 （假设 , , , ）, .则：

维随机游走 在得到了二维随机游走的结果后,由于 维可以看作是 个二维情况的简单叠加,因此我们可以以类似的方法将 几个Bernoulli概型进行叠加,从而得到维随机游走的结论.然而,由于每一次使用Bernoulli概型时,它的分布 中的 总是一个变量,所以得到的表达式是十分复杂的,也不易于计算.因此,本文中并没有给出计算.

多维随机游走 引理2 一个袋子中有 个 球, 个 球,…, 个 球（各球形状大小均无差异）. 现有放回的从袋子中摸球,问：在 次摸球中恰好摸到 个 球, 个 球,…, 个 球的概率是多少？ 设上述事件为事件 . 每次有 个样本点,又因为共摸球 次,所以样本点共有 . 设 ,则 可得

多维随机游走 通过这个问题，多维随机游走也可以类比于三维随机游走得出结果.

多维随机游走 猜想 假设在一个 维坐标空间上随机游走,从原点出发.向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,其中 , 猜想 假设在一个 维坐标空间上随机游走,从原点出发.向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,其中 , 且 , . 设事件 ：共走了 步, ,到达了点 ,其中 表示在坐标轴 上的坐标（假设 ）, . 记 ,则：

环形随机游走 定理4：在一个环上,有 个点,各点之间的距离相等,且均为一个单位长度.假设一点从某点 出发,每一次沿环上移动一个单位长度,假设向顺时针方向移动一个单位的概率为 ,向逆时针方向移动一个单位的概率为 ,且 , . 设事件 ：走了 步后到达点 （点与点顺时针方向相距 ,逆时针方向相距 ）, .则： 其中 .

项目的未来期望 1、寻找并建立更好的模型。 2、尝试解决解决树上的随机游走问题。 3、给出三维、多维随机游走的渐进公式，方便实际运用。

谢谢！