线性方程组的求解过程分析 自强学院 尹剑翀 07120004 指导老师 顾传青

线性方程组的求解实例 让我们引入一个线性方程组的求解过程来开始我们的论述：

对方程组 求解： 对增广矩阵进行初等行变换， → → → 。 → 。

于是，原方程可以化为 取 得特解 ; 分别设 ，可得导出组的一个基础解系 ， ，方程组的通解是 ， ， 为任意常数。

那么，为什么我们可以通过初等行变换来分析线性方程组，又为什么能够通过“特解＋基础解系”的向量方式得到方程组的通解呢？ 线性方程组的解法，就是通过不断的消元，最终化为克莱姆法则可以解决的方程组，并加以求解的过程。

线性方程组的具体解法 对线性方程组 ，去掉多余方程(不妨设,后面 m-r个多余)而得保留 ，再找出r个未知数,使它们系数行列式不为 方程组 零，在这里假设x1,x2,..…xr 系数行列式 ，于是把 移到等号右端，得到 。

。随后将 看成已知数，用克莱姆法则求解 。

线性方程组解的分析——初等变换 我们在解方程时使用的消元法，实际上就是对方程组进行变换，而所做的变换可以总结为以下的三种变换。 I).用一非零的数乘某一方程； II).把一个方程的倍数加到另一个方程； III).互换两个方程的位置。 I)、II)、III) 三个变换称为线性方程组的初等变换。 很容易看出，进行了初等变换之后原方程组与现方程组是同解的。 应用到矩阵中行列之间的加减，便称为矩阵的初等变换。

线性方程组的矩阵表达 在去除了未知量后，线性方程组可以表示为形如 这样的矩阵形式； 例如 可以写成 。

矩阵的行向量描述： 该矩阵可以看作是由n个行向量 （i＝1,2,…,m） 组成的。 这些行向量可以被视为是对各个方程的简略描述形式 ： 设其中某行行标为i，则第i个方程： 可以用 来简单表示。

矩阵的列向量描述： xj … ＋ x2＋ … ＋ x1＋ xn= 当然，我们也可以认为线性方程组的增广矩阵是由列向量 （j＝1,2,…,n）和 组成的。于是，我们可以得到以下式子成立： xj … ＋ x2＋ … ＋ x1＋ xn= 。 。

、 、 、 … 、 、 … 通过这样的式子我们可以发现，线性方程组可以用向量的形式来进行描述， 、 … 为n个不同的向量 ， x1、x2、xj … xn 、 、 … ） 则可以被认为是各个向量（ 、 的长度单位。通过对各个矢量的叠加，我们可以得到 —— 一个这些向量的 线性组合。

这样的形式。 我们甚至可以把原线性方程组改写为 、 、 … 可以认为是以 、 为基的坐标平面上关于矢量 的坐标表示。

而当我们将矩阵视为列向量的集合的时候，则是对方程组的矢量化描述。 我们在把线性方程组化为系数矩阵和增广矩阵的时候，初等行变换就相当于方程组中各个方程组互相进行加减消元的过程，这个过程我们可以通过把矩阵视为行向量的集合。 而当我们将矩阵视为列向量的集合的时候，则是对方程组的矢量化描述。

线性相关性 设向量组〔 α，β 1、 β 2 、… β n 〕，如果对向量α，β 1、… β n有 成立， 则α被称为是α，β 1、… β n的线性组合。 特别的，当k1,k2…ks不全为零，则称α，β 1、… β n线性相关。 例如，向量组 、 、 线性相关，因为 。 当k1,k2…ks全为零时，我们定义α，β 1、… β n线性无关。 事实上，一个向量组内的向量是线性相关抑或是线性无关取决于向量组中是否有向量能被其他的向量线性表示。当向量组线性相关时，必定有至少一个向量是“多余”的（即可以由其他的向量以的形式表现出来）。

进而我们可以分解为三个行向量：设向量组{α，β，γ }，其中 、 ` 和 。可以发现α，β，γ线性相关，因为 。 方程组，如 ，它可以用矩阵描述为 ， 进而我们可以分解为三个行向量：设向量组{α，β，γ }，其中 、 ` 和 。可以发现α，β，γ线性相关，因为 。 从线性方程组的角度出发，我们可以发现，通过加减消元法，把方程 左右同乘以-2加到方程 遂得到 ，与第三个方程形式完全相同，可知第三个方程“多余”, 因此我们可以使得方程组变形为 ， 用矩阵描述为 。 由此我们可以知道，通过矩阵的初等行变换，我们可以达到化简方程组，减少计算量的目的。 所谓的“线性无关”，在线性方程组中的解释就是删除冗余的方程后剩下的那些方程间的状态。化简了线性方程组之后，方程与方程之间的约束关系变得更为明晰。

极大无关组和秩 一个向量组的一个部分组被称为极大线性无关无关组，如果这个部分组本身线性无关并且从这个向量组中任意添加一个向量（如果还有的话）所得的部分组都线性相关。极大线性无关组的一个基本性质是，任一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 一向量组的极大无关组总是含有相同个数的向量。

如向量组｛ α，β，γ ｝ 其极大无关组即可以是〔α，β〕，又可以是〔 α，γ 〕，也可以是〔 β，γ 〕。 用线性方程组来解释的话，有 ， 它显然与方程组 、 、 同解 （通过消元法验证）。

向量组的极大无关组含有向量的个数称为向量组的秩。 像向量组 〔 、 、 〕: 秩为2，与之对应的线性方程组 经等效之后含有的 线性无关的方程个数也为2个（但是具体是那两个是无法确定的）。 推广到矩阵，所谓矩阵的行秩就是指矩阵行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩。 可以证明，矩阵的行秩与列秩相等。因此，我们把矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。

在对秩进行了界定之后，我们对线性方程组的面貌越来越清晰了。 当我们把方程组通过矩阵的初等变换化为阶梯阵的时候， 如引例 → 的过程，目的便是 把自由未知量x3， x4 （互相线性无关）与相关未知量x1, x2(同x3 ， x4线性相关，关系式 )分离开来， 使用矩阵对方程组的变量x1 ， x2 ， x3 ， x4之间的关系进行形象化的描述。 此时我们发现，线性方程组的秩就相当于各个未知量之间关系式的个数。

线性方程组解的结构 使用矩阵初等行变换达到对方程组的变量之间的关系进行形象化的描述之后，我们的求解问题转化为如何描述线性方程组的解。于是，我们引入了解向量。 线性方程组的解可以描述为各个线性无关的解向量的和，如引例中线性方程组的通解用解向量的和： 来描述（其中 ， ， ; k1，k2，为任意常数）。 当然， 和 是等价的。

导出组 在一个齐次线性方程组有非零解的条件下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩。 很容易看出，任何一个线性无关的与某个基础解系等价的向量组都是基础解系。 如果把一般的线性方程组 （*）的常数项 都换为零，则得到齐次线性方程组 ，称为导出组。

线性方程组（*）与对应的导出组之间的关系 1. 线性方程组（*）的两个解的差是它的导出组的解； 2. 线性方程组（*）的一个解与它的导出组的解之和还是线性方程组（*）的一个解； 由此，我们推出： 如果γ0是线性方程组（*）的一个解，那么线性方程组（*）的任一个解都可以表示成γ= γ0 +η，其中η是它的导出组的一个解。对于方程组的任一个特解γ0 ，当η取遍它的导出组的全部解时， γ= γ0 +η就给出线性方程组（*）的全部解。 以上的文字说明引例中通解 （ 为特解; ， ，为对应导出组的基础解系）的原因。

事实上，当我们用矩阵的初等变换把线性方程组的增广矩阵化为阶梯形后，我们要做的，便是把相应的变量关系式化为几个线性无关的解向量的组合，组成一个完整的通解。引例中设 ， ，目的在于使得各个解向量之间线性无关，因为“低维无关高维必无关”。事实上，我们设 , ，或是其他形式也可以，只不过计算量变得更为庞大，并且要容易使线性相关的情况发生（如果自由未知量过多随意设置自由未知量的值显然是不妥的）。如果设定不当使得各个解向量之间线性相关，并不是说解不正确，而是解的讨论不完全. 就像对方程 我们认为“它的解是 ”这样的论述是不准确的一样，并不是 不对，而是因为它完整的解集应该是 。

线性方程组无解的情况 数矩阵 与其对应的增广矩阵 的秩 相等。 当矩阵的秩与其对应线性方程组增广矩阵的秩相等时，线性方程组A有解： 当我们解线性方程组时，线性方程组的有解的充要条件是：线性方程组的系 数矩阵 与其对应的增广矩阵 的秩 相等。 当矩阵的秩与其对应线性方程组增广矩阵的秩相等时，线性方程组A有解： 1)当R(A)=n时，有唯一解； 2）当R(A)＜n时，有无穷多个解；

为什么 时线性方程组无解呢？ 因为在这样的情况下，线性方程组化为阶梯阵 后会产生的情况。作为方程，显然是错误的。 而从几何意义上说，如果以三维图形作形象解释，设方程组 ， 则平面 与平面 平行，图像互不相交，造成了交点的点集为“空”的局面，因此方程组无解。