第二讲 曲线与二次曲面 教学目的：曲线和二次曲面 难点： 组合图形的作图 重点：平面、直线和二次曲面的 图形与方程的对应关系
锥面
定义： 有下述关系： 如果曲面S与三元方程 （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程， 曲面方程 定义： 如果曲面S与三元方程 有下述关系： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程， 那么，方程就称为曲面S的方程，而曲面S就称为方程的图形。
例题 y z x M(x,y,z) 解 根据题意有 即有： 所求方程为 回主视图
一、柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之为柱面. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. 例题 一、柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之为柱面. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. 如果母线是平行于 轴的直线，
柱面上任取一点P(x,y,z) 沿母线与xoy平面的交点是P(x,y,0) P(x,y,0)在准线上，从而柱面上 例题 准线方程 柱面上任取一点P(x,y,z) 沿母线与xoy平面的交点是P(x,y,0) P(x,y,0)在准线上，从而柱面上 任一点P的坐标均满足方程 F(x,y)=0. P(x,y,z) 柱面方程：F(x,y)=0 P(x,y,0)
柱面 从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 例如： 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴
柱面 柱面图形： 抛物柱面 双曲柱面
柱面 椭圆柱面 圆柱面 回主视图
二、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面称之为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 柱面 二、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面称之为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 平面上的曲线称为母线。
旋转曲面 设 为曲线 上的任一点，那么有 曲面上任取一点， 则点M是由曲线上点M1旋转得来。 旋转过程中的特征： 因此 将 代入 得方程
旋转曲面 将 代入 得方程 yoz 坐标面上的已知曲线 ) , ( = z y f 绕 轴 旋转一周的 旋转曲面方程 .
例2:将坐标平面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 例题 例2:将坐标平面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 同理，所给双曲线绕 轴旋转一周形成的旋转曲面的方程为 这两种曲面都称为旋转双曲面．类似地，我们还可以得旋转椭球面和旋转抛物面．图形如下：
例题 （1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面 回主视图
曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 空间曲线及其方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 方程组为空间曲线的一般方程 特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.
例题 它表示在平面 上的圆 回主视图
下面我们利用截痕法来讨论几种常用的二次曲面． 常用二次曲面 与平面解析几何中的二次曲线概念相类似，在空间解析几何中把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．前面提到的球面、旋转椭球面、双曲柱面等都是二次曲面．为了了解由三元二次方程所表示的空间曲面的形状，常用坐标平面和平行于坐标平面的平面与空间曲面相截．考察其交线(即截痕)的形状，然后加以综合，从而得知曲面的全貌，这种方法叫做截痕法． 下面我们利用截痕法来讨论几种常用的二次曲面．
椭球面 图形有界，并且关于坐标面对称。 椭球面与三个坐标面的交线：
当k由0变到c时,椭圆由大变小,最后缩成一点。 椭球面 椭球面与平面 的交线为椭圆 当k由0变到c时,椭圆由大变小,最后缩成一点。 同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面特殊情形 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 球面 回主视图
（ 与 同号） 椭圆抛物面 同样用截痕法讨论. 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面 （ 与 同号） 椭圆抛物面 图形位于xoy平面的上方，并关于yoz及zox坐标面对称。 同样用截痕法讨论. 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面
椭圆抛物面图形 椭圆抛物面的图形如下： z x y o x y z o 回主视图
锥面 表示锥面 同样用截痕法来讨论,其形状如右图 回主视图