第九章 重 积 分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分

第一节 二重积分的概念与性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想: “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2)“常代变” 在每个 中任取一点 则 3)“近似和” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 若 非常数 , 仍可用 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)“常代变” 中任取一点 则第 k 小块的质量 3)“近似和” 4)“取极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、二重积分的定义及可积性 定义: 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作 可积 , 在D上的二重积分. 积分表达式 积分和 被积函数 积分域 面积元素 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 因此面积元素 也常 记作 二重积分记作 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二重积分存在定理: 定理1. 若函数 在有界闭区域 D上连续, 则 在D上可积. 定理2. 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 (证明略) 定理1. 若函数 在有界闭区域 D上连续, 则 在D上可积. 定理2. 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 例如, 在D : 上二重积分存在 ; 在D 上 二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、二重积分的性质 ( k 为常数)  为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则 5. 若在D上 特别, 由于 6. 设 D 的面积为 , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7.(二重积分的中值定理) 在闭区域D上 连续,  为D 的面积 , 则至少存在一点 使 证: 由性质6 可知, 使 由连续函数介值定理, 至少有一点 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 于直线的上方, 故在 D 上 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 判断积分 的正负号. 解: 分积分域为 则 原式 = 舍去此项 猜想结果为负 但不好估计 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 估计下列积分之值 D 解: D 的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96  I  2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 8. 设函数 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 则 则 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 有类似结果. 在第一象限部分, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 任取 平面 截柱体的 截面积为 故曲顶柱体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1. 比较下列积分值的大小关系: 解: 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 < y <1, 故 故在D上有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 计算 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4. 证明: 其中D 为 解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有 又 D 的面积为 1 , 故结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P78 2，4，5 P95 1(1), 8 第二节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 估计 的值, 其中 D 为 解: 被积函数 D 的面积 的最大值 的最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 判断 的正负. 解： 当 时， 故 又当 时， 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第二节 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当被积函数 由于 在D上变号时, 均非负 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 则有 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 计算 其中D 是抛物线 及直线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 例3. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, 因此取D 为X – 型域 : 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线  =常数, 分划区域D 为 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 对应有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设 则 特别, 对 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问  的变化范围是什么? (1) (2) 答: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 计算 其中 解: 在极坐标系下 故 原式 由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 ① 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例6的结果, 得 故①式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束

*三、二重积分换元法 定理: 变换: 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 定积分换元法 (3) 变换 是一一对应的 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此面积元素的关系为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8. 计算 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9. 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例10. 试计算椭球体 的体积V. 解: 由对称性 令 则D 的原象为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

极坐标系情形: 若积分区域为 则 (2) 一般换元公式 在变换 下 且 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 • 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 • 确定积分序 累次积好算为妙 图示法 • 写出积分限 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 不等式 充分利用对称性 • 计算要简便 应用换元公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1. 设 且 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 交换积分顺序 提示: 积分域如图 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 给定 改变积分的次序. 解： 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 计算 其中D 为由圆 及直线 所围成的 平面闭区域. 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第三节 第九章 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、三重积分的概念 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, 密度函数为 求分布在  内的物质的 质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”  可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义. 设 若对  作任意分割: 任意取点 下列“乘 积和式” 极限 存在, 则称此极限为函数 在上的三重积分. 称为体积元素, 定义. 设 若对  作任意分割: 任意取点 下列“乘 积和式” 极限 记作 存在, 则称此极限为函数 在上的三重积分. 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 中值定理. 在有界闭域  上连续, V 为 的 体积, 则存在 使得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法1. 投影法 (“先一后二” ) 细长柱体微元的质量为 该物体的质量为 微元线密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法2. 截面法 (“先二后一”) 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法3. 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 投影法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当被积函数在积分域上变号时, 因为 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” 三种方法(包含12种形式)各有特点, 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 计算三重积分 其中 为三个坐标 面及平面 所围成的闭区域 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 计算三重积分 解: 用“先二后一 ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 计算三重积分 其中为由 柱面 及平面 所围 成半圆柱体. 解: 在柱面坐标系下 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 计算三重积分 其中由抛物面 与平面 所围成 . 解: 在柱面坐标系下 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 计算三重积分 其中 与球面 所围立体. 解: 在球面坐标系下 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6.求曲面 所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为 利用对称性, 所求立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 积分区域多由坐标面 围成 ; 柱面坐标系 被积函数形式简洁, 或 球面坐标系 变量可分离. 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 积分区域多由坐标面 围成 ; 被积函数形式简洁, 或 变量可分离. * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1. 将 用三次积分表示, 其中由 六个平面 所 围成 , 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 设 计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 设由锥面 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4) 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4) 第四节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1. 计算 其中  由 所围成. 分析：若用“先二后一”, 则有 计算较繁! 采用“三次积分”较好. (L.P301例3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 解: 所围, 故可 表为 思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 计算 其中 解: 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第四节 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1. 能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性 2. 用重积分解决问题的方法 用微元分析法 (元素法) 从定积分定义出发 建立积分式 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域  的立体的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求曲面 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 在点 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为D ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , 则 (称为面积元素) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

故有曲面面积公式 即 若光滑曲面方程为 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若光滑曲面方程为 则有 若光滑曲面方程为隐式 且 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 出的面积 A . 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 方法1 利用球坐标方程. 设球面方程为 球面面积元素为 方法1 利用球坐标方程. 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、物体的质心 设空间有n个质点, 分别位于 其质量分别 为 由力学知, 该质点系的质心坐标 为 设物体占有空间域  , 有连续密度函数 则 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 公式 , 即: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

将  分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如, 令各小区域的最大直径 即得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

同理可得 则得形心坐标： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度 则它的质心坐标为 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 (A 为 D 的面积) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 求位于两圆 和 之间均匀薄片 的质心. 解: 利用对称性可知 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 若炉 内储有高为 h 的均质钢液, 不计炉体的 自重, 求它的质心. 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 故 其坐标为 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、物体的转动惯量 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域  , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 对 z 轴的转动惯量为 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 的转动惯量. 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球 所占域为 则 (用球坐标) 球体的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

五、物体的引力 设物体占有空间区域 , 其密度函数 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 G 为引力常数 在上积分即得各引力分量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对 xoy 面上的平面薄片D , 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点 。 处的单位质量质点的引力. 解: 由对称性知引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例10. 求半径 R 的均匀球 对位于 点 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

为球的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P96 7，10 , 17 P116 1，3，6, 11, 13 , 14 习题课 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 设有一高度为 ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其 侧面满足方程 设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

提示: 记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则 (用极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100 由题意知 令 得 (小时) 因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100 小时. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

*第五节 第九章 含参变量的积分 一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、被积函数含参变量的积分 上的连续函数, 则积分 确定了一个定义在[a, b]上的函数, ① 记作 x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质 — 连续性, 可积性, 可微性 : 定理1.(连续性) 上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证: 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 只要 就有 就有 这说明 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1 表明, 定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. 同理可证, 续, 则含参变量的积分 由连续性定理易得下述可积性定理: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2. (可积性) 上连续, 同样, 推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序, 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理3. (可微性) 都在 证: 令 函数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 且有 因上式左边的变上限积分可导, 因此右边 此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 解: 由被积函数的特点想到积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 显然, 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束

故 因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、积分限含参变量的积分 在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如, 为定义在区域 上的连续函数, 则 也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] . 利用前面的定理可推出这种含参积分的性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理4.(连续性) 上连续, 则函数 则 证: 令 由于被积函数在矩形域 上连续, 由定理1知, 上述积分确定的函数

定理5. (可微性) 都在 中的可微函数, 则 证: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 分小时, 函数 的 n 阶导数存在, 且 证: 令 在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 (*习题9-5) P123 1(2), (3) ; 2 (2), (4) ; 3 ; 4 (1) ; 5 (1) 即 同理 于是 3 ; 4 (1) ; 5 (1) 习题课 目录 上页 下页 返回 结束

习题课 重积分的 计算 及应用 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外: 面、线、点) 列不等式法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习 P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3) 补充题: 计算积分 其中D 由 所围成. 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P124 2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P124 6. 把积分 化为三次积分, 其中由曲面 及平面 所围成的闭区域 . 提示: 积分域为 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P124 7 (1) .计算积分 其中是两个球 ( R > 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“先二后一” 计算方便 . 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7 (3).计算三重积分 P124 其中是由 xoy平面上曲线 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

补充题. 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 连续, 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、重积分计算的基本技巧 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4. 利用重积分换元公式 练习题 P123 1 (总习题九) ; P124 4, 7(2), 9 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 P124 4. 证明: 提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得. P124 7(2). 其中是 由球面 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

9. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 使整个 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少? 由对称性知 即有 提示: 建立坐标系如图. 由此解得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 计算二重积分 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 围成 . 解: (1) 利用对称性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 积分域如图: 添加辅助线 将D 分为 利用对称性 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 计算二重积分 其中D 是由曲 线 所围成的平面域 . 解: 积分区域 其形心坐标为: 面积为: 形心坐标 例2. 计算二重积分 其中D 是由曲 线 所围成的平面域 . 解: 积分区域 其形心坐标为: 面积为: 形心坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 计算二重积分 其中D 为圆域 在第一象限部分. 解: (1) 作辅助线 把与D 分成 两部分, 则 解: (1) 作辅助线 把与D 分成 两部分, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. (2) 提示: 作辅助线 将D 分成 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 交换下列二次积分的顺序: 解: 如图所示 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 其中 解: 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义,得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、重积分的应用 1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力 3. 其它方面 证明某些结论等 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 证明 证:左端 = 右端 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 设函数 f (x) 连续且恒大于零, 其中 (1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; (03考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解: (1) 因为 两边对 t 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 问题转化为证 即证 因 故有 因此 t > 0 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8. 试计算椭球体 的体积 V. 解法1 利用“先二后一”计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

*解法2 利用三重积分换元法. 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P98 *21, *22(1) P117 4 , 9 , 11 P124 10 , 11 机动 目录 上页 下页 返回 结束