第8课 列方程(组)解应用题

要点梳理 1．列方程(组)解应用题的一般步骤： (1) ； (2) ； 审题 (3)找出包含未知数的 ； (4) ； 设元 (5) ； (1) ； (2) ； (3)找出包含未知数的 ； (4) ； (5) ； (6) ． 审题 设元 等量关系 列出方程(组) 求出方程(组)的解 检验并作答

2．各类应用题的等量关系： (1)行程问题：路程＝速度×时间； 相遇问题：两者路程之和＝全程； 追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者 后走路程． (2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间． (3)几何图形问题： 面积问题：S长方形＝ab(a、b分别表示长和宽)； S正方形＝a2(a表示边长)； S圆＝πr2(r表示圆的半径)． 体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)； V正方体＝a3(a表示边长)； V圆锥＝πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)； 其它几何图形问题：如线段、周长等．

(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n＝A. (5)利润问题： 利润＝销售价－进货价； 利润率＝ ； 销售价＝(1＋利润率)×进货价． (6)利息问题： 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息．

[难点正本 疑点清源] 1．正确理解方程是一种重要的数学模型 实际生活中的许多问题都与数学有关，我们需要将实际问题转化成数学问题，通过解决相应的数学问题去解决实际问题，这就是“数学建模”的意义．方程是一种重要的数学模型，可以解决很多实际问题，构建刻画实际问题的一元一次方程、二元一次方程(组)、一元二次方程等就是贯穿本课时的中心问题． 2．掌握列方程(组)解应用题的基本思想 列方程(组)解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等．

基础自测 1．(2011·日照)某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有(　　) A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏 解析：设需更换的新型节能灯有x盏， 则70(x－1)＝(106－1)×36，解之得x＝55. B

解析：小明准时到校所需时间可表示为 时或 时，所以 ＋ ＝ － . 2．(2011·铜仁)小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是x km，则据题意列出的方程是(　　) A. ＋ ＝ － B. － ＝ ＋ C. － ＝ － D. ＋10＝ －5 A 解析：小明准时到校所需时间可表示为 时或 时，所以 ＋ ＝ － .

3．(2010·宁夏)甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是(　　) A. B. C. D. C

解析：调价后，甲商品的单价为(1－10%)x元，乙商品的单价为(1＋40%)y元．两种商品的单价和为100×(1＋20%)． 故选C.

4．(2011·兰州)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(　　) A．x (x－1)＝2070 B．x (x＋1)＝2070 C．2x (x＋1)＝2070 D. ＝2070 解析：每名学生向其他同学送了(x－1)张照片，所以有x (x－1)＝2070. A

5．(2010·毕节)某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入， 2008年投入3000万元，预计2010年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(　　) A．3000(1＋x)2＝5000 B．3000x2＝50000 C．3000(1＋x%)2＝50000 D．3000(1＋x)＋3000(1＋x)2＝5000 解析：2009年该县投入3000＋ 3000x＝3000(1＋x)万元， 2010年投入3000(1＋x)＋3000(1＋x)·x＝3000(1＋x)2万元． 故选A. A

题型分类 深度剖析 题型一 一元一次方程的应用 题型一　一元一次方程的应用 【例 1】目前某省小学和初中在校生共136万人，小学在校生人数比初中在校生人数的2倍少2万人．问目前这个省小学和初中在校生各有多少万人？ 解：设这个省初中在校生x万人， 则小学在校生(2x－2)万人． ∴x＋(2x－2)＝136,3x＝138，x＝46， ∴2x－2＝90. 答：目前这个省初中在校生46万人，小学在校生90万人．

探究提高　 列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，推导出相等关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．

知能迁移1　(2010·海南)2010年上海世博会入园门票有11种之多，其中“指定日普通票”价格为200元一张，“指定日优惠票”价格为120元一张，某门票销售点在5月1日开幕式这一天共售出这两种门票1200张，收入216000元，该销售点这天分别售出这两种门票多少张？ 解：设售出“指定日普通票”x张，则售出“指定日优惠票” (1200－x)张. ∴200x＋120(1200－x)＝216000， 解之，得x＝900， ∴1200－x＝300. 答：售出“指定日普通票”900张，售出“指定日优惠票”300张．

题型二　二元一次方程组的应用 【例 2】 某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接的好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次． 解：设每年采用空运、海运往来两岸的人员分别是x万人次 及y万人次． ∴ 解之得 答：每年采用空运往来两岸的有450万人，海运有50万人．

探究提高　 本题考查学生的阅读能力和处理信息能力，学生需通过分析抽象出数学问题，然后用所学知识去解决．

知能迁移2　为了加快社会主义新农村建设，让农民享受改革开放30年取得的成果，党中央、国务院决定：凡农民购买家电和摩托车享受政府13%的补贴(凭购物发票到乡镇财政所按13%领取补贴)．星星村李伯伯家今年购买了一台彩电和一辆摩托车共花去6000元，且该辆摩托车的单价比所买彩电的单价的2倍还多600元． (1)李伯伯可以到乡财政所领到的补贴是多少元？ (2)求李伯伯家所买的摩托车与彩电的单价各是多少元？ 解：(1)6000×13%＝780(元)． (2)设李伯伯家所买的摩托车单价是x元，彩电单价是y元， ∴ 解之，得 答：李伯伯家所买的摩托车单价是4200元，彩电单价是1800元．

【例3】甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题： (1)根据题意，填写下表： 车间 零件总个数 平均每小时生 产零件个数 所用时间 甲车间 600 x 乙车间 900 x＋30

(2)甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？ 解： ＝ ，解之得x＝60， 经检验：x＝60是所列方程的解，∴x＋30＝90. 答：甲车间平均每小时生产60个零件，乙车间平均每小时生 产90个零件． 探究提高　 1.当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再 根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后再求出另一个未知量的值. 2.本题中工作时间＝工作量÷工作效率，出现分式，宜用分式方程来解．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．

知能迁移3　(2011·泰安)某工厂承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？ 解：设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个． 根据题意，得 － ＝12， 解之，得x＝60. 经检验，x＝60是方程的解，符合题意． 1.5x＝90. 答：甲、乙两车间每天加工零件分别为60个、90个.

题型四　一元二次方程的应用 【例 4】 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：设每台冰箱降价x元． [1分] (2900－x－2500)×(8＋ ×4)＝5000， [4分] (400－x)(8＋ x)＝5000， x2－300x＋22500＝0，(x－150)2＝0， ∴x1＝x2＝150. [6分] ∴2900－150＝2750. [7分] 答：每台冰箱的定价是2750元． [8分]

探究提高　 现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程，本题采用灵活的间接设未知数的方法．

知能迁移4　(2010·鞍山)小华将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和63元，求第一次存款的年利率(不计利息税)． 解：设第一次存款的年利率是x， [100(1＋x)－50]×(1＋ x)＝63. 解得，x1＝ ，x2＝－ (舍去)， ∴x＝ ＝10%. 答：第一次存款的年利率(不计利息税)是10%.

答题规范 4．解应用题勿以偏概全 考题再现　 甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度． 学生作答　 解：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米， 得 解得 答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米．

规范解答　 解：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米． ①当甲、乙两人相遇前相距3千米时， 得 解得 ②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时， 得 解得 答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5 千米； 或甲的速度为每小时5千米，乙的速度为每小时5 千米．

老师忠告　 1．有些应用题，由于题目所给条件比较隐蔽，符合题意的情况有多种，解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样不致于失解，否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误． 2．分类的思想方法实质上就是按照数学对象的共同性质和差异性，将其区分为不同种类的思想方法，分类讨论的思想方法在代数中应用极其广泛，例如实数的分类，代数式的分类，方程和函数的分类等等，可以把整个代数看作一个分类讨论的系统．解此类问题强调：要有分类意识；找出科学的分类标准；分类时满足不重复、不遗漏、最简单原则．

3．一道应用题，究竟列一元一次方程予以解决为好，还是列二元一次方程组为好，要具体分析，一般来说，列一元一次方程时，在列方程的思考上，难度稍大；而列方程组，由于把思考量分摊到两个方程上，降低了列方程的难度，但解方程过程的运算量较大，因此，对于思考量较低或中等的应用题，列一元一次方程为宜；对于思考量或思考难度都很大的应用题，列方程组解决为宜.

思想方法 感悟提高 方法与技巧 1. 应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识．在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义．

2．直接设未知元：在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法． 间接设元：如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．

失误与防范 1．认真审题是解应用题的关键，借助图形能直观地帮助我们顺利解题．与实际生活、生产相关的问题，应从实际出发，结果应与事实相符，不能仅从理论上去推断．应用题一般文字较长，等量关系隐于文字叙述之中，故审题是至为关键的步骤，有时会因一字(词或数据)的理解不清，就可能使结果面目全非． 2．在行程问题中，反映等量关系的条件往往不是很明显，对这类问题最好是借助线段图，把数与形有机结合起来，要善于利用图形提取有用信息，一目了然，从而寻找到解题突破口． 解决年龄问题，要注意：一个人年龄增大或减小，其他人的年龄也一样增大或减小，并且增大或减小的岁数是相同的，换句话说就是两人年龄的差是不变的．

数字问题的设法：设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数为100c＋10b＋a 数字问题的设法：设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数为100c＋10b＋a.解此类问题采用的是间接设未知数法，也就是不直接设所求的多位数为未知数，而是设多位数某个数位上的数字为x，从而列方程解题． 相遇和追及问题是行程问题中最常见的类型，解此类问题，常用的等量关系为： (1)相遇问题(不同地出发，相向而行)：甲行程＋乙行程＝甲、乙两地的路程； (2)追及问题：①同地不同时出发，前者走的路程＝追者行走的路程；②同时不同地出发：追者行走的路程一前者走的路程＝两地距离．

工程问题需牢记三个基本量的关系：工作量＝工作效率×工作时间．常常用到的等量关系：两个或几个工作效率不同的对象(把前后两批人分别看做两个对象)所完成的工作量之和等于工作总量．一般情况下，把工作总量设为1. 储蓄问题，首先要弄清以下几个概念：顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金与利息的和叫本息和，存入银行的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率．根据上述定义，每个期数内，利息÷本金＝利率，所以利息＝本金×利率×期数，这个公式是解决储蓄问题时常用的相等关系式．

应用题中的“多”、“少”关键词一定要理解好，结合题中叙述的事件进行分析“多”、“少”的意义，才能正确理解题意，列出方程．有些应用题，由于题目所给条件较为隐蔽，符合题意的情况有多种．解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样才不致失解．否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误．

完成考点跟踪训练 8