數學網頁規劃 機率 第16組 廖信行 張家銘 陳炫羽

一.數學單元主題內容教材分析: 機率： 1.樣本空間與事件 1.1樣本空間 1.2事件 2.機率的定義與性質 2.1機率的定義 2.2機率的性質 3.期望值

1.樣本空間與事件 1-1樣本空間 1-2事件

1-1樣本空間 何謂樣本空間? 所以樣本空間就是: 簡單的舉例來說: 投擲一粒骰子，觀察它出現的點數，會有六種可能的出現的結果，這些結果所形成的集合為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝，這叫做擲一粒骰子試驗的樣本空間。 所以樣本空間就是: 做一試驗所有可能的結果所成的集合稱為樣本空間，我們通常以∪表示樣本空間。

樣本空間的練習 基礎題: 1.丟一個硬幣一次，觀察每次出現的結果是正面或反面，寫出其樣本空間為何? Ans:∪＝｛正面,反面｝ 2.承上題，丟一個硬幣兩次，其樣本空間為何? Ans: ∪=｛(正面,正面) ,(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)｝

樣本空間的練習 進階題: 袋中有4個球，編號1~4，分別依下列方法從袋中取球觀察號碼，求各試驗中的樣本空間: (1)取球兩次，每次一球，球取出後不放回 (2)同時取出兩球 Ans: (1)設(x,y)表示第一次抽出x號，第二次抽出y號，則其樣本空間為 ∪＝｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝ (2)設 x,y表示同時取出的兩球號碼，則其樣本空間為 ∪＝｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝

1-2事件 何謂事件的定義? 就是樣本空間的子集合稱為事件。 舉一個很簡單的例子說明: 投擲一粒骰子的試驗中，樣本空間為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝。 問:(1)子集A表示點數為偶數的事件集合為何? (2)子集B表示點數為奇數的事件集合為何? Ans:(1)A=｛2,4,6｝ (2)B=｛1,3,5｝

何謂互斥事件? 如果兩個事件中沒有共同的元素，稱此兩個事件互相 排斥，簡稱為互斥事件。 數學上的寫法是: 兩事件A,B的交集為空集合，即A∩B=∮ 舉上一頁的例子: 投擲一粒骰子的試驗中，樣本空間為∪＝｛1,2,3,4,5,6｝， 事件A為是偶數點的集合，事件B是奇數點的集合，問事件A和B 是否互斥? Ans:是。 因為A=｛2,4,6｝，B=｛1,3,5｝，我們可以知道A∩B=∮

事件的練習題 甲和乙兩人各擲一粒骰子一次，觀察所出現的點數，若A表示出現 的點數和為5的事件，B表示出現點數差為4的事件，則A，B兩事件 是否為互斥事件? Ans:是。 因為A=｛(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)｝，B=(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)｝ 所以我們知道A∩B=∮

1.機率的定義與性質 2-1機率的定義 2-2機率的性質

2-1機率的定義:拉卜拉斯的古典機率 什麼是拉卜拉斯的古典機率? 設某一隨機試驗的樣本空間S由n個樣本點組成，假設每一個樣本點出現的機會均等，事件A由m個樣本點組成，其中n、m為自然數，且m ≤ n，則事件A發生的機率為: P(A) = =

拉卜拉斯的古典機率 例1: S有n個元素，則每一個元素出現的機會是? 任一元素=n(A)=1 全部元素個數=n(S)=n 所以 =1/n

拉卜拉斯的古典機率 例2: 一個袋子有6顆球，3顆白球跟3顆黑球，請問從中取一顆球是白球的機率是? ans:1/2 白球=n(A) 全部球數=n(S) n(A)=3 n(S)=6 P(A) = =3/6=1/2 ans:1/2

2-2機率的性質 1.基本性質 2.性質推廣 3.例題

2-2機率的性質 由古典機率的定義，可以得到下列的機率性質，若S為樣本空間，A、B為事件，則: 基本性質 由古典機率的定義，可以得到下列的機率性質，若S為樣本空間，A、B為事件，則: 1.標準化:必然發生的事件其機率為1，(即P(U)=1)，而必然不會發生的事件機率為0，即P(Φ)=0 ，其中S為樣本空間。 2.機率的範圍:每一個事件發生的機率必在0與1之間，即A為任一事件，則0 ≤P(A) ≤ 1 . 3.加法性:若A，B為互斥事件，則事件A，B至少有一件發生的機率，等於各個事件發生的機率和，即 P(AUB) = P(A) + P(B) .

基本性質的推廣 設S為樣本空間，則: 1. A.B滿足A ⊂ B，則P(A≤ P(B). 餘事件的機率:若A⊂S為一事件，則 P(A’) = 1 - P(A). 和事件的機率:A，B，C為S的三個事件， (1).P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B). (2).P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A∩B) -P(B ∩ C)-P(C∩ A)+P(A∩B∩C) .

例題 例題: 袋中有編號1到10的整數號碼球共10個，阿草從袋中取一球，觀察其號碼，請問: 下列各事件發生的機率分別是多少? U={1.2.3.4.5.6.7.8.9.10} (1).球號是3的倍數. (2).球號是5的倍數. (3).球號是3的倍數也是5的倍數. (4).球號是3的倍數或是5的倍數. (5).球號是3的倍數或是5的倍數或是7的倍數.

例題-(1) 1.取到球號是3的倍數之事件，可以表成 A={3.6.9}，所以 P(A)=3/10

例題-(2) 2.取到球號是5的倍數之事件，可以表成 B={5.10}，所以 P(B)=2/10=1/5

例題-(3) 3.取到球號是3的倍數也是5的倍數之事件為 A B，因為A ∩ B= Φ，所以其機率為 P(A ∩ B)= P(Φ) = 0 .

例題-(4) 4.取到球號是3的倍數或是5的倍數的事件為 AUB，因為A，B互斥，所以由加法性得知 P(AUB)=P(A)+P(B)=3/10+2/10=5/10=1/2.

例題-(5) 5.取到球號是7的倍數之事件可以表成C={7}， 所以P(C)=1/10， 而取到球號是3的倍數，5的倍數或是7的倍數可以表成 AUBUC ，因為事件A，B，C兩兩互斥，所以 P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C) = 3/10+2/10+1/10 = 6/10 = 3/5.

3.期望值 3-1 數學期望值

3-1數學期望值 何謂數學期望值? 如果做一實驗有K種可能結果，各種結果的報酬分別為m1，m2，…，mk，而得到這些報酬的機率分別為P1，P2，…，Pk(其中P1+P2+…+Pk=1)，則此實驗的數學期望值為m= m1 P1+ m2 P2+…+ mk Pk

期望值的運用 1.做為決策分析的參考 2.計算衡量某些數值，如人數、時間等數量

例題1 張三與人打賭，擲一個骰子 若出現1點則張三可得5元，擲出點數為2或3，則張三可得2元，若擲出點數為4.5.6，則張三輸3元。 問此遊戲張三的期望值為多少?對張三是否公平?

ANS:期望值為1/6*5+1/3*2+1/2*(-3)=0 期望值為0，所以是公平的遊戲。

例題2 依據經驗，在101大樓前排班的計程車，載客人數1人的機率是60%， 2人的機率是30%， 3人跟4人的機率是5%，請問在101大樓前排班的計程車，載客人數的期望值為多少 ANS:1*0.6+2*0.3+3*0.05+4*0.05=1.55(人)

補充St. Petersburg paradox 期望值是否是唯一一種衡量決策的依據? 有一個著名的賭局，規則如下，丟一個公正的銅板，直到出現第一次正面，遊戲即宣告結束；在第1次投擲就出現第一次正面，則可獲得2元，在第2次投擲才出現第一次正面，則可獲得4元，在第3次投擲才出現第一次正面，則可獲得8元，在第N次投擲才出現第一次正面，則可獲得2n元。

此遊戲的期望值為 就期望值的觀點，即使這個遊戲需要先付一筆龐大的賭金也是划算的(因為期望值減有限的賭金仍然是無限大) 但實際上並不會有人願意出高額賭金來進行這個賭局，這個矛盾就稱為 St. Petersburg paradox

二.教學網頁設計理念 1. 希望此網頁能成為日後教學上的輔助工作，補充課本內容缺少者，如機率發展史、機率在生活上的運用。 2. 提供試題練習，結合生活與機率。 3. 希望學生能藉網頁中生動活潑的方式來學習機率，克服對機率的恐懼。 4. 希望藉由網頁內容裡的測驗卷(學習回饋表)來統計了解觀看此網頁學生的學習成果。 5. 設留言板達成此單元之學習交流。

三.教學網頁教學目標 1.能夠讓學生了解機率在日常生活中的應用，從不同的觀點去認識機率。 2.用線上考試方式,測驗學生了解程度。 3.能運用簡單機率與統計於生活中。 4.能加深在學校所學的機率知識。

四.網頁設計規劃流程 1.首頁 (簡介此網頁‚引用生活小問題‚可結合flash動畫來呈現吸引觀看者) 2.機率課程 (課程教學：對課程內容之基本定義說明實際例子講解) 3.機率史 (介紹歷史及相關人物小故事，並給予一些歷史上機率的小故事，如St. Petersburg paradox) 4.生活機率統計 (藉由生活中的機率問題來感受體會.提供統計新聞以方便學生體會統計的目的意義)

五.參考資料 普通高級中學數學 第四冊 南一書局 普通高級中學數學 第四冊 龍騰文化

六.其他