第七章 連續機率分配

學 習 目標 瞭解連續機率分配的觀念。 計算連續隨機變數的期望值、變異數及標準差。 熟悉常態分配之意義、特性及其應用。 瞭解二項分配與常態分配之關係。 利用Excel求算常態分配值並繪製圖形。

本 章 架 構 7.1 連續機率分配之意義 7.2 常態分配 7.3 標準常態分配 7.4 常態分配機率之計算 7.1 連續機率分配之意義 7.2 常態分配 7.3 標準常態分配 7.4 常態分配機率之計算 7.5 二項分配與常態分配之關係

7.1 連續機率分配之意義 機率密度函數(probability density function) 令X為一連續隨機變數，則其機率密度函數f(x)必須滿足下列條件 對所有的x而言，f(x)0。 。

7.1 連續機率分配之意義(續) 圖7.1 連續隨機變數之機率分配

7.1 連續機率分配之意義(續1) 令w表示組距，則圖7.1之每一矩形面積為w＊f(x)，因為連續隨機變數於特定區間發生的機率值即為f(x)下該特定區間之面積，且根據機率之性質，機率值必須介於0和1之間，及機率總和必須等於1 ，因此

例7.1 假設X為一連續隨機變數，試問 是否為一機率密度函數？ 解：因為 1. 2. 因此，f(x)是一機率密度函數。

7.1 連續機率分配之意義(續2) 累積機率函數 令X為一連續隨機變數，則其累積機率函數F(x)定義為 又P(X=a)=0 故P(a  X  b) = P(a < X  b) =P(X  b) P(X  a) = F(b)  F(a)

7.1 連續機率分配之意義(續3) 連續隨機變數之期望值與變異數： 令X為一連續隨機變數，則其期望值與變異數分別定義為

例7.2 續例7.1 求連續隨機變數X之期望值與變異數。 解： 根據(7.1)式和(7.2)式，X之期望值與變異數分別為

例7.2 續例7.1(續)

7.2 常態分配 常態(normal)機率密度函數 ， ， 此處為平均數，為標準差，＝3.1416，e=2.7183。 　　　　　　　　　　 　　　 　， ， 此處為平均數，為標準差，＝3.1416，e=2.7183。  和 為常態分配之參數，一般以X~N(, 2)表示之。

推論統計的基礎 常態分配及常態曲線(The Normal Curve)的觀念，在統計中十分重要，它們是推論統計的基礎。 常態分配及曲線是一種理論模式，但透過這理論模式，我們可以對實證研究所得之資料分配，做相當精確之描述及推論。能做到這一點是因常態分配本身有些重要且已知的特性，而實際之資料分配也往往接近常態分配。

常態分配的重要性 常態分佈之所以重要， 原因很多， 三個主要的原因為： 首先是常態分佈在分析上較易處理。 其次是常態分佈之機率分配圖形為鐘形曲線(bell-shaped curve) ，再加上對稱性，使得很適合當做不少母體之機率模式。當然我們知道鐘形且具對稱的分佈也有不少， 但通常不像常態分佈，在分析上如此容易駕馭。 第三個原因是由於在中央極限定理(Central Limit Theorem) ， 使得在不太強的條件下， 常態分佈可當做不少大樣本的近似分佈。

7.2 常態分配(續) 常態分配之性質 不同的平均數和標準差形成不同的常態分配（見 圖7.2與圖7.3 ）。 常態分配係以平均數為中心的對稱分配，即平均數、中位數及眾數都相等。 常態機率函數下之面積總和等於1 。 常態分配曲線的尾部兩端無限延伸。 較常用的常態分配機率範圍見圖7.4。

7.2 常態分配(續1) 圖7.2 N(2, 0.25)和N(5, 0.25)之比較 x

7.2 常態分配(續2) 圖7.3 N(0, 1)和N(0, 0.16)之比較

7.2 常態分配(續3) 圖7.4 常態分配曲線下之面積

常態分配的應用實例(一) 股市技術面衡量指標：超買超賣（ＯＢＯＳ） 一. 定義： 利用一段時間內股市漲跌家數的累計差關係，以研判大盤買賣氣勢之強弱及未來走向。公式如下： 10日ＯＢＯＳ值＝10日內股票上漲累計家數 － 10日內股票下跌累計家數 二. 研判技巧 ： 10 日ＯＢＯＳ值通常在-600至 +700之間呈現常態分配。 10 日ＯＢＯＳ值超過700時，股市呈現超買現象，是賣出時機， 反之 10 日OBOS值低於-600時，股市呈現超賣現象，是買進時機。 當10 日ＯＢＯＳ走勢與大盤指數走勢呈現背離時，大盤可能隨時會做反轉，尤其在高檔形成Ｍ頭為賣出時機，低檔形成Ｗ底為買進時機。

常態分配的應用實例(二) 教育部於民國八十六年七月六日在屏東召開教育廳局行政協調會報，重申貫徹「常態編班」的政策，並獲得地方行政單位的支持。常態編班學生異質性高，目前台灣省各國中，若利用校務行政網路系統進行常態編班，其方式約有三種： （1） S型編班：作業前先將每位學生順序編排號碼，可以是亂數編碼（但為了日後各班級程度一致，最好避免以此方式編碼）或經由智力測驗、學科測驗的名次來編碼。編班時，按其編碼順序地進行「S型」由前至後，再由後至前的將學生編於各班。 （2）分組亂數編班：如上述先給予每位學生一個編碼，若預編為８班則將學生１--８，９--16，17--24依此類推，每八位學生為一組，再將每組學生以亂數方式編排至８個班級中。 （3）純亂數編班：如（1）所述給予每位學生一個編碼後，不考慮順序，完全以電腦亂數處裡，將學生編入班級中。

7.3 標準常態分配 標準常態分配(standard normal distribution)： 當一常態隨機變數之期望值為0且變異數為1時，一般以Z~N(0, 1)表示之，其機率函數如圖7.7所示

7.3 標準常態分配(續) 圖7.7 標準常態分配

7.3 標準常態分配(續1) 標準常態分配之性質 標準常態分配係以0為中心之對稱分配，即 P(Z 0)=P(Z  0)=0.5。 2. 標準常態機率函數下之面積總和等於1。 3. 常態分配曲線的尾部兩端無限延伸。

7.3 標準常態分配(續2) 表7.1 標準常態機率表

7.3 標準常態分配(續3) 驗證經驗法則：

7.3 標準常態分配(續4) 圖7.8 標準常態分配曲線下之面積

例7.3 求P(Z>0.72)之機率值。 解：

例7.3 求P(-0.12  Z  0.72)之機率值。 解：

例7.3 求P(0.12  Z  0.72)之機率值。 解：

7.4 常態分配機率之計算 X~N(, 2) ， X介於a和b之機率值，其程序必須先將常態隨機變數X透過標準化轉換為標準常態隨機變數Z，即 。

標準常態分配 圖 一般常態分配的標準化

例7.6 大學聯考成績 某次大學聯考，考生之分數呈現常態分配，其中 =500、=100，現隨機抽取一人，其成績介於325和675分之間的機率為何？ 解： 令隨機變數X定義為考生之大學聯考成績，則X之機率分配為平均數=500、標準差=100之常態分配，故考生成績介於325和675分之間的機率為

例7.6 大學聯考成績(續)

例7.7 續例7.6 若某生想考上國立大學，則成績須名列前15%才有希望，試問他必須考多少分才有希望考上國立大學？ 0.15 例7.7 續例7.6 (a-500)/100 若某生想考上國立大學，則成績須名列前15%才有希望，試問他必須考多少分才有希望考上國立大學？ 解： 假設某生必須考a分才有希望考上國立大學，則

例7.7 續例7.6 (續) 因此， 查表可知 所以某生必須考604分才有希望考上國立大學。

7.5二項分配與常態分配之關係 二項分配 vs.常態分配 二項分配，若試驗次數n固定，則當p<0.5時，其分配呈現右偏；當p>0.5時，其分配呈現左偏；當p=0.5時，其分配呈現對稱。 二項分配，若試驗次數n愈大時，則無論成功機率p值為何，其分配會愈來愈呈現對稱的情形。 在實務應用中，只要當np  5且n(1－p)  5時，則可使用常態分配作為二項分配之近似分配。

二項分配的圖形 1/3 10 圖 不同的n與p組合之二項分配的圖形

二項分配的圖形 2/3 圖 續頁

二項分配的圖形 3/3 圖6-1 續頁

7.5二項分配與常態分配之關係(續) 連續校正因子 (correction for continuity) 二項分配係屬於間斷機率分配，其隨機變數之任一可能值發生的機率是存在的，而常態分配係屬於連續機率分配，其隨機變數之任意可能數值發生的禨率皆為0 。 連續校正因子係指加減0.5個單位。透過連續校正因子，可利用常態分配來求得二項分配的機率。

7.5二項分配與常態分配之關係(續1) 圖7.18 B(10,0.5)和N(5,2.5)之比較

7.5二項分配與常態分配之關係(續2) 圖7.19 二項分配和常態分配之比較

7.5二項分配與常態分配之關係(續3) 連續校正因子的使用方式 設X為二項分配，Y為常態分配 當計算X  a之機率時，因包含a點，故以Y  a－0.5之機率為近似值。 當計算X > a之機率時，因不包含a點，故以Y  a＋ 0.5之機率為近似值。 當計算X  b之機率時，因包含b點，故以Y  b＋ 0.5之機率為近似值。 當計算X < b之機率時，因不包含b點，故以Y  b－0.5之機率為近似值。

例7.8 丟擲一均勻銅板50次 丟擲一均勻銅板50次，試問： 其出現20次正面之機率為何？ 例7.8 丟擲一均勻銅板50次 丟擲一均勻銅板50次，試問： 其出現20次正面之機率為何？ 其出現正面的次數超過20次，但少於30次之機率為何？ 解： 1.令隨機變數X為50次中出現正面的次數，則X之機率分配為一n=50、p=0.5之二項分配，故np=25，n(1-p)=25，且np(1－p)=12.5。

例7.8丟擲一均勻銅板50次(續) 二項機率函數

例7.8 丟擲一均勻銅板50次(續1) 現令隨機變數 ，因 且 ， 故 利用常態分配求得之機率值與二分配之機率值非常相近。

例7.8丟擲一均勻銅板50次(續2) 2.同理可得