第一节 预备知识 一、乘法原理 排列及组合 1、乘法原理 乘法原理：若完成一件事情要经过两个步骤，其中第一步中有 种不同的方法，第 第一节 预备知识 一、乘法原理 排列及组合 1、乘法原理 乘法原理：若完成一件事情要经过两个步骤，其中第一步中有 种不同的方法，第 二步骤中有 种不同的方法，则完成这件 事情共有 种方法。

2、排列 排列：从n个不同的元素中按顺序取m个排成一列 称为一个排列。所有可 能的排列记为 则由乘法原理得 特别，当n = m时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为

例1 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个 组成五位数,问共能组成多少个五位数? 解 从六个不同数中任取五个组成五位数, 相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因 此,所有可能组成五位数共有

例2 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个, 问能组成多少个四位偶数? 解 组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或 4,可先选末位数,共 种,前三位数的选取方法有 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为

3、组合 组合：从n个不同的元素中任取m个元素组成一组 称为一个组合。所有可 能的组合数记为 种方 由乘法原理，从n个元 素中取出m个的排列可分两步进行，首先从n个元素中取m个组成一组，共有 法，然后再在取出的m个元素中进行全排列共有 种方法，从而

所以从n个元素中取m个元素组成的组合数为 例 3 从10名战士中选出3名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？ 解: 按组合的定义，组队方法共有 （种）。

二、集合及其运算 集合：具有某类共同性质的事物的全体。关于集合之间的关系，常见的有以下几种： 1、子集：若A、B为两个集合，且B中所有元素都是A中的元素，则称B为A的子集。 记为: 若 且 ，则A=B。 2、并集：由属于A或B的所有元素组成的集合

称为A与B的并集。 记为： 3、交集：由同时属于A和B的所有元素组成的集合称为A与B的交集。 记为： 4.差集：由属于A但不属于B的所有元素组成的集合称为A与B的差集。 记为： A-B

5、余集（补集）：若U是包含所有元素的集合， ,称U为全集。（U-A）为集合A在全集U中的余集或补集。 记为： 关于集合之间的运算规律，这里只介绍对偶律。

第二节 随机事件及其运算 一、随机试验与事件 人们在生产实践和科学实验中，发现对自然界和社会上所观察到的现象大体分为两类： 第二节 随机事件及其运算 一、随机试验与事件 人们在生产实践和科学实验中，发现对自然界和社会上所观察到的现象大体分为两类： 一类是事前可以预料的，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，称之为必然现象或决定性的现象； 另一类是事前不可预料的，即在相同条件下重复进行观察或试

验时，有时出现有时不出现的现象，称之为偶然现象或随机现象。 随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。 概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科。现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始探索和研究。

对自然现象的观察或进行一次试验，统称为一个试验。用大写英文字母E表示。 例如： 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命。 H 例如, 掷硬币试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. T 掷骰子试验 掷一颗骰子，观察出现的点数 上面这些例子，尽管内容各异，但它们有着共同的特点。我们有以下的定义。

随机试验： 如果试验可以在相同条件下重复进行；试验所有发生的结果是不止一个且是已知的；但每次试验的结果事前是不能确定的，这样的试验称为随机试验。 在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现。这就是 随机事件。 在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。

一般用字母A，B，C等表示。 事件分为基本事件和复合事件。 基本事件：相对于观察目的不可再分解的事件。 例如，在掷骰子试验中，观察掷出的点数。Ai ={掷出i点} i=1,2,3,4,5,6，它们都是基本事件。 复合事件：两个或一些基本事件并在一起， 就构成一个复合事件。

例如 ，B={掷出奇数点} 就是复合事件。 两个特殊的事件： 必然事件就是在试验中必定发生的事件， 常用S或Ω表示; 不可能事件就是在一次试验中不可能发生的事件，常用φ表示 。 例如， “掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件。

现在，让我们再看一个从死亡线上生还的故事。 　 本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是一个随机事件，且抽到“生”和“死”的可能性各占一半，也就是各有1/2概率. 但由于国王一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件，想把这种概率只有1/2 的“抽到死签”的随机事件，变为概率为1的必然事件，终于搬起石头砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生。

二 、样本空间 现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 。 我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间。样本空间用S或Ω表示。 .e 样本点e

如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成： 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：　 S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} (H,T)： (T,H): (T,T)： (H,H): 其中 第1次 第2次 样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型： H H H T 在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 . T H T T

三 、事件的关系与运算 为了研究事件的需要，下面介绍事件间 的几种主要关系以及事件的运算。 设事件的样本空间为 , 为 的事件。 为了研究事件的需要，下面介绍事件间 的几种主要关系以及事件的运算。 设事件的样本空间为 , 为 的事件。 1、若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A为事件B的子事件。

记为： 为了方便起见，规定对任一事件 ， 与 ，那么称 如果 且 相等, 记为: 2、 若事件A与事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的和事件， 记为：

B A 3、事件A与事件B同时发生，这一事件称为事件A与事件B的积事件， 记为：

4、事件A发生而事件B不发生，这事件称为事件A与事件B的差事件。 S A B 记为： A B 5、事件A与事件B不能同时发生，则称A与B为互斥事件或互不相容事件。

6、若事件A与事件B满足条件 则称事件A与事件B为互逆事件。 记为： A 实际上事件之间的运算关系与集合之间的运算关系是相同的，从集合的运算法则可以得到事件的运算法则：

1、交换律 2、分配律 3、结合律 4、对偶律

例1 设A，B，C是三个事件，则 1 、“A发生而B，C都不发生”可表示为： 2、 “A与B发生而C不发生”可表示为： AB-C 或AB 或AB-ABC。 3 、“A，B，C三个事件至少发生两个”可 表示为：

例2 向指定目标射击三枪，分别用 表示第一、第二、第三枪击中目标 试用 表示以下事件： （1）只有第一枪击中； （2）至少有一枪击中； （3）至少有两枪击中； （4）三枪都未击中； （1）只有第一枪击中，说明 发生 而 都未发生，可表示为 解

（2）至少有一枪击中，即 至少 有一个发生，可表示为： （3）至少有两枪击中可表示为： （4）三枪都未击中可表示为：

第三节 概率的定义与运算 对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。

一、概率的直观定义 1 、古典概型 古典概率是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征: （1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限，分别记为 样本空间为 （2） 各个试验结果 在每 次实验中发生的可能性是一样的.

由n个样本点组成 , 事件A由k 个样本点组成 。则定义事件A 的概率为： 定义1 设试验E是古典概型, 其样本空间 A包含的样本点数 中的样本点总数 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法。 这样就把求概率问题转化为计数。

例 1 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大？ 排列组合是计算古典概率的重要工具 。 例 1 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大？ 解 设“取得一件产品是正品”这一事件为A，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（90+10）种，而取得正品的取法有90种，按古典概率的定义， 所求概率为 P(A)= =0.9

例 2 一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？ 解 用A表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品”，由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知总的抽取方法有：100×99种，而第一次抽正品的方法有95种，第二次取次品的方法有5种，则A中包含的抽取方法

共95×5种，所求概率为： 例 3 在例2中，若仍是不放回抽取两件产品，要求计算“抽得一件为正品，一件为次品”，的概率。 解 设A表示“第一次抽得正品且第二次抽得次品”，B表示“第一次抽得次品且第二次抽得正品”，显然A与B是互斥事件， （A+B）

表示事件“一次取得正品，一次取得次品”，从而所求概率为： 例4 从0，1，2，3，4，5，这六个数中任取三个数进行排列，问取得三个数字排成的三位数且是偶数的概率有多大？

解 而排成的三位中 末位为0的有 种，末位不为0的共有 种，即事件A中包含 种， 则所求的概率为 末位为0的有 种，末位不为0的共有 种，即事件A中包含 种， 则所求的概率为

2、 几何概率 早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。 在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形 成了确定概率的另一方法——几何方法。 几何方法的要点是：

（1）设样本空间 是平面上某个区域，它的面积记为 ; （2）向区域 上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关。 （3）设事件A是 的某个区域，它的面积为μ(A),则向区域 上随机投掷一点，该点落

（*） （4）假如样本空间 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可。 例1 甲、乙两个相约在0到T这段时间内

在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间 t离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不相连。试求甲、乙两人能会面的概率？ 解 以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则 若以 x、y 表示平面上点的坐标，而所有可能

到达时刻组成的点可以用平面上边长为T的正方形 内所有的点表示出来，两人能会面的充分必要条件是： 则所求的概率为：

3、概率的统计定义 在一般情况下，是不是可以用数字来度量随机事件发生的可能性的大小呢 ？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。 设随机事件A在n次试验中发生了r次，则称比值 为这n次试验中事件A发生的频率，即

在了解了定义之后，下面我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征： 频率稳定性 频率 概率 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的。

因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。 因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。 考虑在相同条件下进行的S 轮试验 试验次数n1 事件A出现m1次 第一轮 试验 第二轮 试验 试验次数n2 事件A出现m2次 第S轮 试验 试验次数ns 事件A出现ms 次 …

事件A在各轮试验中频率形成一个数列 我们来说明频率稳定性的含义。 指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平均值相差甚微。 频率稳定性

频率 稳定在概率 p 附近 这种稳定性为用统计方法求概率的数值 开拓了道路。在实际中，当概率不易求出时， 人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为: 统计概率。

这种确定概率的方法称为频率方法。 请看 福尔莫斯破密码 请回答: 福尔莫斯为什么能破译出那份密码? 对案情的深入了解和分析; 运用字母出现的规律.

二、概率的公理化定义与运算 在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础。数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容。 概率的公理化定义： 设E 是随机试验， 是它的样本空间，对

于 中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 满足下述三条公理: 公理1 (1) 公理2 (2) 公理3 若事件A1, A2 ,…两两互不相容，则有 这里事件个数可以是有限或无限的 。

关于概率的性质，常见的有以下四条： 是有限个两两互斥的事件，则 性质1（加法定理） 若 该性质有公理3可以证明。 性质2　对任一事件A ，有 性质2 在概率的计算上很有用，如果正面计算

事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A)。 性质3 设Ａ、B是事件， 若 则有 证明:

移项得(6),再由 便得(7) 。

证明 又因 再由性质3便得(8)。 例2 设事件A，B的概率分别为1/3，1/2， 求下列情况下 的值。 （1）A、B互斥； （2） （3）

解 (1) 若A、B互斥， ， 从而 此时 (2) 若 (3) 若

例3 已知某城市中有50%的用户订日报，65%的用户订晚，85%用户至少报中的一种，问同时订两种报的用户占百分之几？ 解 设“用户订日报”事件为A,”用户订晚 报”事件为B，则“订两种报中的一种”为 由已知， 则所求概率为 即同时订两种报的用户占30%

第四节 条件概率 全概率公式 、条件概率 乘法公式 事件的相互独立性 1、条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 第四节 条件概率 全概率公式 、条件概率 乘法公式 事件的相互独立性 1、条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。

若事件B已发生，则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间 , 于是有(1)式。

B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中， P(A )=1/6， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}， 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， 掷骰子 B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中， 于是P(A|B)= 1/3. 容易看到：

例1 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0. 8，活到25岁以上的概率为0 例1 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A表示“能活到20岁以上”， B表示“能活到25岁以上”。 则 由已知 从而所求的概率为

若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 2、 乘法公式 由条件概率的定义： 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) (2)和(3)式都称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率 将A、B的位置对调，有 若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 而 P(AB)=P(BA) 故 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)

例2 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。 解：设 表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，则

3、 事件的相互独立性 对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的问题中事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B发生的概率是相等的，即 相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从而 此时称A与B是相互独立的。

对三个事件A，B，C，如果成立： 我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则 , 与 都是相互独立的。 与

例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上着红色，故 同理可知

对以上三事件A、B、C，成立: 但 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们是两两独立的。 对于多个随机事件，若 是相互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的概率为

例4 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。 解 以 表示事件“第i个人带有感冒病毒”（i=1,2,…，1500），假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为

从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。

例5 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率。 求电路正常工作的概率。

解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有 代入得

二 、全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用 二 、全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0

1、全概率公式: 之一同时发生，则 是两两互斥的事件，且 设 另有一事件B, 它总是 与 在一些教材中，常将全概率公式叙述为： 设 为随机试验的样本空间， 全概率公式: 是两两互斥的事件，且

则对任一事件B，有 称满足上述条件的 为完备事件组。 例6 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。

依题意， 求解如下: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3，则B=A1B+A2B+A3B 由全概率公式 为求P(Ai ), 设 Hi={飞机被第i人击中}i=1,2,3 可求得:

将数据代入计算得: 于是 即飞机被击落的概率为0.458。

解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品， 例7 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大? 解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，

则由已知， 从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：

实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”。 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 或者问: 1 2 3 1红4白 该球取自哪号箱的可能性最大?

贝叶斯公式 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式 是两两互斥的事件，且 设 另有一事件B, 它总是 之一同时发生，则 与

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率. P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件

发生可能性大小的认识。 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。 （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、

乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解 设事件A表示“取到的产品为正品”， 分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产” 由已知 （1）由全概率公式得：

由贝叶斯公式得 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。

现从20000份患有疾病 的病历卡中统计得到下列数字： 例9 假定具有症状 中一个或数个的疾病为其中 S1=食欲不振 S2=胸痛 S3=呼吸急促 S4=发热 现从20000份患有疾病 的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现S中一个或几个症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500

试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的可资依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 解 以A表示事件“患有出现S中的某些症状”, 表示事件“患者患有疾病 ”（i=1，2，3），由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知

从而

由贝叶斯公式可得 从而推测病人患有疾病 较为合理。

第五节 独立试验概型 二项概率公式 在随机试验中,经常会碰见这样一类试验,在相同的情况下重复进行n次同样的试验,每次的可能结果为有限个,且各次试验的结果互不影响,此n次试验显然是相互独立的。这种概率模型称做n重独立试验概型。 特别,当每次试验只有两种可能结果A

和 ,且P(A)=p,P( )=1-p(0<p<1),称为n重贝努里概型,也可以称为n重贝努里试验。 定理 在贝努里概型中，P(A)=p (0<p<1),则事件A在n次试验中恰好发生k次的概率为： 该公式正好与 的二项展开式中第（k+1）项完全相同，故有时又称之为 参数为n和p的二项概率公式。

例1 一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样，共抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率？ 解 设 表示“5件样品中恰好有i件次品” B表示“5件样品中至多有3件次品” 利用二项概率公式可得

例2 自某工厂产品中进行重复抽样检查，共取200件样品，检查结果发现其中有4件是废品，问能否相信该厂产品废品率不超过0.005？ 解 假设该厂产品的废品率为0.005，容易算得200件中出现4件废品的概率为 根据人们长期实践总结出的一条原理： 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎 是不可能发生的，现在，可以认为当废品率为

005时，抽检200件产品出现4件废品是一概率很小的事件，而它在一次试验中就发生了，因此有理由怀疑假定的正确性，即工厂产品废品率不超过0 0.005时，抽检200件产品出现4件废品是一概率很小的事件，而它在一次试验中就发生了，因此有理由怀疑假定的正确性，即工厂产品废品率不超过0.005不可信。