第三章 二次量子化之基礎理論
古典粒子與波動現象 離散振子系統(粒子性) m K . . . . . . . Lagrangian Euler 運動方程 固定 邊界
連續振子系統(波動性) ( L=Na 固定) ， ，
Lagrangian Euler運動方程 波速 因
波與粒子運動示意圖 1. 6. 2. 3. 7. 4. 8. 5. 9.
量子波動與粒子模型 簡諧振子的波動模型 Hamiltonian
簡諧振之粒子模型(二次量子化的理想模式) Hamiltonian : 產生[raising ( )]和湮滅[lowering ( )]算符
1 and 簡諧振子之量子狀態 from
海森堡表象(Heisenberg representation) is time development operator
3-2.受固定電場強度作用下之簡諧振子模型 Hamiltonian : , : 電場 then , let
＜置換算符及置換群＞ 個等同粒子的Hamiltonian 個等同粒子的波函數 位置 自旋 置換算符： 置換群 ： 個客體之 個置換算符 置換群 ： 個客體之 個置換算符 構成之群 因 偶元 奇元 群元素 故 1 2 3 N 所有可能置換算符數目 1 ‧ 2 ‧ ‧ 3 ‧ ‧ ‧ 滿足 N ‧ ‧ ‧ ‧ 置換算符數目 N N-1 N-2 1 =N!
置換算符之特性 為 H 之 eigenfunction 亦為 H 之 eigenfunction 定義： 轉置置換算符 P 為ㄠ正算符 ( unitary ) 且 為對稱算符 矩陣元在 座標之表現 矩陣元在 座標之表現
所有粒子均受相同之物理作用 所有物理算符對粒子變換具對稱性 由 定義兩類波函數 對稱（波色子） 反稱（費米子） 偶元 -1 奇元
多粒子系統之完全對稱及反稱態 單一粒子狀態 （正規化集合） ： 狀態函數 多粒子 各自之單粒子狀態
多粒子系統之一量子狀態 向量直積 粒子編碼 狀態編碼 ： ： ： 完備基向量 ＋ 對稱態 － 反稱態 定義：
‧ i.e 若 （粒子 處於相同態） 則 故反稱態每一態只允許佔有一粒子 對稱態每一態可允許佔有無窮多粒子
N! ‧ symmetrized state symmetrized basis state
｛ ︷ ︷ ｛ ‧ 若假設第一態有 個粒子，第二態有 個粒子 正規化對稱完全基 正規化因子 即每一量子態可允許佔有無窮多粒子 ‧ ‧ 若假設第一態有 個粒子，第二態有 個粒子 ‧ 每一置換算符的等價類（重複數）之個數 ‧ 故對一確定之分佈 其所有相異態間交換 的置換算符總數為 ︷ ︷ 1 2 3 N ｛ 1 2 3 ｛ ｛ N
等價類數 表不同態間之置換
｛ 粒子數表象（FOCK表象） 正規化反稱完備基 ， 編碼全同粒子沒有效率 1 實態 Fermi子 0 空態 確認不同量子態上的粒子數 1 實態 Fermi子 0 空態 確認不同量子態上的粒子數 Bose子 任意數
‧ 玻色子 (Bosons) Ⅱ 產生算符 共軛算符 因 故
湮滅算符 證明： ｛
Bose 互易關係 ， ， （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 證明： （Ⅰ） （Ⅲ） 對 對 1
基態 (Ground state ) ：真空態 ( Vacaum state ) 正規化 單粒子態 (Single-particle state ) 雙粒子態 (two- particle state ) 多粒子態 (many- particle state )
類似於簡諧振動之系統 粒子數算符 ( The particle-Number Operutor ) 無相互作用之粒子 單一粒之 Hamiltonian 的特徵值 類似於簡諧振動之系統
廣義多粒子算符 (general many-particle Operutors ) 單粒子算符系統 證明
次 次
雙粒子算符系統 當中
證明
費米子 （Fermions） ( Slater 行列式 ) N 粒子 N 能階態 Ⅱ
定義
費米子反稱互易關係 （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 證明 （Ⅰ） 設 設
（Ⅲ） 設 設 1
粒子數算符 （ particle operutors ） 單粒子算符 設
雙粒子算符
＋：B － : F （ 廣義公式 ）
場算符 （ Field operators ） （單粒子波函數） 位置特徵向量 在位置特徵態 產生或增減一粒子
動能 Kinetic energy 單粒子勢能 Single-particle potential 雙粒子相互作用勢能
Hamiltanian 粒子數密度 （ particle-number density ）
總粒子數算符 （ Total-particle operator ） 場方程 （ Field- Equatioin ） Heisnberg 表象 恆等式 F B ＝動能+位能+相互作用項
動能 : : 位能 相互作用項
（場方程） （連續方程） 當中 粒子流密度算符 （ current-density operator ）
動量表象： 動量特徵函數 （ mom entum eigenfunction ） ， ，
動能 （ Kinetic energy ） 單粒子勢能 （ 之 Fourier 轉換為 ）
相互作用勢能
Hamiltonian 終 始 a) b) 相互作用過程 雙散射過程
密度算符的 Fourier 轉換
含自旋系統 ： （ 為 方向之自旋分置 ） （ 和自旋無交互作用系統之H ）
‧自旋 之費米子系統 自旋密度算符 pauli 矩陣之元素 ‧互易關係
‧運動方程