二叉树在树结构的应用中起着非常重要的作用，因为对二叉树的许多操作算法简单，而任何树都可以与二叉树 相互转换，这样就解决了树的 二叉树及其性质特点 二叉树在树结构的应用中起着非常重要的作用，因为对二叉树的许多操作算法简单，而任何树都可以与二叉树 相互转换，这样就解决了树的 存储结构及其运算中存在的复杂性。 1. 二叉树的定义 定义：二叉树是由n(n>=0)个结点的有限集合构成，此集合或者为空集，或者由一个根结点及两棵互不相交的左右子树组成，并且左右子树都是二叉树。 这也是一个递归定义。二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树或空的右子树。二查树不是树的特殊情况，它们是两个概念。

二叉树结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一棵子树也要进行区分，说明它是左子树，还是右子树。这是二叉树与树的最主要的差别。图6 二叉树结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一棵子树也要进行区分，说明它是左子树，还是右子树。这是二叉树与树的最主要的差别。图6.8列出二差树的5种基本形态，图8(C) 和图8（d）是不同的两棵二叉树。 (a) 空二叉树 A A A A B B B C (b) 根和空的左右子树 (e) 根和左右子树 (c) 根和左子树 (d) 根和右子树 图8 二叉树的5种形式

当i=1时，只有一个根结点，2i-1=20 =1,命题成立。 2.二叉树的性质 二叉树具有下列重要性质： 性质1： 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。 采用归纳法证明此性质。 当i=1时，只有一个根结点，2i-1=20 =1,命题成立。 现在假定多所有的j，1<=j<i,命题成立，即第j层上至多有2j-2个结点，那么可以证明j＝i时命题也成立。由归纳假设可知，第i－1层上至多有2i-2个结点。 由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结点数为第i－1层上最大结点数的二倍， 即2×2i-2＝2i-1。 命题得到证明。

性质2：深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1). 深度为k的二叉树的最大的结点时为二叉树中每层上的最大结点数之和，由性质1得到每层上的最大结点数，： EkI=1（第i层上的最大结点数）= EkI=12i-1=2k –1 性质3： 对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。 设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，所以有：N＝n0＋n1＋n2 (6-1) 再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都有一个进入分支，设B为二叉树中的分支总数， 则有：N＝B＋1。

由于这些分支都是由度为1和2的结点射出的，所有有： B＝n1+2 由于这些分支都是由度为1和2的结点射出的，所有有： B＝n1+2*n2 N＝B＋1＝n1＋2×n2＋1 （6－2) 由式（6－1）和（6－2）得到： n0+n1+n2=n1+2*n2+1 n0＝n2＋1 下面介绍两种特殊形态的二叉树：满二叉树和完全二叉树。 一棵深度为k且由2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。图9就是一棵满二叉树，对结点进行了顺序编号。

如果深度为k、由n个结点的二叉树中个结点能够与深度为k的顺序编号的满二叉树从1到n标号的结点相对应， 2 3 4 5 7 6 如果深度为k、由n个结点的二叉树中个结点能够与深度为k的顺序编号的满二叉树从1到n标号的结点相对应， 图9 满二叉树

则称这样的二叉树为完全二叉树，图10（b）、 （c）是2棵非完全二叉树。满二叉树是完全二叉树的 特例。 3 2 3 2 3 4 4 7 5 6 5 7 6 (a)完全二叉树 ( c)非完全二叉树 (b)非完全二叉树 图10 完全二叉树

取对数得到：k－1<log2n<k 因为k是整数。所以有：k＝【log2n】＋1。 完全二叉树的特点是： （1)所有的叶结点都出现在第k层或k－1层。 （2）错任一结点，如果其右子树的最大层次为1，则其左子树的最大层次为1或l＋1。 性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]＋1。 符号【x】表示不大于x的最大整数。 假设此二叉树的深度为k，则根据性质2及完全二叉树的定义得到：2k-1－1<n<=2k-1 或 2k-1<=n<2k 取对数得到：k－1<log2n<k 因为k是整数。所以有：k＝【log2n】＋1。

性质5： 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第【log2n】+1层，每层从左到右),则对任一结点i（1<=i<=n),有： （1）如果i＝1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点【i/2】。 （2）如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。 （3）如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i＋1。

结点i的左孩子必定为的j＋1层的第一个结点，其编号为2j＝2×2j-1＝2i。如果2i>n，则无左孩子： 在此过程中，可以从（2）和（3）推出（1），所以先证明（2）和（3）。 对于i＝1，由完全二叉树的定义，其左孩子是结点2，若2>n，即不存在结点2，此是，结点i无孩子。结点i的由孩子也只能是结点3，若结点3不存在，即3>n，此时结点i无右孩子。 对于i>1，可分为两种情况： （1）设第j（1<=j<=[log2n])层的第一个结点的编号为i，由二叉树的性质2和定义知i＝2j-1 结点i的左孩子必定为的j＋1层的第一个结点，其编号为2j＝2×2j-1＝2i。如果2i>n，则无左孩子：

其右孩子必定为第j＋1层的第二个结点，编号为2i＋1。若2i+1>n，则无右孩子。 （2）假设第j（1<=j<=[log2n])层上的某个结点编号为i（2e(j-1)<=i<=2ej-1),且2i＋1<n，其左孩子为2i，右孩子为2i＋1，则编号为i＋1的结点时编号为i的结点的右兄弟或堂兄弟。若它有左孩子，则其编号必定为2i＋2＝2×（i＋1）：若它有右孩子，则其编号必定为2i＋3＝2×（i＋1）＋1。 当i＝1时，就是根，因此无双亲，当i>1时，如果i为左孩子，即2×（i/2)=i,则i/2是i的双亲；如果i为右孩子，i＝2p+1,i的双亲应为p，p＝（i－1）/2=[i/2]. 证毕。